DS N3 Actionneur piezoelectrique Corrige

Sciences Industrielles de l’Ingénieur
CPGE - Saint Stanislas - Nantes
MPSI – PCSI
DS N°3
Corrigé
Actionneur piézoélectrique (D’après concours Centrale-Supélec TSI 2012)
1ière partie : Diagramme de Bode du correcteur
1 
T .p + 1
1

1.1- Etant donné les schéma bloc on a : Ch(p) = Ki .  1+ T .p  = Ki i
= Ki.(1 + Ti.p) .

Ti.p
Ti.p
i 
La fonction de transfert du de ce correcteur s’écrit donc : Ch(p) = HA(p).HB(p)
HA(p) = Ki.(1 + Ti.p)
et :
HB(p) =
avec :
1
Ti.p
1.2- Diagrammes asymptotiques de la fonction de transfert HA(p) : Voir DR1.
1
1.3- GdBA T  = 20.log Ki + 3 dB = 20.log 2 + 3 = 9 dB
 i
1
1.4- ϕA T  = + 45°
 i
1
1
1
1.5- GdBB T  = 20.log T .(j/T ) = 20.log j = 20.log 1 = 0
 i
i
i
Diagrammes asymptotiques de la fonction de transfert HB(p) : Voir DR1.
1.6- Diagrammes asymptotiques de la fonction de transfert Ch(p) : Voir DR1.
1
1.7- ϕCh T  = 45 − 90 = − 45°
 i
2ième partie : Diagramme de Bode de la boucle ouverte
2.1- Diagrammes asymptotiques de la fonction de transfert HC(p) : Voir DR1.
2.2- GdBC(ω0) = 20.log(Am.KM.KC) − 20.log(2.m) = 20.log 4 − 20.log (2×0,3) = 16,5 dB.
2.3- Diagrammes asymptotiques de la fonction de transfert en boucle ouverte HBO(p) : Voir DR1.
1
1
1
2.4- ϕBO T  = ϕCh T  + ϕC T  = − 45 + 0 = − 45°
 i
 i
 i
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3ième partie : Identification des caractéristiques de l’asservissement
On effectue une analyse fréquentielle de l’actionneur en boucle ouverte avec un gain unitaire du
correcteur : Ki = 1. On obtient alors les diagrammes de Bode du document réponse DR2 (page 6/6).
3.1- Asymptotes du diagramme de gain pour : ω → 0 et ω → ∞. Voir DR2
1
1
3.2- Ayant ϕC T  ≈ 0 , on a donc ϕBO T  = − 45°.
 i
 i
Une lecture sur le diagramme de phase permet donc d’obtenir :
D’où la constante de temps du correcteur :
1
= 3 200 rad.s−1 .
Ti
Ti = 3,125.10−4 s
3.3- La troisième asymptote (qui est horizontale) coupe la première asymptote (ω → 0 de pente
1
−20 dB/dec) au point d’abscisse . Voir DR2.
Ti
3.4- Cette troisième asymptote à pour ordonnée 20.log(Am.KM.KC) − 20.log Ki
Or on lit sur le diagramme de gain : 20.log(Am.KM.KC) + 20.log Ki = 0 et d’autre part Ki = 1.
On obtient donc :
Am.KM.KC = 1
Par conséquent :
KM =
1
1
=
= 1,33.10−7 m.V−1 .
Am.KC 20 × 3,75.105
3.5- Une lecture sur le diagramme de phase permet donc d’obtenir : ω0 = 18 000 rad.s−1.
3.6- Une lecture sur le diagramme de phase permet d’obtenir GdBBO(ω0) = 12 dB
Or GdBBO(ω0) = 20.log(Am.KM.KC) + 20.log Ki − 20.log(2.m) = 12 dB
Sachant que : Am.KM.KC = Ki = 1 On a : − 20.log(2.m) = 12 dB
Soit : m =
10(−−12/20)
= 0,126
2
4ième partie : Détermination du gain du correcteur PI
4.1- En multipliant par un gain Ki on ne modifie pas le diagramme de phase.
4.1- En multipliant par un gain Ki on translate verticalement le diagramme de gain de 20.log Ki.
4.3- Une lecture sur les diagrammes de phase et de gain permet d’obtenir : GdBBO(ω
ω0) = 13 dB
4.4- Pour avoir GdBBO(ω
ω0) = 0 et donc une marge de phase de 60° il faut donc translater la
courbe de gain de − 13 dB.
4.5- Pour respecter le cahier des charge il faut donc : 20. log Ki = − 13
On en déduit le gain du correcteur :
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Ki = 10(−−13/20) = 0,22
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Document réponse DR1
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Document réponse DR2
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