La théorie des options

Valorisation des options
Novembre 2007
Plan
„ Rappels
„ Relations de prix
„ Le modèle binomial
„ Le modèle de Black-Scholes
„ Les grecques
Page 2
Rappels (1)
„ Définition
z Une option est un contrat financier qui confère à son
détenteur le droit (mais non l’obligation) d’acheter ou de
vendre une quantité déterminée d’un actif « sousjacent », à un prix convenu à l’avance, à ou jusqu’à une
date déterminée au préalable (échéance)
„ Sous-jacents possibles
z Actions, paniers d’actions, obligations, devises, matières
premières, etc.
Page 3
Rappels (2)
„ Terminologie
z Call (achat) / put (vente)
z « plain-vanilla »
z Exercice d’une option: livraison effective du sous-jacent ou
règlement en espèces
q
l’option
p
donne le droit
z Prix d’exercice ou strike: le cours auquel
d’acheter ou de vendre le sous-jacent
z Option américaine: peut être exercée à tout moment jusqu’à
l’échéance
z Option européenne: ne peut être exercée qu’à l’échéance
z Prime: prix de transaction de l’option
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Rappels (3)
„ Déterminants de la prime d’une
d une option
z Le cours du sous-jacent, le strike, l’échéance, les taux d’intérêt,
les éventuels dividendes versés par le sous-jacent, la volatilité
du sous-jacent
sous jacent
„ Impact de la hausse d’un paramètre
Option Call Option Put
Cours du sous-jacent
Strike
Échéance
Taux d'intérêt
Dividendes
Volatilité
Page 5
N
P
N
N
P
N
P
N
N
P
N
N
Relations de primes (1)
„ Bornes de call européen (sans dividende)
z 0 < call <= cours du sous-jacent
z call > cours du sous-jacent-(strike actualisé)
„ Bornes de put européen (sans dividende)
z 0 < put <
<= (strike actualisé)
z put > (strike actualisé)-cours du sous-jacent
„ Européen et Américain
z Européen <= américain
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Relations de primes (2)
„ Parité put
put-call
call (options européennes, sans dividende)
z Call + (strike actualisé) = put + sous-jacent
„ Illustration
+
„ Preuve
z …
Page 7
=
Modèle binomial (1)
„ Arbre binomial à une période
z La période considérée est comprise entre les instants t=0 et t=1
z Le cours du sous
sous-jacent
jacent en tt=0
0 est connu et égal à S
z Deux états possibles peuvent se présenter à l’instant t=1: soit
une hausse du cours du sous-jacent de h% avec une probabilité
p soit une baisse du cours du sous-jacent
p,
sous jacent de b% avec une
probabilité 1-p
uS
p
u=1+h%
d=1-b%
S
1-p
dS
t=0
Page 8
t=1
Modèle binomial (2)
„ Arbre binomial à une période (suite)
z On suppose qu’il existe un titre sans risque avec un rendement r
sur la période
z On suppose enfin que le marché est parfait (pas d’opportunité
d’arbitrage, pas de frais, pas de taxe, …)
z Cette dernière hypothèse implique que d <= 1+r <= u
„ Valorisation sur l’arbre binomial à une période
é
z On considère une option call européenne de strike K qui arrive à
échéance à l’échéance
l échéance en t=1
z Valorisation du call: quel est la valeur de cette option en t=0?
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Modèle binomial (3)
„ Valorisation sur ll’arbre
arbre binomial à une période
z On considère une option call européenne de strike K qui arrive à
échéance à l’échéance en t=1
z Valorisation du call: quel est la valeur de cette option en t=0?
A b du
Arbre
d sous-jacent
j
t
A b de
Arbre
d l'option
l' ti
call
ll
Cu=Max(uS-K,0)
uS
p
p
S
C=?
