Diagonalisation d`une matrice carrée

UNIVERSITÉ DE NANTES
Département des Sciences de la Terre et de l’Univers
http://www.univ-nantes.fr/sciences/dptstu
2013-2014
X3G0030
Diagonalisation d’une matrice carrée
Principe de la diagonalisation
Soit φ, une application linéaire d’un espace vectoriel E (de dimension n) dans lui-même1 . On associe
à φ, la matrice A, de terme général aij , dans la base BE . C’est une matrice carrée de n lignes et n
colonnes,


a11 a12 a13 a14 ... a1j ... ... a1n
 a21 a22 a23 . . . . . . . a2j . . . . . . a2n 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A=
(1)
 ai1 ai2 ai3 . . . . . . . aij . . . . . . ain  .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 an3 . . . . . . . anj . . . . . . ann
Cette application linéaire pourrait tout aussi bien être exprimée dans une autre base, que l’on noterait
B0E ; la matrice A serait alors notée A0 et elle serait évidemment carrée également. Mais, elle pourrait
être beaucoup plus simple, c’est le but de la diagonalisation.
Rappel : A et A0 sont des matrices semblables si et seulement si
A0 = P −1 AP,
(2)
où P est la matrice de passage, permettant d’exprimer n’importe quel vecteur, connaissant ses composantes dans la base BE , dans une nouvelle base, B0E .
De l’équation (2), on en déduit que, grâce à un changement de base adéquat (certains pourraient
dire rusé), c’est-à-dire grâce à une matrice de passage P particulière, l’endomorphisme φ peut être
représenté par une matrice beaucoup plus simple qui serait de la forme


λ1 0 0 . . . . . . . .
0
0
0
 0 λ2 0 0 . . . . . . . . . . .
0
0


 0 0 λ3 0 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0
...
0
A0 = 
(3)
 0 0 . . . 0 λi 0
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


 0 . . . . . . . . . . 0 0 λn−2

0
0


 0 0 .......... 0
0
λn−1 0 
0 0 0 ........
0
0
λn
A0 serait une matrice diagonale, on dit parfois A0 est la matrice A diagonalisée. Les valeurs écrites
dans la diagonale de A0 sont les valeurs propres notées λ1 , λ2 , . . . , λn et P , la matrice de passage,
est formée par les vecteurs propres ; chacun étant associé respectivement à une valeur propre de la
diagonale.
Sachant que φ, l’application linéaire, va s’exprimer différemment en fonction de la base considérée,
il est possible d’écrire que

 Au
A0 u
∀u ∈ E, φ(u) =
(4)

λIu (puisque A0 est diagonale),
1
Cette transformation porte le nom d’endomorphisme
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où I est la matrice identité et λ l’ensemble de toutes les valeurs propres,
λ = {λ1 , λ2 , λ3 , . . . , λn }.
(5)
À partir de l’équation (4), on peut écrire que Au = λIu ou, de manière plus compacte, que
(A − λI)u = 0.
(6)
Résoudre l’équation (6) se résume à résoudre un système de n équations linéaires homogènes et finalement pour qu’il existe une solution autre que triviale, il suffit que
dét(A − λI) = 0.
(7)
En introduisant f , le polynôme caractéristique de degré n, tel que
f (λ) = dét(A − λI),
(8)
les n valeurs propres sont les n racines de ce polynôme. Elles sont obtenues en résolvant
f (λ) = 0.
(9)
En pratique, il suffit de calculer le déterminant associé à la matrice A dans lequel les termes de la
diagonale sont retranchés de λ.
Pratique de la diagonalisation
a1 a2
, le polynôme caractéristique du
Exemple : dans un espace à deux dimensions, si A =
a3 a4
deuxième degré, dont λ est la variable, est
a1 − λ
a2 f (λ) = .
(10)
a3
a4 − λ Soit
f (λ) = (a1 − λ)(a4 − λ) − a2 a3 ,
(11)
f (λ) = λ2 − (a1 + a4 )λ + a1 a4 − a2 a3 .
(12)
ce qui donne finalement
Résoudre l’équation (9) revient alors à déterminer, quand elles existent, les racines λ1 et λ2 .
Enfin, pour caractériser complètement la diagonalisation de A, il faut trouver la matrice de passage
et donc les vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres précédemment calculées. Cela
revient à déterminer, pour chaque valeur propre λi , les composantes du vecteur ui ,
 
x1
 x2 
 
.

ui = 
(13)
 . ,
 
.
xn
tel que
(A − λ1 I)u1
(A − λ2 I)u2
(A − λ3 I)u3
...
(A − λn I)un
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= 0,
= 0,
= 0,
(14)
= 0.
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Ces n systèmes de n équations linéaires homogènes se résolvent facilement, étant donné qu’ils sont
dégénérés, c’est-à-dire que tous les déterminants associés sont nuls. Il suffit donc pour chaque valeur
propre de trouver un vecteur représentatif parmi l’infinité des solutions.
La matrice de passage P est alors formée par chacun des vecteurs propres mis en colonnes et elle
vérifie évidemment l’équation (2).
Exemple
Diagonaliser la matrice A =
2 3
, puis déterminer les vecteurs propres associés et donc la matrice
4 1
de passage P .
D’après l’exemple donné pour un espace de dimension 2 (éq. 12), on peut écrire directement que
f (λ) = λ2 − 3λ − 10.
(15)
f est un trinôme du deuxième degré, il existe au moins une solution réelle à l’équation (9) puisque 1
et −10 sont de signes opposés. On note d le discriminant,
d = 9 − (4 × 1 × −10) = 49 = 72 .
(16)
Il existe donc deux solutions réelles distinctes, ce sont les deux valeurs propres de l’endomorphisme.
λ1 =
3−7
= −2 et
2
λ2 =
3+7
= 5,
2
(17)
par convention les valeurs propres sont rangées par ordre croissant. En réalité l’ordre n’est pas vraiment important mais une fois choisi il faut toujours garder le même puisqu’il détermine l’ordre des
colonnes dans la matrice de passage P .
La matrice diagonale, semblable à A, est donc
−2 0
0
A =
.
(18)
0 5
Reste à déterminer les vecteurs propres, que l’on note u1 et u2 .
Pour λ1 = −2, l’équation (6) s’écrit
(2 − λ1 )x1
+3x2 = 0
S1 =
,
4x1 +(1 − λ1 )x2 = 0
(19)
ce qui équivaut à
S1 =
4x1 +3x2 = 0
,
4x1 +3x2 = 0
(20)
soit
4
(21)
x2 = − x1 .
3
Le déterminant associé au système S1 est evidemment nul puisque les valeurs propres sont déterminées pour ça ; il exsite une infinité de solutions : ce sont tous les vecteurs colinéaires à la première
direction dans la nouvelle base B0E . Il suffit de se choisir un représentant en posant par exemple que
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x1 = 3, ce qui donne x2 = −4. Le premier vecteur propre est donc u1 =
3
.
−4
Pour λ2 = 5, l’équation (6) s’écrit
S1 =
−3x1
+3x2 = 0
,
4x1 + − 4x2 = 0
(22)
1
ce qui signifie que x1 = x2 et le second vecteur propre est, par exemple, u2 =
.
1
La matrice de passage est donc composée de ces deux vecteurs propres, en colonnes,
3 1
P =
,
−4 1
(23)
et il faut enfin s’assurer qu’elle vérifie l’équation (2).
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