Document d`études secondaires Physique 534 Nom : Prénom

Document
d’études
secondaires
Physique 534
Mesures et erreurs
Nom :
Prénom :
Groupe :
Date :
Par I. Baltatu
Mesures et erreurs
Les sciences naturelles étudient les phénomènes qui se produisent dans la nature. Elles
mettent en relation différentes grandeurs afin de prédire / expliquer, à partir de certaines
données initiales, ce qu’il va se passer dans certaines conditions.
Ces sciences basées sur la mesure des différentes grandeurs sont connues sous le nom de
sciences expérimentales.
Qui dit mesure dit erreur ! On ne peut jamais connaître la « vraie » valeur d’une grandeur.
Tout ce qu’on peut faire, c’est de s’approcher de plus en plus de celle-ci. À cette fin, l’on
utilise des instruments de plus en plus perfectionnés, donc plus précis, de meilleures
méthodes, un nombre plus grand de répétitions de la même mesure, etc.
Toute mesure implique deux quantités : la quantité à mesurer et une autre, de la même sorte,
qu’on appelle unité de mesure. Lorsqu’on mesure, on veut trouver combien de fois l’unité de
mesure est comprise dans la quantité à mesurer. Le résultat est un nombre. Le processus
de trouver ce nombre est une comparaison. Pour que le résultat ait du sens, il faut que le
nombre trouvé par cette comparaison soit accompagné par l’unité de mesure.
D’abord, quelques conventions concernant le vocabulaire utilisé :
Mesure
Comparaison entre une grandeur et une autre, de la même sorte, prise
comme référence et appelée unité. Le résultat de cette comparaison est un
nombre accompagné d’une unité de mesure.
Mesure
directe
Résultat d’une comparaison directe effectuée à l’aide d’un instrument de
mesure étalonné. Par exemple, la mesure d’une longueur avec une règle.
Mesure
indirecte
Résultat obtenu par un calcul utilisant deux ou plusieurs mesures directes.
Par exemple, la mesure de la surface d’un rectangle à partir de ses longueur
et largeur.
Valeur vraie
d’une
grandeur
La valeur réelle, exacte d’une grandeur. Elle est inaccessible. L’on peut se
rapprocher d’elle, mais l’on ne peut jamais la connaître vraiment.
Une mesure ne donne jamais une valeur exacte sauf dans le cas d’un simple
comptage.
Justesse
(exactitude)
d’une mesure
Le degré de rapprochement de la valeur vraie (exacte). Puisque la valeur
exacte est inaccessible, la justesse peut seulement être estimée.
Parfois, on parle de crédibilité. Plus la justesse est élevée, plus la mesure est
crédible, digne de confiance.
Précision
Capacité de mesurer des valeurs et des variations très petites. Plus
d’un
l’instrument est capable de mesurer, de façon fiable, digne de confiance, de
instrument de petites variations de la grandeur mesurée, plus il est précis ou sensible.
mesure
Précision
d’une mesure
Qualité de reproductibilité : la valeur mesurée varie peu d’une fois à l’autre.
Une mesure peut être précise et fausse en même temps !
Incertitude
(erreur)
Écart entre la valeur mesurée et la vraie valeur. Comme la vraie valeur est
inaccessible, l’incertitude peut seulement être estimée. On l’appelle aussi
erreur.
2
Incertitude
absolue
(erreur
absolue)
Évaluation quantitative des difficultés rencontrées lors de la prise des
mesures. Plus c’est difficile de mesurer correctement une grandeur, plus
l’incertitude absolue est élevée.
Exemple : lorsqu’on mesure une longueur de 25,3 cm avec une règle graduée en
cm, on peut faire une erreur de 0,5 cm en plus ou en moins. Alors on dit que l’erreur
absolue (ou l’incertitude absolue) est de ± 0,5 cm. Lorsqu’on dispose d’une règle
graduée en mm, l’incertitude absolue est de seulement 0,5 mm. Il est plus facile de
mesurer correctement une longueur de 25,3 mm avec une règle graduée en mm.
