Calcul du champ et du potentiel électrostatiques créés par un

Calcul du champ et du potentiel électrostatiques
créés par un fil rectiligne infini chargé uniformément
Fiche réalisée par B. Louchart, professeur au lycée E. Woillez de Montreuil-sur-mer (62)
et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62)
© http://b.louchart.free.fr
Enoncé :
1. Déterminer le champ électrostatique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé (de densité
linéique de charge λ) en tout point de l'espace (en dehors du fil).
2. En déduire le potentiel V. On posera V(r0) = V0 .
Corrigé :
1.
(∆)
u
u
M
u
O
Plaçons nous dans un repère cylindrique.
On a alors : EM = E r, θ, z. u + Eθ r, θ, z. uθ + E r, θ, z. u
Etude des symétries :
Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E appartient à ce plan.
Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E appartient à ce plan.
Le champ E est donc dirigé selon u : EM = E r, θ, z. u
Etude des invariances :
Il y a invariance de la distribution de charges :
- par translation selon l'axe (Oz) ⇒ E ne dépend pas de z
- par rotation autour de l'axe (Oz) ⇒ E ne dépend pas de θ
On obtient donc : EM = Er. u
Détermination de E(r) par application du théorème de Gauss :
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé d'axe (Oz), de rayon r et de hauteur h.
dS
(∆)
(Sbase 1)
h
M
dS
(Slatérale)
(Sbase 2)
dS
D'après le théorème de Gauss,
E. dS
=
Q !"
ε$
(1)
=
Or
E. dS
=
% E. dS + %
)*é,)' &' ( E. dS
dS
+ % E. &' - ⇒ E
= 0
⊥ dS
. dS
Sur les surfaces de base du cylindre, E
Donc
. % E
dS
=
&' ( . % E
dS = 0
&' - = dS. u
= Er. u et dS
Sur la surface latérale, E
Donc
%
)*é,)' ⇒
. E
dS
= %
E. dS = 2πrh × Er
)*é,)'
Er. dS = Er %
)*é,)'
dS
(car E(r) est constant
sur la surface latérale)
= Er × 2πrh
De plus,
Qint = λh
2πrh × Er =
L'équation (1) donne ainsi :
Finalement,
EM =
λh
ε$
, soit
Er =
λ
2πε$ r
λ
u
2πε$ r 2. Il y a invariance de la distribution de charges par rotation autour de l'axe (Oz) et par translation selon cet
axe, donc V ne dépend ni de θ, ni de z : V = V(r).
V , donc
E = − grad
⇒
dV
λ
= −
dr
2πε$ r
E = −
dV
dr
⇒ dV = −
λ
dr
2πε$ r
En intégrant cette relation, on obtient :
λ
1
3 dV = −
3
dr
2πε$ 5 r
45 4
D'où
V(r) = V0 −
⇒
λ
r
ln
2πε$
r$
V(r) – V(r0) = −
λ
r
ln
2πε$
r$