Calcul d`incertitude

Calcul d'incertitude
1. Toute mesure expérimentale comporte une incertitude.
Il faut déterminer l'incertitude associée à chaque mesure prise en laboratoire.
Entre autres:
i) la moitié de la plus petite mesure (échelle graduée sur l'instrument),
ii) la plus petite mesure (utilisation d'une règle ou d'un appareil à aiguille)
ou
iii) plus (selon les mesures de l'expérience)
8,220m ± 0,006m
(remarquer le même nombre de décimales)
2. Chiffres significatifs.
Les zéros à gauche ne sont pas des chiffres significatifs, ceux à droite....
a) 15,62 possède 4 chiffres significatifs
b) 3400 possède 2, 3 ou 4 chiffres significatifs
c) 0,000023 possède 2 chiffres significatifs
3. Deux formes d'écriture pour l'incertitude.
i) Absolue: avec une unité de mesure ⇒ (2,1 ± 0,4)m
L'incertitude absolue s'écrit avec un chiffre significatif. Elle pourra comporter 2
chiffres significatifs si le premier de ces chiffres est 1.
ii) Relative: un % ⇒ 23kg à 6%
Elle pourra comporter 2 chiffres significatifs si le premier de ces chiffres est 1.
Transformation de l'une à l'autre:
a)
25cm ± 2cm
= 25cm à 8%
devient
2cm/25cm x 100 = 8%
b)
10cm à 20%
devient
= 10cm ± 2cm
10cm x 20/100 = 2cm
N.B. Dans les tableaux des mesures et des résultats, l'incertitude doit être écrite en
absolue.
4. Les mesures avec leur incertitude.
Sachant qu'une mesure comporte une incertitude, il est important de conserver le bon
nombre de chiffres significatifs associés à cette mesure.
a)
b)
c)
d)
bas)
(8,23 ± 0,4)cm = (8,2 ± 0,4)cm
(2,4 ± 0,003)g = (2,400 ± 0,003)g
(44,87 ± 1,3)mm = (44,9 ± 1,3)mm
(6,5 ± 3,5)kL = (6 ± 4)kL (si 5 est précédé d'un nombre pair, arrondir vers le
e) (0,75 ± 0,25)mW = (0,8 ± 0,3)mW (arrondir vers le haut pour l'incertitude)
5. Calcul d'incertitude.
i) addition et soustraction des mesures: on additionne les erreurs absolues.
ii) multiplication et division des mesures: on additionne les erreurs relatives.
a) (25cm à 8%) - (5cm ± 1cm) = (25cm ± 2cm) - (5cm ± 1cm) = 20cm ± 3cm
b) 10cm ± 2cm = 10cm à 20% = 5cm à 20% = 5cm ± 1cm
2
2 à 0%
Lorsqu’on effectue plusieurs opérations mathématiques pour déterminer un résultat, on
fait les calculs sans arrondir. À la toute fin, on ajuste la réponse finale avec le bon
nombre de chiffres significatifs pour: le résultat et son incertitude.
6. Valeur et incertitude sur une série de mesures.
Déterminer la valeur et l'incertitude d'un paramètre à partir d'une série de mesures
effectuées sur ce paramètre.
Exemple: On mesure la largeur d'un bureau à 4 endroits différents.
x1 = 57,3cm ± 0,4cm
x2 = 58,1cm ± 0,4cm
x3 = 56,7cm ± 0,4cm
x4 = 56,9cm ± 0,4cm
La valeur est donnée par: x =
x max + x min
2
Réponse: x ± ∆x = 57,4cm ± 0,7cm
et l'incertitude par: ∆x =
x max − x min
2
7. Opérations avec le bon nombre de chiffres significatifs.
i) addition et soustraction: on arrondit le résultat au même nombre de décimales que
l’opérande
qui en a le moins.
5,631 + 14,1 + 7,3286 = 27,0596 = 27,1
ii) multiplication et division: on arrondit la réponse au même nombre de chiffres
significatifs
que l’opérande qui en a le moins.
(473,21 x 72,716) / (2728 x 128) = 9,85 x 10-2 (car 128 a 3 chiffres significatifs)
8. Barres d'incertitude sur un graphique.
x
[cm]
±4
7
10
32
t
[s]
±5
14
20
50
Position horizontale en fonction du temps
40
35
30
y = 0,707x - 3,4624
x[cm]
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
t[s]
9. Puissances et racines.
(5 ± 1)3 = (5 à 20%)3 = 125 à 60% = 125 ± 75
(125 ± 75)1/3 = (125 à 60%)1/3 = 5 à 20% = 5 ± 1
40
50
60