Si nous connaissons la précision d’un instrument, celle-ci constitue
l’erreur absolue.
Si nous ne connaissons pas la précision d’un instrument gradué, on lui
attribue comme erreur absolue la moitié de sa plus petite graduation.
Si l’instrument est à affichage numérique, l’erreur absolue correspond à
la valeur du dernier chiffre affiché.
Incertitude
relative
(erreur
relative)
Évaluation quantitative (en %) de la précision de la mesure, de sa
reproductibilité. Le % se calcule relativement à la valeur mesurée.
Plus l’incertitude relative est petite, plus la précision de la mesure est grande.
Alors, à chaque répétition de la mesure, on aura beaucoup de chances
d’obtenir le même résultat ou des résultats très semblables.
Si l’on reprend l’exemple précédent : la précision n’est pas pareille lorsqu’on mesure
une longueur de 25 cm en faisant une erreur de 0,5 mm ou une erreur de 5 mm.
Dans le premier cas, l’erreur (l’incertitude) relative est de 0,05 cm / 25 cm = 0,2 %.
Dans le deuxième, c’est 0,5 cm / 25 cm = 2 %.
Dans le deuxième cas, l’erreur est dix fois plus importante relativement à la mesure
effectuée. Donc, on aura moins de chances d’obtenir le même résultat en répétant la
mesure avec une règle graduée en cm qu’avec une règle graduée en mm.
Une mesure de qualité est en même temps précise (reproductible) et exacte (juste).
Erreur relative (%) = 100% x erreur absolue / valeur mesurée
Erreur absolue = valeur mesurée ou calculée x erreur relative (%) / 100%
Toutes les mesures sont affectées de deux sortes d’erreurs :
1.
les erreurs systématiques, dues aux limites des appareils de mesure et aux méthodes
utilisées;
2.
les erreurs fortuites ou aléatoires, dues à des facteurs divers, dont l’influence ne peut
pas être connue d’avance. Donc, elles sont imprévisibles.
Par exemple, si l’on procède à un nombre suffisamment grand de répétitions de la même
mesure (des centaines de répétitions), il est impossible de trouver à chaque fois le même
résultat. Les valeurs oscillent légèrement autour d’une valeur moyenne, considérée
comme la meilleure estimation de la vraie valeur. Ces erreurs ne peuvent être évitées par
aucun moyen. Elles font l’objet d’étude d’une théorie des erreurs, sujet traité lors d’études
approfondis en sciences expérimentales.
3
Expression d’une mesure – Chiffres significatifs
En mathématiques, la quantité de chiffres dans un nombre peut être illimité. En sciences
expérimentales, elle est toujours restreinte. On s’y limite aux chiffres qui sont reliés à la
précision des instruments de mesure utilisés.
Par exemple, lorsqu’on mesure une longueur de 25 cm avec un règle graduée en
centimètres, on peut écrire sa valeur comme (25,0 ± 0,5) cm. En d’autres mots, on peut faire
une erreur de 0,5 cm à la lecture de cette longueur. Lorsqu’on la mesure avec une règle
graduée en millimètres, on peut faire une erreur de lecture de 0,5 mm ou 0,05 cm. Alors, on
peut écrire sa longueur comme (25,00 ± 0,05) cm. Le nombre de chiffres à utiliser dans
l’expression du résultat varie en fonction de la précision de l’instrument de mesure.
On définit les chiffres significatifs comme étant tous les chiffres certains d’une mesure,
plus un chiffre incertain. Le chiffre incertain ou douteux nous est fourni par l’erreur absolue
et correspond à la précision de l’instrument de mesure.
Exemples :
1. Sur un thermomètre précis au degré Celsius, on peut faire une lecture de 43°C, mais
pas de 43,2°C puisque le chiffre des unités est incertain;
2. Avec une balance, dont la précision est de 0,01 g, on peut mesurer une masse de
95,45 g. L’expression 95,457 g est incorrecte parce qu’elle dépasse la précision de la
balance.
