Introduction à la Robotique

Transcription

Plan
Introduction à la Robotique
Bernard BAYLE
Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg
IUP TASV, 2004–2005
Bernard BAYLE
Plan
Plan
Bernard BAYLE
Représentation des transformations rigides
Description des bras manipulateurs
Modélisation des bras manipulateurs
Notations et définitions
Rotations
Transformations rigides
Plan
Bernard BAYLE
Rotations
Points
Notations
R = (O, x, y, z) repère orthonormé direct cartésien, selon la
convention de Gibbs.
Bernard BAYLE
Rotations
Points
Notations
Position d’un point M : vecteur m de coordonnées ∈ R3 :
 
mx
m = my 
mz
Bernard BAYLE
Rotations
Points
Notations
 
mx
m = my 
mz
Mouvement d’un point : courbe paramétrée m(t) de R3
Bernard BAYLE
Rotations
Points
Notations
 
mx
m = my 
mz
Mouvement d’un point : courbe paramétrée m(t) de R3
Trajectoire d’un point : support du mouvement
Bernard BAYLE
Rotations
Solides
Solide indéformable : pour toute paire de points de ce
solide de coordonnées m et n :
||m(t) − n(t)|| = ||m(0) − n(0)|| = constante
Bernard BAYLE
Rotations
Solides
Hypothèse
Les solides considérés seront tous indéformables.
Bernard BAYLE
Rotations
Solides
Hypothèse
Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun de
ses points
Bernard BAYLE
Rotations
Solides
Hypothèse
Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun de
ses points
Situation d’un solide : position et orientation dans R d’un
repère lié à ce solide
Bernard BAYLE
Rotations
Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide
amenant un solide d’une situation initiale à une situation
finale.
Bernard BAYLE
Rotations
finale.
Application qui transforme les coordonnées des points du
solide de leur position initiale vers leur position finale.
Bernard BAYLE
Rotations
finale.
Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à la
fois les distances et l’orientation.
Bernard BAYLE
Rotations
finale.
Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à la
fois les distances et l’orientation.
Conséquence
Un repère orthonormé direct reste orthonormé direct par
application d’une transformation rigide.
Bernard BAYLE
Rotations
Matrices de rotation
Notations
R0 = (O, x 0 , y 0 , z 0 ) orthonormé direct
x 0 , y 0 , z 0 : coordonnées de x 0 , y 0 et z 0 dans R :
1
0 0 1
0 0 1
y .x
z .x
x 0 .x
0
0
0
0
x = @x .y A , y = @y .y A et z = @z 0 .y A .
x 0 .z
y 0 .z
z 0 .z
0
0
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
R0 = (O, x 0 , y 0 , z 0 ) orthonormé direct
x 0 , y 0 , z 0 : coordonnées de x 0 , y 0 et z 0 dans R :
1
0 0 1
0 0 1
y .x
z .x
x 0 .x
0
0
0
0
x = @x .y A , y = @y .y A et z = @z 0 .y A .
x 0 .z
y 0 .z
z 0 .z
0
0
Définition
R = (x 0 y 0 z 0 ) de dimension 3 × 3 est appelée matrice de
rotation du repère R vers le repère R0 .
. . . ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base.
Bernard BAYLE
Rotations
Intérêts :
Bernard BAYLE
Rotations
Intérêts :
rend compte du changement de base des coordonnées
d’un point
z0
z
y0
O
x
Bernard BAYLE
y
M
x0
Rotations
Intérêts :
rend compte du changement de base des coordonnées
d’un point
rend compte de la rotation d’un repère lié à un solide de R
en R0
z
z0
y0
O
x
Bernard BAYLE
y
x0
M
Rotations
Rotation d’un point appartenant à un solide
Notations
m = (mx my mz )T et m0 = (mx0 my0 mz0 )T : coordonnées de M
respectivement dans R et R0 .
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
Alors :
m = mx0 x 0 + my0 y 0 + mz0 z 0
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
Alors :
m = mx0 x 0 + my0 y 0 + mz0 z 0
 0
mx
= x 0 y 0 z 0 my0 
mz0
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
Alors :
m = mx0 x 0 + my0 y 0 + mz0 z 0
 0
mx
= x 0 y 0 z 0 my0 
mz0
Conséquence
Formule de changement de base (rotation) : m = Rm0
Bernard BAYLE
Rotations
z0
z
Première analyse
y0
O
y
x
z0
Changement de repère des
coordonnées du point
x0
M
z
Seconde analyse
y0
O
x
y
x0
M
Rotation d’un solide S autour de O,
de matrice R
. . . alors m0 = coordonnées initiales de M dans R
et m =coordonnées finales dans R.
Bernard BAYLE
Rotations
Exemple
M
y
x0
y0
θ
O
z = z0
x
√
M de coordonnées initiales ( 3 0 1)T .
Coordonnées du point transformé par une rotation
R(z, θ) ?
Bernard BAYLE
Rotations
Solution
 √  √

