Exercices et problèmes

c
CHAPITRE 3, O. Thual, Cépaduès-Éditions (1997) —
October 11, 2005 1
EXERCICES
EXERCICE 3.1
Mouvement de ma gomme
Ma gomme a la forme d’un parallélépipède rectangle de dimensions l1 = l2 =
l3 = l= 2 cm. Le choix des axes est tel que a ∈ [0, l]3 pour tous les points de
la gomme. Je l’ai animée d’un mouvement défini par
x1 = k(t)a1
x2 = a2
x3 = a3 + β(t) a21 ,
(3.1)
avec β(t) = β0 sin ωt et k(t) = k0 − c0 cos 2ωt. Les valeurs numériques sont
β0 = 1 cm−1 , k0 = 2 et c0 = 1.
1) Quel est le champ de vitesse eulérienne de ce mouvement ?
À t = 0, j’ai dessiné au centre de la face a2 = 0 une petite croix composée de
deux petits segments de longueur 0.1 mm ayant une extrémité au centre de
la face et dirigés dans les directions 1 et 3.
2) Quels sont les développements limités des longueurs des segments de la
croix au voisinage de t = 0 à l’ordre 1 en t ?
3) Même question pour l’angle θ(t) = π2 − γ(t) que font ces deux segments.
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EXERCICE 3.2
Coup de bélier
On considère un mouvement X(a, t) dont on connaı̂t le champ de vitesse
U (E) (x, t) dans sa représentation eulérienne, en notant x = (x1 , x2 , x3 ) :
2πt
πx1
(E)
(E)
(E)
U1 (x, t) = U0 cos
cos
, U2 = 0 , U3 = 0 . (3.2)
T
2L
c
2 CHAPITRE 3, O. Thual, Cépaduès-Éditions (1997) —
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On suppose que l’on connaı̂t la représentation eulérienne du champ de pression
p(E) (x, t) qui est égal à :
p(E) (x1 , x2 , x3 , t) = p0 + A0 sin
2πt
T
sin
πx1
2L
.
(3.3)
(E)
(x, t), la représentation eulérienne de la dérivée partielle
1) Calculer ∂p
∂t
par rapport au temps de la pression.
(E)
(x, t), la représentation eulérienne de la dérivée particulaire
2) Calculer dp
dt
de la pression.
(E)
(E)
et dp
?
3) Quelle différence physique existe-t-il entre ∂p
∂t
dt
4) Calculer la valeur des deux champs précédents en x = 0 et au temps
t = 1.5 s, pour les valeurs numériques : L = 1000 m, T = 4 s, U0 = 2
m/s, ρ = 1000 kg/m3 , p0 = 0 et A0 = c U0 ρ avec c = 1000 m/s.
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EXERCICE 3.3
Mouvements circulaires en phase
On considère un mouvement dont la représentation lagrangienne du champ
de déplacement est x1 = a1 + 2 β a2 sin ωt, x2 = a2 + 2 β a2 (cos ωt − 1) et
x3 = a3 avec 0 < β < 14 .
1) Calculer les représentations lagrangiennes U (L) et Γ(L) de la vitesse et de
l’accélération.
2) En déduire leurs représentations eulériennes U (E) et Γ(E) .
(E)
3) Vérifier dU
= Γ(E) et commenter.
dt
4) Résoudre analytiquement les équations différentielles ordinaires définies
d
[x(t)] = U (E) [x(t), t]. Comparer avec les trajectoires du mouvepar dt
ment.
Exercices
3
d
5) Tracer les lignes de courant x(s) à l’instant t définies par ds
[x(s)] =
(E)
φ(s) U
[x(s), t] où φ(s) est une fonction positive croissante quelconque.
Montrer que le tracé des lignes ne dépend pas du choix de φ.
6) Comparer le tracé des lignes de courant du champ de vitesse avec celui
des trajectoires.
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EXERCICE 3.4
Évolutions lagrangienne et eulérienne
On considère un mouvement X(a, t) défini par
a1
x1 =
2
t
2 + sin
T0
,
x2 = a2 ,
x3 = a3 .
(3.4)
1) Donner l’expression analytique des représentations lagrangiennes U (L) (a, t)
et Γ(L) (a, t) des champs de vitesse et d’accélération. Interpréter physiquement ces champs en terme de suivi de particules.
