symétrie axiale eleves

CHAPITRE 13 : SYMETRIE AXIALE
ET AXES DE SYMETRIE
I) SYMETRIE AXIALE.
1) SYMETRIQUE D’UN POINT PAR RAPPORT A UNE DROITE.
a) Définition.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
On dit que A’ est le symétrique de A par
rapport à (d).
Remarque : Le symétrique d’un point B appartenant à la droite (d) est le point B luimême.
Si l’on décalque les points A et A’ et la droite (d) et que l’on plie suivant (d), les points A et
A’ se superposent.
Les points sont symétriques. La symétrie est l'action (la transformation) qui permet de
"passer" d'un point à un autre. On ne la verra donc pas. Ce que l'on voit, c'est le résultat de
cette symétrie.
b) Constructions du symétrique d’un point par rapport à une droite.
Soit une droite (d) et un point M n’appartenant pas à (d).
On veut construire le point M’ symétrique de M par rapport à (d).
METHODE 1
AVEC L’EQUERRE
• On trace la perpendiculaire à la droite (d)
passant par le point M ; elle coupe (d) en I.
• On place le point M’ tel que I soit
le milieu de [MM’].
METHODE 2
AVEC LE COMPAS
• On marque deux points distincts
E et F sur (d).
• On trace les cercles de centres E
et F passant par le point M.
• M’ est le second point d’intersection
de ces deux cercles.
Dans la pratique, on ne trace pas les cercles en entier.
Remarque :
La méthode 2 permet aussi de construire, avec un compas et une règle, la droite
perpendiculaire à une droite passant par un point : sur la figure de la méthode 2, la
droite (MM’) est la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par M.
2) SYMETRIQUE D’UNE FIGURE.
a) Figures symétriques.
Définition : ______________________________________________________
_______________________________________________________________
Exemple :
Dans la symétrie d’axe (d), les figures F et F’ ci-dessus sont symétriques.
b) Symétriques de figures usuelles.
Soit (d) une droite.
Symétrique d’une droite.
Propriété : ______________________________________________________
___________________________________
Méthode :
Pour construire le symétrique d’une droite,
on choisit deux points A et B sur cette droite
et on construit leurs symétriques A’ et B’.
Puis, on trace la droite passant par les points A’ et B’.
Symétrique d’un segment.
Propriété : ______________________________________________________
_______________________________________________________________
Méthode :
Pour construire le symétrique d’un segment,
on construit les symétriques de ses extrémités,
puis on relie ces points.
Symétrique d’un cercle.
Propriété : ______________________________________________________
__________________________________
Méthode :
Pour construire le symétrique d’un cercle,
on construit le symétrique O’ de son centre O.
Puis, on trace le cercle de centre O’
et de même rayon.
3) PROPRIETES DE CONSERVATION.
Propriété : ______________________________________________________
_______________________________________________________________
Exemple :
Pour construire le symétrique d’une figure, on construit les symétriques de plusieurs de ces
points.
Les figures F et F’ ci-dessus sont symétriques par rapport à la droite (d).
Ainsi :
-
B, K et C sont alignés donc B’, K’ et C’ sont alignés.
AB = A’B’ ; CD = C’D’.
-
AED = A’E’D’.
AireABCDE = AireA’B’C’D’E’.
II) AXES DE SYMETRIE.
1) Définition :
Un _______________________ d’une figure F est une droite (d) telle que la
figure symétrique de F par rapport à la droite (d) est la figure F elle même.
Exemples :
(d) est un axe de symétrie de (F)
(d) et (d’) sont des axes de symétrie de (F’)
2) AXES DE SYMETRIE DE FIGURES USUELLES.
a) Segment.
Soit un segment [AB].
Le segment [AB] a ___________________: _____________________________
b) Angle.
Soit un angle xOy.
Axe de symétrie d’un angle.
L’angle xOy a____________________: _____________________________.
Construction de la bissectrice d’un angle à l’aide d’un compas.
Exemple : Construire à la règle et au compas la bissectrice de l’angle xOy
ci-dessous.
Méthode
•
•
•
On trace un arc de cercle de centre O qui coupe la demi-droite [Ox) en M et la
demi-droite [Oy) en N.
On trace deux arcs de cercle de même rayon, l’un de centre M, l’autre de centre
N. Ils se coupent en K.
On trace la demi-droite [Ok) ; c’est la bissectrice de xOy.
c) Triangles particuliers.
Triangle isocèle
Un triangle isocèle a _________________ : _____________________________
_______________________________________________________________
ABC est isocèle en C.
Son axe de symétrie est la médiatrice de [AB] et la
bissectrice de ACB.
Propriété des angles :
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Propriétés permettant de reconnaître un triangle isocèle :
• Si un triangle a un axe de symétrie, alors ce triangle est isocèle.
• ____________________________________________________________.
Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral ABC peut-être considéré comme un triangle isocèle en A, en B et en C.
Un triangle équilatéral a _____________________ : ______________________
_______________________________________________________________
Propriété des angles :
_______________________________________________________________
Propriétés permettant de reconnaître un triangle équilatéral :
• Si un triangle a trois axes de symétrie, alors ce triangle est équilatéral.
• ____________________________________________________________
c) Quadrilatères particuliers.
Cerf-volant
Un cerf-volant a _________________ : __________________________.
b) Losange.
c) Rectangle.
d) Carré.
ABCD est un cerf-volant.
Son axe de symétrie est la diagonale (AC).
Propriétés :
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Propriété permettant de reconnaître un cerf-volant :
Si un quadrilatère a une diagonale comme axe de symétrie, alors ce quadrilatère est
un cerf-volant.
Losange
Un losange a ____________________ : ____________________.
Propriétés :
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Propriété permettant de reconnaître un losange :
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Rectangle
Un rectangle a __________________ : ________________________.
Propriétés :
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Propriétés permettant de reconnaître un rectangle :
• ____________________________________________________________
• ____________________________________________________________
____________________________________________________________
Carré
Un carré est à la fois un losange et un rectangle.
Un carré a _______________ : _____________________________________.
Propriété :
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Propriété permettant de reconnaître un carré :
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________