cos θ − sin θ 0
3
cos
θ
3
√
m =  sin θ cos θ 0  0  =  3 sin θ  .
0
0
1
1
1

Application numérique : à titre d’exemple, pour θ = π3 , on trouve
√
m=(
3 3
2 2
1)T .
Bernard BAYLE
Rotations
Rotation d’un vecteur
Remarque
Coordonnées d’un vecteur = différence des coordonnées de
deux points de R3 .
On peut appliquer la rotation à un vecteur de coordonnées
v = m − n dans R :
m − n = Rm0 − Rn0 = R(m0 − n0 ),
soit, en posant v 0 = m0 − n0 :
v = Rv 0 .
Bernard BAYLE
Rotations
Propriétés des rotations
Notation
Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I.
Bernard BAYLE
Rotations
Notation
Orthogonalité : R T R = I et det R = 1.
Bernard BAYLE
Rotations
Notation
Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.
Bernard BAYLE
Rotations
Notation
Inverse unique : R −1 = R T .
Bernard BAYLE
Rotations
Notation
Inverse unique : R −1 = R T .
Combinaison de deux rotations successives R1 et R2 :
rotation R1 R2 .
Bernard BAYLE
Rotations
Combinaison de rotations
Notations
Soient R0 et R00 les repères résultant des deux rotations
successives R1 et R2 du repère fixe R.
Non-commutativité de la rotation
R1 R2 6= R2 R1 .
Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
R1 R2 6= R2 R1 .
seconde rotation par rapport au repère résultant de la
première rotation : (R00 résulte de la rotation de R0 autour
d’un axe lié à R0 )
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
R1 R2 6= R2 R1 .
seconde rotation par rapport au repère résultant de la
première rotation : (R00 résulte de la rotation de R0 autour
d’un axe lié à R0 )
seconde par rapport au même repère, fixe (R00 résulte de
la rotation de R0 autour d’un axe lié à R)
Bernard BAYLE
Rotations
Premier cas (1)
Problème de changement de base
Seconde rotation par rapport au repère résultant de la première
rotation : problème de changement de base.
Notations
M de coordonnées respectives m, m0 , m00 dans R, R0 et R00
Combinaison : premier cas
Comme m = R1 m0 et m0 = R2 m00 , alors :
m = R1 R2 m00 .
Bernard BAYLE
Rotations
Premier cas (1)
Problème de changement de base
Seconde rotation par rapport au repère résultant de la première
rotation : problème de changement de base.
Notations
Combinaison : premier cas
Coordonnées m de M dans R = coordonnées d’un point de
coordonnées m00 dans R, auquel on aurait appliqué les deux
rotations successives.
Bernard BAYLE
Rotations
Premier cas (2)
Exemple
z0
z
π
M
y0
x 00
O
x0
x
π
4
z 00
√
m00 = ( 2 0 0)T dans R00 : coordonnées de M dans R ?
Bernard BAYLE
Rotations
Premier cas (3)
Solution
√
m=
2
 √22
 2
0
√
−√ 22
2
2
0

 √   
−1 0 0
−1
0
2





0
1
0
−1 .
=
0
0
0 0 −1
0
0
1
Soit la combinaison des deux rotations suivantes :
une première rotation d’un angle
π
4
autour de z
une seconde rotation d’un angle π autour de l’axe y 0
Bernard BAYLE
Rotations
Second cas (1)
Rotations successives
Problème de rotations successives d’un point : la
transformation d’un point de coordonnées initiales m00 dans R
donne un point intermédiaire, qui, transformé par la seconde
rotation donne un point de coordonnées m dans R par R2 .
Notations
Combinaison : second cas
Conséquence :
m = R2 (R1 m00 )
Bernard BAYLE
Rotations
Second cas (2)
Exemple
z0
z
π
M
x 00
O
x0
y
x
π
4
z
00
√
m00 = ( 2 0 0)T dans R00 : coordonnées de M dans R ?
Bernard BAYLE
Rotations
Second cas (3)
Solution
  √2
−1 0 0
 √2
m =  0 1 0  2
2
0 0 −1
0