2) Donner l’expression analytique des représentations eulériennes U (E) (x, t)
et Γ(E) (x, t) des champs de vitesse et d’accélération. Interpréter physiquement ces champs en considérant un point d’observation fixe.
(E)
(x, t) en fonction de U (E) (x, t) et
3) Calculer la dérivée particulaire dU
dt
(E)
comparer avec Γ (x, t).
4) Tracer sur un même graphe l’évolution temporelle lagrangienne
U (L) (x∗ , t) et eulérienne U (E) (x, t) pour x = x∗ et commenter.
5) Quelles sont les positions de référence des particules correspondant au
maximum de la vitesse eulérienne au point x = x∗ ?
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October 11, 2005
EXERCICE 3.5
Rotation et déformation
Le vecteur taux de rotation est défini par ω = 12 rot U en représentation
eulérienne. Le tenseur des taux de déformation D est la partie symétrique du
gradient de la vitesse exprimée en représentation eulérienne.
1) Écoulement purement cisaillé. On considère un écoulement dont le champ
de vitesse est U1 = U (x2 ) et U2 = U3 = 0. Calculer ω et D. Tracer la
trajectoire d’une particule. Discuter l’éventuelle rotation de la particule
sur elle-même ainsi que sa déformation.
2) Écoulement en rotation solide. Mêmes questions pour U1 = −Ωx2 ,
U2 = Ωx1 et U3 = 0. Exprimer la vitesse en coordonnées cylindriques et
commenter.
3) Écoulement dans un cyclone. Mêmes questions pour U1 = −κx2 /(x21 +
x22 ), U2 = κx1 /(x21 + x22 ) et U3 = 0. Exprimer la vitesse en coordonnées
cylindriques et commenter.
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EXERCICE 3.6
Trajectoires et systèmes dynamiques
On s’intéresse aux mouvements tels que U3 = 0 et
U1
U2
x1
=A
x2
où A est une matrice dont les coefficients ne dépendent pas du temps. Pour
chacun des mouvements des questions suivantes, calculer la divergence du
champ de vitesse et son rotationnel. Déterminer les tenseurs des taux de
déformation et de rotation. Tracer les trajectoires et interpréter les résultats.
1) Matrice diagonale : A est une matrice diagonale telle que A11 = λ1 et
A22 = λ2 . Discuter en fonction des valeurs de λ1 et λ2 .
Exercices
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2) Rotation solide : A vérifie A11 = A22 = 0, A21 = −Ω et A12 = Ω.
3) Écoulement elliptique : A vérifie A11 = 3λ, A22 = −3λ, A12 = 4λ,
A21 = 4λ.
4) Bloc de Jordan : A vérifie A11 = A22 = A21 = 0 et A12 = λ.
5) Transition par bloc de Jordan : A vérifie A11 = A22 = −λ, A21 = λ et
A12 = βλ. Discuter en fonction de la valeur de β.
PROBLÈME 3.7
Mouvements avec fonction de courant
On considère des mouvements définis par un champ de vitesse U (x, t) tel que
U3 = 0 et
∂ψ(x, t)
∂ψ(x, t)
et U2 (x, t) =
,
(3.5)
U1 (x, t) = −
∂x2
∂x1
où ψ(x) est une fonction quelconque appelée “fonction de courant” associée
au champ U (x). On peut écrire U = e(3) ∧ grad ψ.
1) Montrer qu’un mouvement qui admet une fonction de courant est isochore.
2) Calculer le rotationnel d’un tel mouvement.
3) À l’instant t∗ , montrer que les courbes paramétrées par s vérifiant ψ[x(s), t∗ ] =
ψ0 sont des lignes de champ du champ de vitesse.
4) En déduire le tracé des trajectoires dans le cas où le mouvement est
stationnaire, c’est-à-dire lorsque le champ de vitesse U (x) ne dépend pas
du temps,
Fonction de courant symétrique
On considère un mouvement fluide dont la vitesse eulérienne est donnée par
h U1 = (2ψ0 x2 /R2 ) exp − x21 + x22 /R2
i
c
6 CHAPITRE 3, O. Thual, Cépaduès-Éditions (1997) —
October 11, 2005
h U2 = −(2ψ0 x1 /R2 ) exp − x21 + x22 /R2
i
et
U3 = 0
(3.6)
5) Montrer que cet écoulement est isochore (volume constant).
6) Calculer le tenseur des taux de déformation D et le vecteur rotation ω
puis interpréter les composantes de D.