Le chiffre zéro :
1. Les zéros qui terminent un nombre décimal sont significatifs.
Par exemple, l’expression 30,00 g indique que l’échantillon a été pesé sur une balance
précise au centième de gramme (0,01 g). Les quatre chiffres du résultat sont
significatifs.
2. Les zéros qui terminent un nombre entier ou qui commencent un nombre décimal
NE sont PAS significatifs, sauf dans le cas d’un comptage. Ils précisent seulement
l’ordre de grandeur.
Par exemple, dans les expressions 2500 m et 0,0072 m, il n’y a que deux chiffres
significatifs. Mais, on a vendu 2500 billets pour un spectacle (on les a comptés).
La notation scientifique des nombres :
Pour éviter certaines confusions reliées aux zéros ainsi que pour mettre en évidence les
chiffres significatifs, on privilégie l’emploi de la notation scientifique. Celle-ci permet d’écrire
autant les nombres très petits que ceux très grands.
Un nombre écrit selon la notation scientifique comporte un seul chiffre, suivi ou non d’une
virgule et d’autre chiffres, multiplié par une puissance de dix. Donc, un seul chiffre non nul
avant la virgule !
Exemples :
25,5 cm = 2,55 x 101 cm = 2,55 x 10-1 m (trois chiffres significatifs)
2500 m = 2,5 x 103 m (deux chiffres significatifs)
0,0072 m = 7,2 x 10-3 m (deux chiffres significatifs)
2000 m = 2 x 103 m (un chiffre significatif)
4
À noter :
•
Dans l’expression d’une mesure, on attribue le même exposant à la valeur et à
l’incertitude absolue, puis on le place en évidence.
Par exemple, (0,0152 ± 0,0007) m s’écrit (1,52 ± 0,07) x 10-2 m.
•
Pour les valeurs expérimentales tirées de références, on considère que l’incertitude
absolue est égale à une unité sur le dernier chiffre donné.
Par exemple, la masse atomique du magnésium étant 23,305 u, l’incertitude absolue
sera égale à ± 0,001 u.
Le calcul d’erreur
Lors de la mesure indirecte d’une grandeur, les erreurs dues à la précision limitée des
appareils de mesure s’ajoutent l’une à l’autre. Par exemple, lorsqu’on mesure une vitesse, à
l’erreur faite dans la mesure de la longueur s’ajoute celle faite dans la mesure du temps.
On dit que, lors d’une mesure indirecte, les erreurs se propagent.
Selon le type de calcul fait pour obtenir la grandeur mesurée indirectement, deux règles
différentes s’appliquent :
1. Lors d’addition et de soustraction de mesures dont on connaît l’incertitude absolue,
il suffit d’additionner les erreurs absolues.
Par exemple, pour une variation de température ∆T :
(19,0 ± 0,5) °C – (10,5 ± 0,5) °C = (9 ± 1) °C
Attention, l’erreur absolue s’exprime toujours à l’aide D’UN SEUL CHIFFRE SIGNIFICATIF !
2. L’incertitude découlant du calcul d’un produit ou d’un quotient correspond à la
somme des erreurs relatives de chacune des mesures.
Par exemple, pour savoir comment exprimer une quantité de chaleur,
Q = m⋅c⋅∆T, il faut d’abord calculer l’erreur relative qui affecte chaque grandeur qui
entre dans l’expression de la chaleur :
Q = (3,53 ± 0,02) g x (4,19 J/g⋅°C) x (9 ± 1) °C
(3,53 g ± 100% x 0,02/3,53) x (4,19 J/g⋅°C) x (8,5°C ± 100% x 1/8,5) =
(3,53 g ± 0,57%) x (4,19 J/g⋅°C) x (8,5°C ± 12%) =
125,7 J ± 13%
Comme une erreur de 13 % affecte les dizaines, nous arrondissons la réponse aux
dizaines : 130 J ± 13%.
Attention, l’erreur relative s’exprime à l’aide de DEUX CHIFFRES SIGNIFICATIFS !