√
−√ 22
2
2
0
 √   
−1
0
2
   
1 .
=
0
0
0
0
1
Soit la combinaison des deux rotations suivantes :
une première rotation d’un angle
π
4
autour de z
une seconde rotation d’un angle π autour de l’axe y
Bernard BAYLE
Rotations
Orientation d’un solide dans l’espace
Matrice de rotation et cosinus directeurs
Notation
Rotation d’un repère R vers un repère R0 de matrice de
rotation R, de dimension 3 × 3, à valeurs dans R.

xx
R = xy
xz
yx
yy
yz

zx
zy 
zz
Définition
Eléments de R=cosinus directeurs . . . ils représentent les coordonnées
des trois vecteurs de la base R0 exprimés dans R.
Bernard BAYLE
Rotations
Cosinus directeurs incomplets
Remarque (1)
Les colonnes de R sont orthogonales entre elles et par
conséquent la connaissance de deux colonnes suffit :


xx ∗ zx
R = xy ∗ zy  .
xz ∗ zz
Définition
Six paramètres restants = cosinus directeurs incomplets.
Bernard BAYLE
Rotations
Repérage minimal
Remarque (2)
Six paramètres liés entre eux par trois relations :
xx zx + xy zy + xz zz
xx2
zx2
+ xy2
+ zy2
+ xz2
+ zz2
= 0
= 1
= 1
Conclusion
Jeu de trois paramètres : angles d’Euler, angles de roulis,
tangage, lacet, etc.
Bernard BAYLE
Rotations
Angles d’Euler classiques
Définition
Angles d’Euler classiques = trois rotations successives :
R(z, ψ), R(x ψ , θ) puis R(z θ , ϕ)
avec ψ, θ et ϕ : précession, nutation et rotation propre.
z
zψ
ψ
yψ
y
zϕ
zθ
ϕ
yθ
yϕ
θ
x
xψ
Bernard BAYLE
xθ
xϕ
Rotations
Chaque nouvelle rotation effectuée par rapport à un repère
ayant tourné :
R = R(z, ψ) R(x ψ , θ) R(z θ , ϕ)
soit :
R
=
=
0
10
10
1
cos ψ − sin ψ 0
1
0
0
cos ϕ − sin ϕ 0
@ sin ψ
cos ψ
0A @0 cos θ − sin θA @ sin ϕ
cos ϕ
0A
0
0
1
0 sin θ
cos θ
0
0
1
0
1
cos ψ cos ϕ − sin ψ cos θ sin ϕ − cos ψ sin ϕ − sin ψ cos θ cos ϕ
sin ψ sin θ
@sin ψ cos ϕ + cos ψ cos θ sin ϕ − sin ψ sin ϕ + cos ψ cos θ cos ϕ − cos ψ sin θA
sin θ sin ϕ
sin θ cos ϕ
cos θ
Bernard BAYLE
Rotations
Transformation inverse = angles d’Euler à partir des cosinus
directeurs :
si zz 6= ±1 :
ψ = atan2(zx , −zy )
θ = acos zz
ϕ = atan2(xz , yz )
si zz = ±1 :
θ = π(1 − zz )/2
ψ + zz ϕ = atan2(yx , xx )
et donc ψ et ϕ sont indéterminés.
Bernard BAYLE
Rotations
Angles de roulis, tangage et lacet
Définition
Angles de roulis, tangage et lacet : trois rotations successives :
R(x, γ), R(y, β) puis R(z, α)
avec γ, β, et α angles de roulis, tangage et lacet.
z
γ
α
y
β
x
Bernard BAYLE
Rotations
Angles de roulis, tangage et lacet
Chaque nouvelle rotation étant effectuée par rapport à un axe
du repère fixe R :
R = R(z, α) R(y, β) R(x, γ)
soit :
R
=
=
0
10
10
1
cos α − sin α 0
cos β
0 sin β
1
0
0
@ sin α
cos α
0A @ 0
1
0 A @0 cos γ − sin γ A
0
0
1
− sin β 0 cos β
0 sin γ
cos γ
0
1
cos α cos β − sin α cos γ + cos α sin β sin γ
sin α sin γ + cos α sin β cos γ
@ sin α cos β
cos α cos γ + sin α sin β sin γ
− cos α sin γ + sin α sin β cos γ A
− sin β
cos β sin γ
cos β cos γ
Bernard BAYLE
Rotations
Angles roulis, tangage et lacet
Transformation inverse = angles de roulis, tangage et lacet à
partir des cosinus directeurs :
si β 6= ± π2 :
α = atan2(xy , xxq
)
β = atan2(−xz , xx2 + xy2 )
γ = atan2(yz , zz )
si β = ± π2 :
α − signe(β) γ = atan2(zy , zx )
(ou α − signe(β) γ = −atan2(yx , yy )
et donc α et γ sont indéterminés.
Bernard BAYLE
Rotations
Matrices de passage homogènes
Définition
Transformation rigide : combinaison d’une paire (p, R) avec p
la translation de l’origine du repère lié au solide S en
mouvement et R la rotation d’un repère lié à ce solide.
z0
z
y0
O0
p
O
x0
y
M
x
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
Soient m = (mx my mz )T et m0 = (mx0 my0 mz0 )T les
coordonnées d’un point M respectivement dans R et R0 .
Expression de la transformation
Transformation rigide : translation p du repère R, puis rotation
R du repère obtenu vers R0 :
m = p + Rm0
Bernard BAYLE
Rotations
Définition
Pour représenter la transformation rigide sous forme linéaire,
on introduit les coordonnées homogènes du point M :
m̄ = (mx my mz 1)T = (m 1)T .
0
m
R p
m
=
1
1
0 1
Conséquence
0
m̄ = T m̄ avec T =
