∑ = ∑

Rappels d’algèbre linéaire
Soit Amxn une matrice de dimension m x n, donc composée de m lignes et n colonnes,
dans laquelle l’élément aij se trouve à l’intersection de la ie ligne et de la je colonne.
Soit x ∈ ℜn un vecteur colonne composé de n éléments définis sur le corps des nombres
réels. Le vecteur x peut aussi être vu comme une matrice de dimension n x 1.
Définition. Une matrice Amxn est une matrice carrée si m = n.
Définition. Une matrice identité, notée I, de dimension n x n est une matrice carrée telle
que aii = 1, i = 1,…, n et aij = 0, i = 1, …, n; j = 1, …, n; i ≠ j.
Définition. Soit Anxn une matrice carrée et soit Aij la matrice de dimension (n-1) x (n-1)
obtenue à partir de A en retirant la ie ligne et la je colonne. Alors, le déterminant de la
matrice A, noté |A|, est obtenu ainsi :
n
A = Σ (−1) i + j a ij A ij , pour i quelconque
j=1
ou
n
A = Σ (−1) i + j a ij A ij ,
i =1
pour j quelconque.
Définition. Soit Amxn. La matrice transposée de A, notée AT, est une matrice de
dimension n x m où a ij = a Tji , i = 1,…, m; j = 1, …, n.
n
T
n
Définition. Le produit scalaire des vecteurs x et y ∈ ℜ est x y = ∑ x j y j .
j =1
Définition. Soit Amxn et Bmxn. Le résultat de la somme de A et B, notée A+B, est une
matrice Cmxn où cij = aij + bij, i = 1,…, m; j = 1, …, n.
Définition. Soit Amxn. Le résultat du produit de la matrice A par un scalaire λ, notée λA,
est une matrice Cmxn où cij = λaij, i = 1,…, m; j = 1, …, n.
Définition. Soit Amxn et Bnxp. Le résultat du produit de A et B, notée A·B, est une matrice
n
Cmxp où c ij =
∑ a ik b kj = a i • T b • j , i = 1,…, m; j = 1, …, p.
k =1
(avec a i • ∈ ℜn, le vecteur formé des éléments de la ie ligne de la matrice A et b • j ∈ ℜn,
le vecteur formé des éléments de la je colonne de la matrice B)
Définition. Soit Anxn une matrice carrée. La matrice inverse de A, notée A-1, est une
matrice carrée de dimension n x n telle que A·A-1 = A-1·A = I.
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Définition. Un ensemble de vecteurs x1, x2, …, xk ∈ ℜn sont linéairement dépendants
s’il existe k scalaires λ1, λ 2, … λ k, non tous nuls, tels que λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk = 0
(où 0 ∈ ℜn est un vecteur ne contenant que des zéros). S’il n’existe pas de tels scalaires,
les vecteurs sont dits linéairement indépendants.
Définition. Le rang d’une matrice est le nombre maximum de lignes (colonnes),
considérées comme des vecteurs, qui sont linéairement indépendantes.
Définition. Soit Amxn. La matrice A est de plein rang si son rang correspond à min{m, n}.
Définition. Une matrice carrée Anxn est non singulière si l’une ou l’autre des propriétés
suivantes (qui sont équivalentes) est vérifiée :
•
Les lignes (colonnes) de A, considérées comme des vecteurs, sont toutes
linéairement indépendantes.
•
A est de plein rang.
•
|A| ≠ 0.
•
La matrice A possède une matrice inverse A-1.
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