Pistolet à ressort : une application de pst

Pistolet à ressort :
une application de pst-ressort
17 mars 2014
z
zv
zG0
z0
b
O
b
b
b
(a)
(b)
(c)
(a) Ressort à vide, zv est la longueur du ressort à vide.
(b) Le ressort est comprimé, une bille de masse m est posée sur le ressort et le système est maintenu dans cet
état.
(c) À l’instant initial, on libère le ressort et la bille est éjectée.
Si l’on pose simplement la bille sur le ressort, le système prend une position d’équilibre déterminée par la
relation :
0, 01 × 9.81
mg
=
= 0, 049 m = 4.9 mm
mg = k∆l =⇒ ∆l =
k
20
1
Le ressort est comprimé(par rapport à sa longueur à vide) de 4,9 mm. Si l’on fixe la bille au ressort, après avoir
comprimé le ressort à une longueur l0 = 5 cm et lâché le système sans vitesse initiale, celui-ci
r effectuera des
k
oscillations sinusoïdales de part et d’autre de la position d’équilibre avec une pulsation : ω =
.
m
g
g z(t) = z0 − zv + 2 cos ωt − 2 + zv
ω
ω
g ż(t) = −ω z0 − zv + 2 sin ωt
ω
z(t)
14
13
12
11
b
10
9
8
7
6
5
4
3
2
ż(t)
2,00474
b
1
0
t(s)
b
0,0375611
0,05
0,10
−1
−2
Voici une simulation des oscillations, avec un ralenti de 10 images/s.
2
0,15
0,20
3
Si la bille n’est pas fixée au ressort, celui-ci n’exercera plus aucune action sur la bille à l’instant où il sera
détendu, c’est-à-dire où il aura retrouvé sa longueur à vide. La bille poursuivra son mouvement uniquement
sous l’action de la gravité avec comme vitesse d’éjection sa vitesse à cet instant-là 1 . Il s’agit donc de déterminer
cet instant et la vitesse de la bille.
L’instant où le ressort est détendu se détermine en écrivant que : z(t) = zv , on en déduit t :


g
1

t = arccos 
g
ω
z0 − zv + 2
ω
On détermine ainsi la vitesse d’éjection de la bille à cet instant. Dans l’exemple proposé on trouve 2 : t = 0, 03756 s
et ve = 2, 00474 m/s.
L’équation horaire du mouvement de la bille, en prenant comme origine des dates cet instant où la bille
quitte le ressort, s’écrit donc :
1
z(t) = − gt2 + ve t + zv
2
ż(t) = −gt + ve
On peut ainsi déterminer la date de passage au sommet de la trajectoire et la hauteur atteinte.
tS =
ve
≃ 0, 2043568 s
g
zmax =
ve2
+ zv ≃ 0.30 m
2g
Ensuite la bille retombe sur le ressort en le comprimant sur une certaine longueur, que l’on peut calculer en
appliquant le principe de conservation de l’énergie. On note z2 l’altitude correspondant au point le plus bas de
la compression du ressort.
1
mg(zmax − z2 ) = k(zv − z2 )2
2
r
k
, pour trouver z2 nous sommes amenés à résoudre l’équation du
En posant, comme précédemment ω =
m
second degré :
ω 2 z22 + 2z2 (g − ω 2 zv ) + ω 2 zv2 − 2gzmax = 0
Avec les valeurs numériques de l’exemple on trouve : z2 = 0.050 m = 5 cm. Ce qui était prévisible en vertu du
principe de la conservation de l’énergie. Et le mouvement se reproduit : le ressort se détend, éjecte la bille à une
hauteur de 30 cm etc.
1. Le ressort étant donné, il faut choisir une bille de masse convenable pour que le ressort puisse se détendre suffisamment et
retrouver sa longueur à vide, sinon la bille ne pourra pas être éjectée.
2. On peut utiliser le package pst-tools pour afficher le résultat du calcul, ce procédé est utilisé pour afficher les résultats dans
les graphes de z(t) et de ż(t).
4
5
On trouve dans le livre de “Mécanique Physique” de Fleury et Mathieu, paru aux éditions Eyrolles en
1953, page 41, une application intéressante de ce système, en voici l’illustration reproduite d’après le schéma du
livre.
P
S
Q
H
A
R
A′
T
Ce texte est extrait du livre :
« Un wagonnet installé sur une petite voie ferrée PQRT est lancé par descente sur un plan incliné QR et
continue son mouvement suivant RT, avec une vitesse uniforme, sur un chemin horizontal. Dans ce wagonnet
se trouve un pistolet à ressort capable de lancer une bille suivant la verticale. Le lancer de la bille se fait,
commandé par un déclic convenable, quand la wagonnet vient de prendre sur RT son mouvement uniforme. La
bille B part de A. Elle décrit la parabole ASA’ pendant que la wagon continue sa route de R vers T. La bille
retombe en A’ dans l’entonnoir d’où elle était partie en A. La vitesse horizontale initiale est conservée malgré
le mouvement vertical. »
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