R p
0 1
La matrice T est dite matrice de passage homogène.
Bernard BAYLE
Rotations
Propriétés des transformations rigides
Notations
Soient T , T1 et T2 représentant les transformations rigides
(p, R) (p1 , R1 ) et (p2 , R2 ).
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
(p, R) (p1 , R1 ) et (p2 , R2 ).
R1 R2 R1 p2 + p1
Combinaison : T1 T2 =
.
0
1
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
(p, R) (p1 , R1 ) et (p2 , R2 ).
R1 R2 R1 p2 + p1
.
0
1
Bernard BAYLE
Rotations
Notations
(p, R) (p1 , R1 ) et (p2 , R2 ).
R1 R2 R1 p2 + p1
.
0
1
Elément neutre :matrice identit
é d’ordre 4.
T
T
R
−R p
Inverse : T −1 =
.
0
1
Bernard BAYLE
Chaı̂ne cinématique d’un bras manipulateur
Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
Relations géométriques
Plan
Bernard BAYLE
Types de bras manipulateurs considérés
Hypothèse
On ne considère ici que les systèmes mécaniques composés
de chaı̂nes cinématiques polyarticulées ouvertes, appelés bras
manipulateurs série.
Bernard BAYLE
Description des chaı̂nes cinématiques ouvertes
Définition
Bras manipulateur : n corps mobiles rigides reliés par n liaisons
rotoı̈des et prismatiques
corps
C1
bâti
(corps C0 ) liaison
L1
corps
C2
liaison
L2
Bernard BAYLE
corps
Cn−1
liaison
L3
liaison
Ln−1
corps
Cn
liaison
Ln
Notations
i-ème corps : repère Ri = (Oi , x i , y i , z i ), avec
i = 0, 1, . . . , n.
zi
αi−1
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
Bernard BAYLE
θi
axe liaison
Li
Placement des repères R1 à Rn−1
zi
αi−1
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
θi
axe liaison
Li
Oi−1 est le pied de la perpendiculaire commune à Li−1 et Li
sur Li−1 (axes parallèles, choix arbitraire de la perpendiculaire
commune).
Bernard BAYLE
zi
αi−1
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
θi
axe liaison
Li
x i−1 : vecteur unitaire de la perpendiculaire commune, orienté
de Li−1 vers Li (axes concourants ou confondus : orientation
arbitraire).
Bernard BAYLE
zi
αi−1
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
θi
axe liaison
Li
z i−1 : vecteur unitaire de Li−1 , librement orienté (débattements
positifs et symétriques).
Bernard BAYLE
zi
αi−1
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
θi
axe liaison
Li
y i−1 : tel que le repère Ri−1 soit orthonormé direct.
Bernard BAYLE
Placement des repères R0 et Rn
Convention
Repère R0 : libre, en suivant des considérations de
simplicité.
rn+1
zn
On+1
z
On
O
y
xn
an
x
Bernard BAYLE
Convention
simplicité.
Point On+1 : associé à l’organe terminal (OT).
rn+1
zn
On+1
z
On
O
y
xn
an
x
Bernard BAYLE
Convention
simplicité.
Point On+1 : associé à l’organe terminal (OT).
Repère Rn : tel que On+1 ∈ (On , x n , z n ).
rn+1
zn
On+1
z
On
O
y
xn
an
x
Bernard BAYLE
αi−1 : angle algébrique entre z i−1
et z i , mesuré autour de x i−1 .
zi
αi−1
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
θi
axe liaison
Li
Bernard BAYLE
zi
αi−1
ai−1 : distance arithmétique de la
perpendiculaire commune aux
axes des liaisons Li−1 et Li
mesurée le long de x i−1 .
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
θi
axe liaison
Li
Bernard BAYLE
zi
αi−1
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
θi
θi : angle algébrique entre x i−1 et
x i , mesuré autour de z i .
axe liaison
Li
Bernard BAYLE
zi
αi−1
xi
Oi
z i−1
zi
ri
Oi−1
x i−1
zi
ai−1
xi
Ωi−1
x i−1
axe liaison
Li−1
θi
θi : angle algébrique entre x i−1 et
x i , mesuré autour de z i .
ri : distance algébrique du point
Oi à la perpendiculaire, mesuré
le long de z i .
axe liaison
Li
Bernard BAYLE
Exemple
Ici commencent les travaux dirigés. . .
Bernard BAYLE
Tansformation rigide
Transformation rigide paramétrée :
0
1
B0
Ti−1, i = B
@0
0
|
0
cos αi−1
sin αi−1
0
0
− sin αi−1
cos αi−1
0
{z
10
0
1
B
0C
C B0
0A @0
0
1
}|
0
1
0
0
0
0
1
0
{z
10
ai−1
cos θi
B
0 C
C B sin θi
0 A@ 0
0
1
}|
translation de ai−1 x i−1
R(x i−1 , αi−1 )
− sin θi
cos θi
0
0
{z
R(z i , θi )
0
0
1
0
10
0
1
B
0C
C B0
0A @ 0
1
0
}|
0
1
0
0
0
0
1
0
{z
1
0
0C
C
ri A
1
}
translation de ri z i
soit :