1-p
1-p
dS
Page 10
Cd=Max(uS-K,0)
Modèle binomial (4)
„ Valorisation sur ll’arbre
arbre binomial à une période (suite)
z Idée fondamentale: construire un portefeuille qui réplique
exactement l’option en t=1. L’absence d’opportunité d’arbitrage
impliquera alors que la valeur de ce portefeuille sera égale à celle
de l’option call
z Candidat: p
prendre x unités du sous-jacent
j
et y unités du titre
sans risque. L’arbre binomial d ce portefeuille se présente comme
suit:
Arbre du portefeuille de réplique
x*uS+y*(1+r)
p
x*S+y
x
S+y
1-p
x*dS+y*(1+r)
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Modèle binomial (5)
„ Valorisation sur l’arbre binomial à une période (suite)
z En identifiant le payoff en t=1 du portefeuille de réplique à celui
de l’option call, on obtient un système de deux équations à deux
inconnues dont les solutions sont
Cu − Cd
x=
(u − d ) ⋅ S
u ⋅ Cd − d ⋅ Cu
y=
(1 + r )(u − d )
z On en déduit que la valeur de l’option call en t=0 est:
[
1
C=
⋅ q ⋅ Cu + (1 − q ) ⋅ Cd
1+ r
]
1+ r − d
q=
u−d
z Remarque fondamentale: la formule ne dépend pas de p…
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Modèle binomial (6)
„ Valorisation sur ll’arbre
arbre binomial à une période (suite et fin)
z Règle de calcul:
Inputs:
r, u, d, S, K
Etape 1
Calculer q
Etape 2
Calculer Cu et Cd
Etape 3
Calculer C
z Comment choisir les paramètres u et d?
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Modèle binomial (7)
„ Extension à plusieurs périodes (Cox, Ross & Rubinstein)
z Input: cours du sous-jacent, strike, échéance, taux d’intérêt sans
risque (continu), la volatilité du sous-jacent
z Subdiviser la durée de vie de l’option T en N périodes de même
longueur. Poser u=exp(volatilité*racine(T/N)), d=1/u et calculer
le paramètre q (probabilité risque-neutre)
z Partir du cours initial du sous-jacent pour construire un arbre
binomial à N périodes modéliser l’évolution du sous-jacent
z Partir le payoff final de ll’option
option et remonter l’arbre
l arbre en procédant
comme dans le cas à une période dans chaque noeud.
Page 14
Modèle binomial (8)
„ Illustration
uuS
p
uS
p
1-p
S
udS
p
1 p
1-p
dS
1-p
t=0
Page 15
t=1
ddS
t=2
Modèle binomial (9)
„ Exemple numérique
Cours spot
Strike
100
100
Taux
Arbre du sous-jacent
2%
Arbre du call
105
100
5
C=?
95
u
d
1.05
0.95
q
Page 16
0
0.70
C
3.43
Black-Scholes (1)
„ Formule de Black-Scholes (sans dividende)
( )
( )
) − S ⋅ N (− d )
Call = S ⋅ N d1 − K ⋅ exp(− r ⋅ T ) ⋅ N d 2
(
Put = K ⋅ exp(− r ⋅ T ) ⋅ N − d 2
Avec
1
S =Prix du sous-jacent
K =Prix d’exercice
r =Taux d’intérêt sans risque (en
T =Durée
continu et annuel)
jusqu’à
jusqu à l’expiration
l expiration (exprimée en années)
1
⎧
⎛
⎞ ⎫
d1 = ⎨ Ln(S K ) + ⎜ r + ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ T ⎬ σ T
2
⎝
⎠ ⎭
⎩
σ
d 2 = d1 − σ T
représente la volatilité du sous-jacent
N (...) est la fonction de
Page 17
,
répartition de la loi normale
Black-Scholes (2)
„ Illustration numérique
Sous-jacent
Cours spot
Strike
Échéance
Taux
Volatilité
d1
d2
Page 18
SMI
8230
8250
0.1240 (31 jours ouvrés)
1.78%
13.36%
0.01895
-0.02809
N(d1)
N(d2)
Call
153.58
0.50756
0.48879
Black-Scholes (3)
„ La volatilité historique
z Calculée à partir des cours historiques du sous-jacent
„ La volatilité implicite
z Permet de retrouver le prix côté par le marché à l’aide de la
formule de Black-Scholes
„ Surface de volatilité, smile de volatilité
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Grecques (1)
Variation du ...
Prix du sousjacent
Grec
Delta
Gamma
Volatilité
Vega
Temps
Theta
Taux d’intérêt
Rho
Prix de
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Grecques (2)
Call
Delta
Gamma
Vega
Theta
h
Rho
Page 21
Put
( )
N'(d1 ) (σ ⋅SS⋅ τ )
S⋅ τ ⋅N'(d1 )
N' d1 (σ ⋅S
S⋅ τ )
cff références
éfé
Cf références
éfé
N d1
( )
K ⋅τ ⋅exp(−r⋅τ )⋅N d2
N (d1 )−1
( )
( )
S⋅ τ ⋅N' d1
( )
−K ⋅τ ⋅exp(−r⋅τ )⋅N −d2
Grecques (3)
„ Utilisation des grecques
z Mesure de risque de portefeuilles d’options
z Couverture en delta neutre
z Réplication synthétique d’options
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