7) Tracer les trajectoires de ce mouvement.
8) Montrer que ce mouvement admet une fonction de courant ψ.
9) Calculer le laplacien ∆ψ de cette fonction et comparer à ω.
Écoulement en coin
On considère un écoulement dont la vitesse est U1 = γ(x21 − x22 ), U2 =
−2γx1 x2 et U3 = 0.
10) Calculer le tenseur des taux de déformation D(x, t) et interpréter ses
composantes. Calculer la divergence du champ de vitesse et en déduire
le taux de variation des volumes ?
11) Calculer le rotationnel du champ de vitesse.
12) Calculer les valeurs de la constante k telles qu’une demi-droite d’équation
x2 = k x1 soit une trajectoire de l’écoulement.
13) Montrer que ce mouvement admet une fonction de courant ψ(x) et la
déterminer. Comparer avec la question précédente.
Trochoı̈de ou cycloı̈de
On considère un écoulement dont la représentation eulérienne de la vitesse
est U1 = Ωx2 , U2 = −Ωx1 + γΩ2 t et U3 = 0.
14) Vérifier que l’écoulement est isochore (volume constant) et calculer son
rotationnel. Calculer le champ d’accélération.
d
15) Tracer les lignes de courant x(s) à l’instant t définies par ds
[x(s)] =
φ(s) U (x, t) où φ(s) est une fonction positive croissante quelconque. Comment évoluent ces lignes avec le temps ?
Exercices
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16) Montrer que ce mouvement admet une fonction de courant ψ et la calculer. Vérifier que le tracé des lignes de champ du champ de vitesse
correspond bien aux courbes ψ = constante.
17) Tracer l’allure des trajectoires (ce sont des trochoı̈des). Pour quelle valeur
de γ obtient-on des cycloı̈des ?
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PROBLÈME 3.8
Écoulement de Couette
Ce problème s’inspire du film pédagogique suivant : J. F. Lumley, Deformation of continuous media, NCFMF/EDC/Film n◦ 21608, Encyclopedia Britannica Educ. Corp.
On considère un écoulement de Couette défini par la représentation eulérienne
U (x, t) = (γ x3 , 0, 0) du champ de vitesse. On note {e(1) , e(2) , e(3) } le repère
orthonormé.
Représentations eulérienne et lagrangienne
1) On suppose que la mesure du nombre de moles par unité de volume d’une
espèce chimique permet d’établir la représentation eulérienne c(x, t) =
c0 (x1 −γ t x3 )2 +c0 x23 de cette grandeur. Calculer la dérivée particulaire
dc
dt de ce champ.
2) Calculer la représentation lagrangienne X(a, t) du mouvement qui vérifie
X(a, 0) = a et dessiner les trajectoires.
3) Calculer la représentation lagrangienne c(L) (a, t) du champ de concentration c ainsi que de sa dérivée particulaire. Comparer avec le résultat de
la première question.
Étude locale du mouvement
4) Étant donné un vecteur δx(t) transporté par le mouvement, calculer et
d(
t) et de l’angle
tracer l’évolution en fonction du temps de sa norme dx
c
8 CHAPITRE 3, O. Thual, Cépaduès-Éditions (1997) —
October 11, 2005
θ(t) qu’il fait avec l’axe Ox1 , sachant que δx(0) = δl e(3) . Calculer
le développement limité à l’ordre 2 (deux termes) de ces fonctions au
voisinage de t = 0.
5) Calculer le tenseur des taux de déformation D(x, t) et interpréter ses
composantes D33 et D13 . Comparer avec les résultats de la question ??.
6) Déterminer la base de diagonalisation de D(x, t) et interpréter ses composantes dans cette base.
7) Calculer le tenseur des taux de rotation Ω(x, t) et le vecteur rotation
ω(x, t). Interpréter ces grandeurs.
Tenseur des dilatations
On s’intéresse à la déformation entre la configuration de référence Ω0 = Ω(t0 )
et la configuration déformée Ω(t) au temps t. On supposera que γ = 0.032 s−1
et t = 25 s dans les applications numériques.
8) Exprimer le tenseur des dilatations C(a, t) de cette déformation et interpréter ses composantes C33 et C13 . Comparer avec les résultats de la
question 4.
q
2
q
2
9) On note k = γ t ainsi que α = 1 + k4 + k2 et β = 1 + k4 − k2 . Vérifier
que l’ensemble des valeurs propres de C(a, t) est {1 + k α, 1, 1 − k β}
et que les directions propres sont parallèles aux vecteurs φ(1) = (1, 0, α),
φ(2) = e(2) , φ(3) = (1, 0, −β).