Ti−1, i
cos θi
cos αi−1 sin θi
=
 sin αi−1 sin θi
0
− sin θi
cos αi−1 cos θi
sin αi−1 cos θi
0
Bernard BAYLE

0
ai−1
− sin αi−1 −ri sin αi−1 

cos αi−1
ri cos αi−1 
0
1
Tansformation rigide
Transformation rigide paramétrée :
0
1
B0
Ti−1, i = B
@0
0
|
0
cos αi−1
sin αi−1
0
0
− sin αi−1
cos αi−1
0
{z
10
0
1
B
0C
C B0
0A @0
0
1
}|
0
1
0
0
0
0
1
0
{z
10
ai−1
cos θi
B
0 C
C B sin θi
0 A@ 0
0
1
}|
− sin θi
cos θi
0
0
{z
translation de ai−1 x i−1
R(x i−1 , αi−1 )
R(z i , θi )
0
0
1
0
10
0
1
B
0C
C B0
0A @ 0
1
0
}|
0
1
0
0
0
0
1
0
{z
translation de ri z i
qui prend la forme :
Ti−1, i =
Ri−1, i
0
pi−1, i
1
où Ri−1, i représente la rotation entre les repères Ri−1 et Ri et
pi−1, i la translation entre ces mêmes repères.
Bernard BAYLE
1
0
0C
C
ri A
1
}
Configuration et situation d’un bras manipulateur
Modèle géométrique direct
Modèle géométrique inverse
Modèle cinématique direct
Plan
Bernard BAYLE
Configuration
Définition
Configuration d’un système mécanique : repère la position de
tous ses points dans un repère donné.
Cas d’un bras manipulateur
Configuration d’un bras manipulateur : vecteur q de n
coordonnées indépendantes appelées coordonnées
généralisées, appartenant à l’espace des configurations N .
Coordonnées généralisées : angles de rotation pour les
liaisons rotoı̈des, valeurs des translations pour les liaisons
prismatiques.
Bernard BAYLE
Situation
Définition
Situation d’un solide : position et orientation de ce solide dans
un repère donné.
Cas d’un bras manipulateur
Situation de l’OT du bras manipulateur : vecteur x de m
coordonnées opérationnelles indépendantes appartenant à
l’espace opérationnel M, de dimension m 6 6. Définition de la
situation selon le problème (plan, positionnement seul . . .) et le
paramétrage choisi (orientation notamment).
Bernard BAYLE
Définition
Modèle géométrique direct (MGD) d’un bras manipulateur :
situation de son OT en fonction de sa configuration :
f : N −→ M
q 7−→ x = f (q).
Cas général
On exprime x = (x1 x2 x3 x4 x5 x6 )T , avec (x1 x2 x3 )T
coordonnées de position dans R0 et (x4 x5 x6 )T coordonnées
d’orientation, en fonction de q = (q1 q2 . . . qn )T .
. . . souvent on s’arrête aux cosinus directeurs incomplets
Bernard BAYLE
Calcul du MGD
Orientation extraite de la matrice de rotation entre les
repères bâti et OT.
Bernard BAYLE
Calcul du MGD
Orientation extraite de la matrice de rotation entre les
repères bâti et OT.
Position (x1 x2 x3 )T du point On+1 déduite de la position
(px py pz )T du point On dans R0 , compte tenu des
coordonnées (an 0 rn+1 )T de On+1 dans Rn :
x1 = px + an xx + rn+1 zx
x2 = py + an xy + rn+1 zy
x3 = pz + an xz + rn+1 zz
Bernard BAYLE
Règles pratiques
