Corrigé - matheclair

Nom : …………………
TSTMG
Corrigé du Devoir surveillé.
Sujet A.
18 juin 2015
Exercice 1 : QCM (10 points) sujet métropole de juin 2013
Le supermarché Baprix distribue en caisse un ticket à gratter à chaque acheteur. Les tickets
gagnants donnent droit à des bons de réduction à utiliser la semaine suivante.
Le gérant veut augmenter ses ventes le mardi. Ce jour-là, un ticket sur cinq donne droit à un bon
de réduction. Les autres jours de la semaine, un ticket sur 100 donne droit à un bon de réduction. On
interroge un client choisi au hasard. Celui-ci a acheté une seule fois chez Baprix la semaine
précédente. Cette semaine là, 32 % des achats se sont faits le mardi.
On désigne par M l’ événement : « le client a fait ses achats le mardi de la semaine précédente »
et par B l’événement « le client a obtenu un bon de réduction la semaine précédente ». M et B
désignent respectivement les événements contraires de M et de B.
Les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 0,001 près.
1. D’après l’énoncé, quelle est la probabilité que le client ait obtenu un bon de réduction, sachant
qu’il a fait ses achats le mardi de la semaine précédente ?
pM(B) =
1
= 0,2.
5
1 pt
2. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.
B
0,2
M
0,8
0,32
B
0,68
B
0,01
M
0,99
B
2 pts
Calculer la probabilité p(M ∩ B) que le client ait fait ses achats le mardi de la semaine
précédente et obtenu un bon de réduction à cette occasion. p (M ∩ B) = p (M) × pM(B) = 0,32×0,2
= 0,064.
1 pt
3. Traduire par une phrase l’événement M ∩ B puis calculer sa probabilité.
M ∩ B est l'événement « le client n'a pas fait ses achats le mardi de la semaine précédente et a
obtenu un bon de réduction. p (M ∩ B) = p (M) × pM(B) = 0,68×0,01 = 0,0068 ≈ 0,007.
2 pts
4. Calculer p(B).
p(B) = 0,064 + 0,007 = 0,071.
1 pt
5. Le client interrogé a un bon de réduction. Y a-t-il plus de 80 % de chances qu’il ait fait ses achats
le mardi de la semaine précédente ?
p( B ∩M )
0,064
=
≈ 0,901. Il y a donc bien plus
0,071
p (B)
de 80 % de chances qu’il ait fait ses achats le mardi de la semaine précédente.
Ce que l'on cherche est donc pB(M), or pB(M) =
3 pts
Exercice 2 : (10 points) sujet de métropole de septembre 2014
Partie A :
On considère la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 16] par :
f (x) = –x + 20 –
64
.
x
On note f ′ la fonction dérivée de f.
1. Démontrer que pour tout x de l’intervalle [4 ; 16], on a :
64−x 2
f ' (x) =
.
x2
1
avec u (x) = –x + 20, donc u' (x) = –1.
x
−1
64
64
x2
64−x 2
Donc f ' (x) = u' – 64× 2 = –1 + 2 = – 2 + 2 =
.
x
x2
x
x
x
2. a. Montrer que le tableau de signes de f ′ sur l’intervalle [4 ; 16] est
f (x) = u – 64×
2 pts
( )
x
4
8
16
2 pts
f ' (x)
+ 0 –
Le dénominateur de f ' est un carré, il est donc positif. Le numérateur est une polynôme de degré 2
avec un coefficient devant x2 négatif, il est donc positif entre ses racines. Ses racines sont les
solution de 64 – x2 = 0 ⇔ x2 = 64 ⇔ x = 8 ou x = –8. Ce qui nous donne bien le tableau de signes
précédent.
b. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 16].
64
=0
4
64
f (8) = –8 + 20 –
=4
8
64
f (16) = –16 + 20 –
=0
16
Donc le tableau de variation est le suivant :
x
4
8
16
f (4) = –4 + 20 –
f ' (x)
f (x)
+
0
2 pts
–
4
0
0
Partie B :
Une entreprise produit et commercialise entre 4 et 16 tonnes d’engrais par jour.
On admet que toute sa production est vendue. Le bénéfice total (exprimé en centaines d’euros)
réalisé pour une production de x tonnes d’engrais, est modélisé à l’aide de la fonction B définie par :
B (x) = −x2 + 20x – 64.
1. En étudiant les variations de la fonction B sur l’intervalle [4 ; 16], déterminer la production
permettant de réaliser un bénéfice total maximal. Quel est ce bénéfice total ?
B'(x) = –2x +20. C'est une fonction affine avec un coefficient directeur négatif s'annulant quand
–2x + 20 = 0, c'est à dire x = 10. On en déduit
3 pts
x
f ' (x)
f (x)
4
10
+
0
16
–
36
0
0
Le bénéfice maximal est donc atteint pour une production de 10 tonnes d'engrais et est de 3 600
euros.
2. Le bénéfice unitaire pour une production de x tonnes d’engrais est donné par
B(x )
.
x
Le bénéfice total et le bénéfice unitaire sont-ils maximaux pour la même production d’engrais?
On pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
D'après le tableau de variation de la partie A, le bénéfice unitaire est maximal pour 8 tonnes
d'engrais et est de 400€ par tonne. La réponse est donc non.
1 pt