√
√
10) Déduire des expressions de α et β que α = 1 + k α et β = 1 − k β.
Calculer les valeurs numériques des dilatations relatives des vecteurs
da(1) = δl φ(1) et da(3) = δl φ(3) .
Déformation d’un cercle
On s’intéresse maintenant à l’image du cercle d’équation a21 + a23 = δl 2 et
a2 = 0 de la configuration de référence Ω0 qui devient une ellipse dans la configuration déformée Ω(t). Les valeurs numériques sont toujours γ = 0.032 s−1
Exercices
9
et t = 25 s.
11) Tracer, pour n = 5, les 2n + 1 points a(i) de ce cercle, i entier variant
(i)
(i)
de −n à n, définis par a1 = (n − |i|/n) δl et sign[a3 ] = sign(i). Tracer
leurs images x(i) par la déformation X(a, t).
12) Déterminer l’équation de l’ellipse dans la configuration déformée Ω(t) et
calculer ses quatre points d’intersection avec le cercle. Tracer ces points.
13) En déduire une construction géométrique des directions du grand axe et
du petit axe de l’ellipse. Tracer les directions de ces axes.
14) Calculer les points où la tangente à l’ellipse est parallèle à l’axe Ox1 .
Tracer ces points.
15) Tracer les images δx(1) et δx(3) des vecteurs da(1) = δl φ(1) et da(3) =
δl φ(3) par la déformation X(a, t) et commenter.
16) Calculer les longueurs des grand et petit axes à partir de l’interprétation
des composantes de C(0, t) dans sa base de diagonalisation. Tracer
l’ellipse.
Limite t → 0.
On s’intéresse maintenant à des temps très petits et on suppose donc que k
est un petit paramètre.
17) Vers quelles limites tendent les vecteurs propres φ(1) et φ(3) lorsque t →
0 ? Comparer cette limite aux vecteurs propres du tenseur des taux de
déformation D(0, 0).
18) Vers quelles limites tendent les vecteurs δx(1) et δx(3) définis dans la
question 15 ? En déduire les directions limites des axes de l’ellipse lorsque
t → 0.
19) Donner le développement limité jusqu’à l’ordre 1 en k des valeurs propres
du tenseur des dilatations C(0, t).
20) En déduire les développements limités des demi-longueurs des axes. Interpréter ces développements à l’aide des valeurs propres du tenseur des
c
10CHAPITRE 3, O. Thual, Cépaduès-Éditions (1997) —
October 11, 2005
taux de déformation D(0, 0).
Ellipsoı̈de des déformations
21) Pour chaque temps t, on appelle “ellipsoı̈de des déformations” l’ensemble
des positions a dans la configuration de référence correspondant aux
points de la sphère d’équation x21 + x22 + x23 = δl 2 dans la configuration
déformée. Décrire le mouvement des axes principaux de cet ellipsoı̈de
au voisinage de t = 0 et l’interpréter à l’aide des tenseurs des taux de
déformation et de rotation.
22) Question subsidiaire : montrer que tous les résultats établis dans ce
problème pour un petit voisinage du point a = 0 sont en fait valables pour
tout point a et pour des tailles finies des “petits vecteurs”. Interpréter
ce résultat en invoquant le caractère linéaire du champ de vitesse.
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PROBLÈME 3.9
Ondulations et houles
Ce problème a pour but de distinguer les ondulations d’une surface libre,
rencontrées par exemple pour un écoulement sur une surface ondulée, des
ondes propagatives responsables du phénomène de houle.
Ondulations stationnaires
On considère un mouvement connu dans sa représentation lagrangienne X(a, t)
qui s’écrit x1 = a1 + u t, x2 = a2 et x3 = a3 − R cos k(a1 + u t) + R cos k a1 .
On suppose que la configuration de référence est l’ensemble Ω0 des points a
tels que a3 ≤ R (1 − cos k a1 ).
1) A-t-on X(a, 0) = a ? Représenter l’ensemble Ω0 . Exprimer les trajectoires à l’aide de fonctions x3 = f (x1 ) et les dessiner en représentant les
points a ∈ Ω0 dont elles sont issues. Traiter le cas particulier a = 0.