Calcul de la position de On et des cosinus directeurs
incomplets :
T0,n (q) = T0,1 (q1 ) T1,2 (q2 ) . . . Tn−1,n (qn ).
Règles
On note, pour i, j, . . . compris entre 1 et n :
Si
=
sin qi
Ci
=
cos qi
Si+j
=
sin (qi + qj )
Ci+j
=
cos (qi + qj )
Bernard BAYLE
Règles pratiques
incomplets :
T0,n (q) = T0,1 (q1 ) T1,2 (q2 ) . . . Tn−1,n (qn ).
Règles
Chaque nouvelle opération : une variable intermédiaire.
Bernard BAYLE
Règles pratiques
incomplets :
T0,n (q) = T0,1 (q1 ) T1,2 (q2 ) . . . Tn−1,n (qn ).
Règles
Calcul du produit à rebours : pas de calcul de la seconde colonne des différentes matrices.
Bernard BAYLE
Règles pratiques
incomplets :
T0,n (q) = T0,1 (q1 ) T1,2 (q2 ) . . . Tn−1,n (qn ).
Règles
Deux transformations se composent aisément : on effectue
tout d’abord leur produit (exemple : deux rotations successives
d’axes parallèles).
Bernard BAYLE
Exemple
Suite des travaux dirigés. . .
Bernard BAYLE
Définition
Modèle géométrique inverse (MGI) : la ou les configurations
correspondant à une situation de l’OT donnée :
f −1 : M −→ N
x 7−→ q = f −1 (x).
Résolubilité
Existence d’un nombre fini de solutions :
Si n < m : pas de solution.
Si n = m : nombre fini de solutions (en général).
Si n > m : infinité de solutions.
Bernard BAYLE
Calcul
Résolution du
MGI
Pas de méthode analytique systématique pour calculer le
MGI .
Le mieux est de reprendre les équations du MGD et de mener le
calcul à l’envers. Dans le cas où n = 6, l’existence d’un poignet
sphérique permet de débuter la résolution par :
px
= x1 − an xx − rn+1 zx ,
py
= x2 − an xy − rn+1 zy ,
pz
= x3 − an xz − rn+1 zz .
Ensuite résolution au cas par cas pour exprimer les qi , pour
i = 1, 2, . . . , n en fonction de px , py , pz et des cosinus
directeurs.
Bernard BAYLE
Exemple
Suite des travaux dirigés. . .
Bernard BAYLE
Définition
Modèle cinématique direct (MCD) : relation entre les vitesses
opérationnelles ẋ et les vitesses généralisées q̇ :
ẋ = J q̇,
où J est matrice jacobienne de la fonction f , de dimension
m × n.
Calcul
Calcul générique du MCD hors programme. . .
Pour des structures simples, le MCD peut être obtenu par
simple dérivation du MGD.
Bernard BAYLE
Exemple
Fin des travaux dirigés ?
Bernard BAYLE

Introduction à la Robotique

Transcription

Documents pareils

Géométrie pour la Réalité virtuelle et la Robotique

Alg`ebre. Mat 2600 Devoir 8. Ne pas remettre. Discuté le 13

Exercices sur les fonctions affines

Prospettographe de l`Abée de Lerino

Au diable les manipulateurs

Page 1 sur 3 10/11/2008 http://www.doctissimo.fr/html/psychologie

Correction Devoir `a la maison 01

Institut de Formation de Manipulateurs d

Manipulation de représentations de cubes de données

Annonce GIMD