PCSI 1 EXERCICES : Limites et Continuité Page 1 Exercice 1

PCSI 1
EXERCICES : Limites et Continuité
Page 1
Exercice 1
Exercice 2
Etudier les limites suivantes
√
x4 + 2 x − 5
1. lim
x→+∞ x2 − 3 x − 7
Indication
√
2. lim
x2 + x + 1 − x et
Comportement en +∞ de l’application: x −→ x4 cos x + x3 sin x
x→−∞
Indication
Solution
Solution
lim
√
x→+∞
Exercice 3
x2 + x + 1 − x
Une fonction périodique peut elle avoir une limite en +∞ ?
Indication
Indication
√
√
3. lim
x2 − 5 x + 7 − x2 + 3 x − 8
Solution
x→+∞
Exercice 4
Indication
√
4. lim
x3 − 1 − x
Etudier la continuité des fonctions
1
1. f : x 7→
1 + |1 + x|
x→+∞
Indication
p
5. lim 3 (x − 1)2 (x + 1) − x
Indication

 g(0) = 0
2. g :
1
 g(x) = exp −
x2
x→+∞
Indication
1
6. lim x sin
x→0
x
Indication
7. lim
x→0
Solution
Solution
Indication
1
9. lim cos
x→0
x2
Solution
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Solution
Exercice 5
Indication
1
8. lim x E
x→0
x
Indication
si x 6= 0
Indication
Solution
x
sin x1
Indication
1
1
10. lim sin
+
x
sin
2
x→0
x
x
Solution
Montrer que
2
x + 3x − 1
6 1
x ∈ IR
−
3
x2 − x + 1
100
contient un intervalle ouvert non vide de centre 1 .
Indication
Solution
Solution
Exercice 6
Si f et g sont continues alors sup(f, g) est continue.
Indication
Solution
1
Solution
31 décembre 2009
PCSI 1
EXERCICES : Limites et Continuité
Exercice 7
Page 2
Exercice 11
1. Montrer qu’il n’existe aucune fonction f
Im f = {0, 1} .
∈
Etudier, en tout point de IR, la continuité des fonctions suivantes
f (x) = 1 si x ∈ Q
1. f :
f (x) = 0 si x ∈
/Q
C(IR) telle que :
Indication
Solution
Indication
g(x) = x2 + x
2. g :
g(x) = x2
∗
2. Peut-on trouver f ∈ C(IR ) telle que : Im f = {0, 1} ? .
Indication
Solution
Solution
si x ∈ Q
si x ∈
/Q
Indication
Solution
Exercice 8
Exercice 12
Quelles sont les fonctions f de C(IR) dont l’image est contenue dans Q ?
Indication
Déterminer les fonctions de C(IR) vérifiant :
Solution
1. ∀x ∈ IR,
(f (x))2 = f (x) .
Indication
Exercice 9
2. ∀x ∈ IR,
Solution
f (2x) + f (x) = 0.
Indication
Soit f une application continue de [0, 1] dans [0, 1] .
Solution
Montrer que l’équation f (x) = x possède au moins une solution.
Indication
Exercice 13
Solution
1. Soit f ∈ F(IR) telle que :
∀(x, y) ∈ IR2 ,
Exercice 10
Soit k un réel de l’intervalle [0, 1[ et f une application k -lipschitzienne
de [0, +∞[ dans [0, +∞[ .
∀ x ∈ ZZ, f (x a) = x f (a)
puis
∀ x ∈ Q, f (x) = x f (1)
2. Montrer que l’équation f (x) = x possède une unique solution λ .
Solution
Indication
(b) En supposant f continue, montrer
3. Soit u une suite définie par u0 ∈ [0, +∞[ et la relation un+1 = f (un ) .
Montrer que cette suite converge vers λ .
Indication
Solution
Solution
∀ x ∈ IR, f (x) = x f (1)
Indication
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(∗ )
(a) Soit a ∈ IR. Établir
1. Montrer que f est continue.
Indication
Indication
f (x + y) = f (x) + f (y).
2
Solution
31 décembre 2009
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EXERCICES : Limites et Continuité
Exercice 16
2. Déterminer toutes les applications f continues sur IR et vérifiant (∗) .
Indication
Page 3
Soit p ∈ IN∗ et f ∈ C([0, 1]) telle que f (0) = f (1) . Montrer que l’équation
Solution
3. Déterminer toutes les applications f continues en 0 et vérifiant (∗) .
Indication
f
Solution
4. Déterminer toutes les applications f croissantes et vérifiant (∗) .
Indication
1
p
= f (x)
possède au moins une solution.
Indication
Solution
Solution
Exercice 17
Exercice 14
Soit f une fonction continue de IR+ dans IR.
En utilisant l’exercice précédent, montrer que les seules fonctions f ∈ C(IR)
telles que
x+y
1
∀(x, y) ∈ IR2 , f
= (f (x) + f (y)) ,
2
2
1. f est-elle bornée ?
On suppose dans la suite que f possède une limite finie λ en +∞.
Indication
Solution
sont les fonctions affines.
Indication
x+
Solution
Exercice 15
2. Montrer que f est bornée.
Indication
Solution
3. Atteint-elle sa borne supérieure ? sa borne inférieure ?
Indication
Solution
4. Montrer que si λ = f (0) , alors f atteint sa borne inférieure et sa borne
supérieure.
Indication
Solution
Soit I un intervalle de IR et f ∈ IRI que l’on suppose injective et continue.
Le but de l’exercice est de prouver que f est monotone.
1. Soit (x, y) ∈ I 2 tels que x < y et soit z ∈ I .
Exercice 18
(a) Montrer que si f (x) < f (y) et x < z < y alors f (x) < f (z) < f (y).
Solution
Indication
(b) En déduire que si f (y) < f (x) et x < z < y alors f (y) < f (z) < f (x) .
Solution
Indication
(c) En supposant f (x) < f (y) justifier que si z < x alors f (z) < f (x)
puis que si y < z alors f (y) < f (z).
Solution
Indication
2. Montrer que f est monotone.
Indication
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Soit f ∈ C(IR+ , IR) .
1. Établir :
lim f (x + 1) − f (x) = 0 ⇒ lim
x→+∞
x→+∞
f (x)
= 0.
x
Indication
Solution
2. En déduire : lim f (x + 1) − f (x) = λ ⇒ lim
x→∞
Indication
Solution
3
x→∞
f (x)
= λ.
x
Solution
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