Exemple : m.v. = [(30,75 ± 0,01) g – (20,00 ± 0,01) g] / (10 ± 1) ml = 1 g/ml ± 10% et
non pas (1,1 ± 0,1) g/ml, qui conduirait à une erreur relative de 9,1%, plus petite que
celle obtenue par l’addition des erreurs relatives sur les facteurs de la formule.
5
Cependant, il y a une règle plus simple, mais moins précise, pour exprimer le résultat
d’une mesure indirecte en respectant les limites des appareils de mesure utilisés.
Il s’agit de la méthode des chiffres significatifs : tout résultat ne peut avoir une plus grande
précision que le nombre le moins précis utilisé dans le calcul. C’est-à-dire, la réponse ne
peut comporter plus de chiffres significatifs que le nombre qui en a le moins.
Cependant, pour une addition ou une soustraction, le nombre de décimales du résultat est
égal au nombre de décimales de la mesure la moins précise utilisée dans le calcul.
Dans les exemples précédents, lorsqu’on calcule la variation de température, on obtient un
résultat à une décimale parce que les deux températures ont une décimale. Le résultat peut
en avoir aussi une décimale.
Dans le cas de la quantité de chaleur, la variation de température a le moins de chiffres
significatifs (deux). La réponse ne devrait avoir plus de deux chiffres significatifs. Donc,
Q = 1,3 x 102 J.
Lorsqu’on doit faire des calculs, on arrondit le résultat au bon nombre de chiffres
significatifs seulement à la fin.
--> À discuter lors du 1er labo
L’utilisation de l’incertitude dans les graphiques
Lorsqu’on trace un graphique, il faut tenir compte des incertitudes des données
expérimentales.
Par exemple, les données concernant la vitesse de formation d’un gaz lors d’une réaction
chimique se trouvent dans le tableau ci-dessous.
Volume (± 0,5 mL)
Temps (± 1 s)
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
3
10
19
34
…
…
…
Leur représentation graphique met en évidence les erreurs absolues dans la mesure du
temps et du volume. Les marges d’erreur sont illustrées par des barres horizontales et
verticales autour de chaque point.
Volume (mL)
Vitesse de formation d'un gaz
45.0
40.0
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Temps (s)
6
Quelques points à retenir pour la présentation des données expérimentales
Les données expérimentales doivent être présentées sous forme de rapport de laboratoire.
Celui-ci doit contenir une page de présentation. Le premier nom sur la page est celui de
l’auteur et le second est celui du coéquipier. Il faut préciser aussi le titre du rapport, à qui on
le présente, le groupe – cours et la date.
Outre la page de présentation, le rapport doit comprendre 6 parties : (1) le but,
(2) l’hypothèse, (3) le protocole, (4) les résultats, (5) leur analyse et (6) la conclusion.
Chacune des 6 parties doit être clairement identifiée dans le rapport.
1.
Le but est la question à laquelle on répondra dans la conclusion.
2.
L’hypothèse est une prédiction de ce qu’on pense qu’il va se produire si l’on suit le
protocole. Ou, quelles variables devrait-on mesurer pour répondre à la question formulée
au # 1.
Attention !
Quand il y a plusieurs variables qui peuvent influer sur une autre, il faut
vérifier l’action d’une seule à la fois. Il faut modifier une seule variable, en maintenant les
autres inchangées, pour voir comment agit-elle sur la grandeur d’intérêt.
3.
Le protocole comprend une liste de matériel nécessaire et la description des
manipulations qui permettraient à un autre élève de reproduire la même expérience.
4.
Les résultats doivent être toujours présentés sous la forme d’un tableau, ayant un titre et
des en-têtes de colonnes identifiés (l’unité de mesure de la variable s’écrit seulement
dans l’en-tête de la colonne). La variable indépendante figure dans la première colonne.
Lorsque certaines variables résultent d’un calcul, il faut toujours montrer un exemple de
calcul.
Souvent, il est nécessaire de faire aussi une représentation graphique (sur papier
millimétrique !) pour mieux illustrer l’interdépendance des données du tableau.
