Calcul du champ électrostatique créé par un cylindre infini

Calcul du champ électrostatique
créé par un cylindre infini chargé uniformément
Fiche réalisée par B. Louchart, professeur au lycée E. Woillez de Montreuil-sur-mer (62)
et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62)
© http://b.louchart.free.fr
Enoncé :
Déterminer en tout point de l'espace le champ électrostatique créé par un cylindre infini de rayon R et
uniformément chargé (avec une densité volumique de charge ρ).
Corrigé :
(∆)
u
u
M
u
O
Plaçons nous dans un repère cylindrique.
M = E r, θ, z. u + Eθ r, θ, z. uθ + E r, θ, z. u
On a alors : E
Etude des symétries :
appartient à ce plan.
Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E
appartient à ce plan.
Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E
est donc dirigé selon u : E
M = E r, θ, z. u
Le champ E
Etude des invariances :
Il y a invariance de la distribution de charges :
- par translation selon l'axe (Oz) ⇒ E ne dépend pas de z
- par rotation autour de l'axe (Oz) ⇒ E ne dépend pas de θ
M = Er. u
On obtient donc : E
Détermination de E(r) par application du théorème de Gauss :
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé d'axe (Oz), de rayon r et de hauteur h.
(∆)
dS
(Sbase 1)
dS
M
h
(Slatérale)
(Sbase 2)
dS
D'après le théorème de Gauss,
& E. dS
=
'( Q*+,
ε.
(1)
=
& E. dS
'( =
E. dS +
"#é%" E. dS
+
E. dS
! ⇒ E. dS
= 0
Sur les surfaces de base du cylindre, E ⊥ dS
Donc
E. dS =
E. dS = 0
! Sur la surface latérale, E = Er. u et dS = dS. u
Donc
"#é%" =
. dS
E
"#é%"
Er. dS = Er "#é%"
dS = Er × 2πrh
(car E(r) est constant
sur la surface latérale)
Donc
& E. dS = 2πrh × Er
'( 1er cas : si r  R
Qint = ρ × πR1 h
L'équation (1) donne ainsi :
Finalement,
2πrh × Er =
si r  R, EM =
ρ × πR1 h
ε.
, soit
Er =
ρR1
2ε. r
ρ × πr 1 h
ε.
, soit
Er =
ρr
2ε.
ρR1
u
2ε. r 2ème cas : si r  R
Qint = ρ × πr 1 h
L'équation (1) donne alors : 2πrh × Er =
Finalement,
M =
si r  R, E
ρr
u
2ε.