Décrire les configurations déformées Ω(t) aux instants t.
Exercices
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2) Calculer l’application inverse A(x, t). Montrer qu’elle peut s’interpréter
comme un mouvement de même nature que le mouvement X(a, t).
3) Calculer la représentation eulérienne du champ de vitesse U (x, t). Dessiner
ses lignes de champ encore appelées “lignes de courant”.
4) Calculer la représentation eulérienne de l’accélération Γ(x, t) = dU
dt (x, t)
en utilisant l’expression de la dérivée particulaire en représentation eulérienne.
Comparer au calcul direct obtenu à partir de la représentation lagrangienne Γ(L) (a, t) de l’accélération.
5) Calculer les tenseurs des taux de déformation D(x, t) et de rotation Ω(x, t)
et interpréter leurs composantes. Calculer le vecteur rotation ω(x, t).
6) Répondre aux questions précédentes pour le mouvement défini par x1 =
a1 + u t, x2 = a2 et x3 = a3 − R cos k(a1 + u t) où la configuration de
référence est l’ensemble Ω0 des points a tels que a3 ≤ 0.
Houle de Gestner
On considère un mouvement connu dans sa représentation lagrangienne X(a, t)
qui s’écrit x1 = a1 − R exp(λ a3 ) sin(k a1 − ω t), x2 = a2 et x3 = a3 +
R exp(λ a3 ) cos(k a1 − ω t) où la configuration de référence est l’ensemble Ω0
des points a tels que a3 ≤ 0. On suppose que λ > 0 et 0 ≤ k R ≤ 1.
7) A-t-on X(a, 0) = a ? Dessiner les trajectoires en représentant les points
a ∈ Ω0 qui leur correspondent dans la configuration de référence.
8) Montrer que le mouvement est isochore si et seulement si λ = k. On
supposera désormais cette relation vérifiée.
9) Calculer la représentation lagrangienne U (L) (a, t) du champ de vitesse.
Peut-on déterminer facilement une expression analytique de sa représentation
eulérienne ? Mêmes questions pour l’accélération Γ(L) (a, t).
10) Montrer que la courbe paramétrée définie par x1 (s) = s − R sin(ks + φ),
x2 = 0 et x3 = R cos(ks + φ) est une trochoı̈de, c’est-à-dire la trajectoire
d’un point situé à une distance R de l’axe d’une roue qui roule sans glisser
sur un plan. Préciser l’équation de ce plan, et indiquer la valeur du rayon
c
12CHAPITRE 3, O. Thual, Cépaduès-Éditions (1997) —
October 11, 2005
de la roue. Tracer sommairement cette trajectoire dans le cas général
k R < 1 et dans le cas de la cycloı̈de kR = 1.
11) À l’aide de courbes paramétrées par a1 et a2 , décrire, à l’instant t =
−φ/ω, le lieu des points images par la déformation X(a, t) des particules
dont les positions a dans la configuration de référence appartiennent au
plan a3 = 0.
12) En déduire que la frontière de la configuration déformée Ω(t) est une
surface qui se propage à vitesse constante. Tracer cette surface et calculer
cette vitesse. Interpréter physiquement ce mouvement.
Houle de Stokes
On considère un mouvement connu à travers la représentation eulérienne
U (x, t) de sa vitesse qui s’écrit
U1 = u exp(k x3 ) cos(k x1 − ω t) ,
U3 = u exp(k x3 ) sin(k x1 − ω t) .
U2 = 0 et
(3.7)
13) Montrer que ce mouvement est isochore et irrotationnel.
14) Peut-on calculer analytiquement les trajectoires dans le cas général à
l’aide de fonctions simples ?
Dans le cas particulier où ǫ = k u/ω est très petit, on approche les trajectoires
par des cercles dont les centres a seront choisis comme étant les positions
associées dans la configuration de référence.
15) Justifier cette approximation et expliciter le mouvement X(a, t). En
déduire l’évolution des configurations déformées Ω(t) issues de la configuration de référence Ω0 définie par a3 ≤ 0.
16) Calculer l’accélération de ce mouvement dans le cas général et comparer
avec le cas particulier ǫ << 1.
17) Décrire qualitativement les trajectoires lorsque ǫ est d’ordre 1.
18) Comparer et interpréter physiquement les différents mouvements abordés
dans ce problème.
Exercices
13
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