La distance parcourue par un mobile en
fonction de sa vitesse
La distance parcourue par un mobile en fonction
de sa vitesse
5.
Vitesse
(m/s)
Distance parcourue
(m)
30
0.01
0.3
30
0.05
1.5
30
0.10
3.0
30
0.25
7.5
8
distance (m)
Intervalle de
temps (s)
6
4
2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
vitesse (m /s)
L’analyse comprend deux parties : la comparaison des résultats et la discussion des
erreurs qui ont pu influencer les résultats, les qualités et les défauts de la méthode
utilisée.
On compare les résultats entre eux ou avec des valeurs attendues ou admises dans les
ouvrages de référence. S’il y a des divergences, il faut tenter de les expliquer et de
dégager la cause d’erreur la plus importante.
7
Quand peut-on dire que deux variables, m et n, mesurées expérimentalement ou issues
d’un calcul qui utilise des valeurs déterminées expérimentalement sont égales, dans les
limites des erreurs admissibles ? Pour décider de leur égalité, il faut calculer leur écart
relatif : |m – n| / 0,5 x (m + n). Il représente, en pourcentage, la valeur absolue de leur
différence (|m – n|) rapportée à leur valeur moyenne (0,5 x (m + n)). Si cette différence
n’excède pas 5% (parfois plus), on peut considérer les deux valeurs égales, dans les
limites des erreurs expérimentales.
Quand peut-on considérer qu’une variable mesurée expérimentalement ou issue d’un
calcul qui utilise des variables mesurées expérimentalement est constante ? Pour en
décider, il faut observer ses valeurs. Si ses valeurs présentent une tendance claire de
croissance ou de décroissance, elle n’est pas constante. Par contre, si ses valeurs
oscillent autour d’une valeur moyenne, ne s’écartant pas de plus de 5% (parfois plus) de
celle-ci, on peut la considérer constante.
La conclusion résume la réponse à la question posée au point # 1.
8
Quelques points à retenir pour la confection des graphiques à partir de mesures
1. Tout graphique doit avoir un titre éloquent.
2. Utiliser au moins 2/3 de l’espace disponible, donc une échelle appropriée.
3. Les axes doivent être orientées. Les flèches des axes doivent être apparentes.
4. L’identification des axes doit être complète : symboles des variables et des unités de
mesure (les derniers, entre parenthèses).
5. L’étalonnage des axes doit être simple : des unités ou des multiples de 2 ou de 5
unités.
6. La graduation des axes doit être régulière et espacée : 5 à 10 inscriptions par axe.
7. Autant que possible, les axes doivent se couper à l’origine (0; 0). Cependant, si trop
de surface est perdue à cause de cette restriction, on peut déplacer les axes vers des
nombres plus appropriés.
Vitesse en fonction du temps
v (mm/s)
350
300
250
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
t (s)
Series1
Series2
8. Signaler l’incertitude des données par des segments de droite qui se croisent, dont la
mesure est égale à la marge d’erreur pour la variable représentée en abscisse et,
respectivement, pour celle représentée en ordonnée (voir le graphique de la page 5).
9. Évaluer s’il faut tracer la « meilleure droite ». Sinon, tracer une courbe régulière
passant par la majorité des points. Il ne faut pas relier les points entre eux par des
segments de droite.
10. Si nécessaire (par exemple vous représentez plusieurs courbes dans le même
système d’axes), ajouter une légende et la mettre en évidence.
9
Attention ! Une mesure peut être précise et fausse en même temps.
L'exemple classique est le tir sur cible.
Selon cet exemple, si vous êtes précis, vous atteignez la cible toujours dans la même
région, mais vous ne touchez pas nécessairement le milieu de la cible.
Si vos dards atteignent le centre de la cible, vous pouvez affirmer que vous visez bien,
que vous visez juste, que vous êtes exact.
Par contre, si vos dards se fixent un peu partout sur la cible et même en dehors, on pourra
rire de vous, mais êtes-vous exact ? Cela dépend. Si, en moyenne, vos dards atteignent le
centre de la cible, alors vous êtes exact.
