DM4 – Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1 – Flipper – Pour le Pour le

DM4
DM 4 – Exercice 1 – Flipper – Pour le 02/02/201
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E xercice 1 : Retour sur le Flipper – Avec Frottements
Reprenons l’étude de la boule de flipper projeté par un ressort, telle qu’étudié dans le TP4 de
Mécanique, mais en y ajoutant des frottements.
Une boule de flipper en acier, de masse m, initialement placée dans son logement cylindrique fixé
sur le plateau de flipper, repose contre l’embout d’un ressort de raideur k dont l’autre extrémité 0 est
fixée au fond du logement. Le joueur comprime alors le ressort au maximum, et à un instant t = 0 pris
comme origine, il relâche brusquement le ressort.
Le plateau et le cylindre
sont inclinés d’un angle α par
rapport à l’horizontale. La
longueur à vide du ressort est
l0. Lorsque la bille est posée
sur le ressort, elle le comprime
un peu jusqu’à la longueur lR,
dite « longueur au repos ».
Lorsque le joueur souhaite
projeter la bille, il comprime le
ressort à la longueur lC avant
de le relâcher.
1.
Sommet H
x
l0
lR
g
lC
α
O
Rappel des équations
équation s sans frottement
Dans un premier temps, on néglige complètement le frottement de la boule sur le plateau,
ainsi que les frottements qui pourraient avoir lieu au niveau du ressort. La bille ne fait que glisser
sans rouler ni frotter. On l’assimilera donc à un point matériel de rayon nul. La masse du ressort
est supposée négligeable. L’accélération de la pesanteur est g supposée constante.
ATTENTION : On choisit pour ce problème d’imposer l’origine de l’énergie potentielle de
pesanteur à l’origine O, c'est-à-dire : EP PES ( 0 ) = 0 .
1.1.
Après avoir défini un référentiel d’étude et avoir fait le bilan des forces, ainsi qu’un
schéma de ces forces, rappeler l’énergie potentielle totale de la bille lorsqu’elle est posée
sur le ressort, en fonction de la longueur l du ressort et des données du problème. En
déduire la position d’équilibre lR au repos de la bille.
1.2.
En utilisant la conservation de l’énergie mécanique au cours du mouvement, exprimer la
hauteur H maximale que va atteindre la bille après avoir quitté le ressort en fonction de
k, lC, δl = lC - l0, m, g et de l’angle α. Faire l’application numérique pour k = 50 N/m, l0 =
10cm, lC = 7cm, m = 16g, g = 10m.s-2 et α = 40°.
1.3.
Toujours avec la conservation de l’énergie, exprimer la vitesse v0 atteinte par la bille
lorsqu’elle quitte le ressort en l0 en fonction des mêmes variables. Faire l’application
numérique (attention aux signes des grandeurs, notamment δl).
1.4.
Relier finalement la hauteur H avec la vitesse v0 en l0 et les constantes du problème.
Vérifier que la valeur obtenue correspond avec celle de la question 1.2.
2.
Modélisation d’un frottement solide
Après avoir réalisé les expériences, on réalise que les frottements sont très importants et
qu’on ne peut pas le négliger… On souhaite les modéliser de manière simple par un unique
frottement solide exercé sur la bille, dont le coefficient de frottement solide sera égal à f1 lorsque
la bille est en contact avec le ressort (pour l < l0), et f2 < f1 lorsque la bille est seule sur le plan
incliné (l > l0). Cette distinction a pour rôle d’inclure les frottements dus au ressort.
2.1.
Appliquer un PFD sur la bille pour déterminer les composantes exactes de la force de
frottement solide exercée par le plan incliné sur la bille selon l’emplacement où elle se
trouve (l > l0 ou l < l0), en fonction de m, g, f1, f2, et de l’angle α.
2.2.
Appliquer le TEM sur la bille pour l compris entre lC et l0, et déterminer la nouvelle
vitesse v1 de la bille en l = l0, en fonction des mêmes variables et de f1. Faire l’application
numérique avec f1 = 0,8. Commenter.
2.3.