10
Document
d’études
secondaires
Physique 534
Mesures et erreurs
Nom :
Prénom :
Groupe :
Date :
Par I. Baltatu
Exercices
1.
Indiquez la longueur du trait ci-dessous, en mentionnant l’erreur absolue.
Le trait a la longueur de :
2.
Vous lisez une température de 22°C sur un thermomètre gradué au degré Celsius.
Inscrivez correctement la température mesurée.
3.
Calculez les erreurs relatives (en %) sur les mesures suivantes :
a) (21,0 ± 0,5) °C
f) (2,0 ± 0,5) °C
b) (68,5 ± 0,5) mm
g) (12,0 ± 0,5) mm
c) (12,3 ± 0,1) cm
h) (45,15 ± 0,01) g
d) (18,2 ± 0,5) V
i) (0,85 ± 0,05) A
e) (0,45 ± 0,05) g
j) (120 ± 5) V
4.
Indiquez le nombre de chiffres significatifs dans chacune des mesures suivantes.
a) 37,6 °C
f) 3000 °C
b) 23,5 mm
g) 0,0012 m
c) 31,2 cm
h) 200,04 g
5.
Écrivez les mesures suivantes en utilisant la notation scientifique et corrigez les
erreurs, si cela est nécessaire.
a) (21,105 ± 0,01) g
f) (102,0 ± 0,5) °C
b) 0,05 m
g) (12,00 ± 0,5) mm
c) 81 000 cm
h) (0,0035 ± 0,0001) g
12
6.
Effectuez les opérations suivantes et indiquez l’incertitude à l’aide de l’erreur
relative et des chiffres significatifs. Laissez les traces de votre démarche.
Opération
Erreur relative
a) (10,51 ± 0,5) °C x (21,45 ± 0,02) g
Résultat final
Avec chiffres significatifs
2,2 x 102 °C⋅g
(0,5 / 10,5) x 100% = 4,8%
10,5 °C
(0,02 / 21,45) x 100% = 0,093%
21,45 g
4,8% + 0,093% = 4,9%
Erreur absolue sur le résultat =
Opération
b) (21,7 ± 0,1) cm x (27,8 ± 0,1) cm
Opération
c) (19,82 ± 0,02) g ÷ (24,8 ± 0,1) mL
Opération
d) (0,76 ± 0,05) m ÷ (0,45 ± 0,05) s
10,5 x 21,45 = 225,225 °C⋅g
(4,9% / 100%) x 225,225 ≈
Erreur relative
10 °C⋅g
Avec chiffres significatifs
Résultat final
Erreur relative
Avec chiffres significatifs
Résultat final
Erreur relative
Avec chiffres significatifs
Résultat final
13
Opération
Erreur relative
e) (120 ± 5) V x (10,5 ± 0,5) A
7.
Résultat final
Effectuez les opérations suivantes.
scientifique.
Opération
a) 1,2 x 102 V x 2,5 A =
Avec chiffres significatifs
W
Exprimez le résultat selon la notation
Résultat
W
b) 10,8 g + 0,125 g + 4,25 g =
c) 0,288 g ÷ 0,4 cm3 =
d) 4,5 x 103 W ÷ 20,25 A =
e) 60,6 mL – 10,25 mL =
f) 4,5 x 10-1 mol ÷ 115,4 s =
g) (45 – 25) m/s ÷ 2 s =
h) (2,3 x 103 – 1,5 x 103) m ÷ 1 x 102 s =
i) 1,5 x 103 mL – 3 x 102 mL =
j) 0,785 m + 1,25 m + 13,5 m =
k) (2,32 g – 0,45 g) + 32 g + 5,5 g =
l) 245,37 g ÷ 75 mL =
m) 2,8 cm x 14,6 cm =
n) 122,2 N x 2,2 m =
J
o) 28,58 kg x 2,6 x 10-1 m ÷ 9 s2 =
N
14