Quelles sont les forces qui s’exercent sur la bille lorsqu’elle a quitté le ressort ? Appliquer
lui de nouveau le TEM pour l compris entre l0 et H, pour déterminer la nouvelle hauteur
H1 maximale atteinte par la bille, en fonction de l0, v1, g, α et de f2. Faire l’application
numérique avec f2 = 0,1, et comparer à la valeur trouvée à la question 1. Commenter.
Conclusion : Ce n’est pas suffisant pour modéliser tous les frottements auxquels nous avons
affaire dans le cas de cette expérience, mais calculer les autres influences serait un peu plus
long… Restons-en là pour l’instant.
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DM 4 – Exo 2 – Freinage d’un Satellite – Pour le 02/02/201
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Exercice 2 : Freinage d’un satellite
On étudie le mouvement d’un satellite de masse m, assimilé à un point matériel P, soumis à
l’attraction gravitationnelle de la Terre supposée sphérique, de centre O, de rayon R et de masse M très
(
supérieure à m. Le référentiel ℜ 0 , e x , e y , t
) est supposé galiléen. Le mouvement du point P, de
coordonnées polaires ( r , θ ) , se situe dans le plan xOy.
Satellite
y
Données :
Rayon de la Terre : R = 6400 km
Masse de la Terre : M = 6.1024 kg
Constante universelle de Gravitation : G = 6,67.10-11 SI
P
f
Terre
θ
O
1.
x
On rappelle que la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le point P de masse m de vecteur
position
OP = ur situé à la distance r de la Terre a pour expression :
1.1.
Que signifie physiquement le signe “–” de cette force ?
1.2.
Rappeler la définition de l’énergie potentielle en 3D.
1.3.
Montrer que la force
G M m f =−
ur .
r2
GMm
f dérive de l’énergie potentielle E P = −
(On choisira
r
EP ( ∞) = 0 )
1.4.
En se souvenant que le poids
mg
(force de pesanteur) est le cas particulier de la force de
gravitation à la surface de la Terre, exprimer la valeur de g en fonction de G, M et R, et faites
l’application numérique avec les valeurs données.
2.
On néglige tous les frottements sur le satellite, et on suppose qu’il décrit une trajectoire circulaire de
centre O et de rayon r0
Déterminer les expressions de la vitesse v ( P / ℜ ) et de l’accélération a ( P / ℜ ) en
2.1.
fonction de r0, de θ et de ses dérivées (simplifiées au maximum).
2.2.
En déduire l’expression de la composante radiale de l’accélération en fonction de la norme de
la vitesse v et du rayon r0.
2.3.
En appliquant le PFD à P, montrer que v =
GM
, puis déterminer son énergie cinétique
r0
EC.
2.4.
En déduire l’énergie mécanique Em du point P.
2.5.
Justifier le fait que, sans frottements, sa trajectoire reste circulaire.
3.
Pour des applications de télécommunication, le satellite doit couvrir toujours la même surface de la
Terre. On parle d’orbite géostationnaire. Il doit alors tourner en même temps que celle-ci, pour
survoler toujours la même région. Intéressons nous au cas d’un satellite restant au dessus de
l’équateur.
3.1.
En combien de temps T le satellite doit-il faire le tour de la Terre ?
3.2.
Avec l’expression de v démontrée au 2.3, montrer que le rayon
géostationnaire vérifie la relation
3.3.
4.
rgéo
Faire l’application numérique pour
3
rgéo
de cette orbite
GMT 2
=
4π 2
rgéo .
Le satellite subit en réalité des frottements sur les hautes couches de l’atmosphère. On suppose que
ces frottements sont équivalents à une force de freinage de module
f d = λ mv (d pour dissipative),
la constante λ désignant le coefficient de frottement. Ce freinage est très faible et on peut supposer
que les révolutions restent presque circulaires, donc que les expressions établies à la première
question pour les énergies restent valables.
4.1.
Quelle est la dimension de λ ?
4.2.
Par un bilan énergétique qualitatif, justifier l’évolution de la vitesse du satellite. Que va-t-il se
passer ?
4.3.
En appliquant le TEM, déterminer l’équation différentielle vérifiée par le rayon r de l’orbite
du satellite.
4.4.
Résoudre cette équation différentielle en notant r0 le rayon à l’instant t = 0,
4.5.
Représenter l’évolution du rayon. Au bout de combien de temps le satellite touche-t-il la
Terre ?