Le déterminant de Vandermonde - Epsilon 2000
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Le déterminant de Vandermonde - Epsilon 2000
Le déterminant de Vandermonde Soient n un entier supérieur ou égal à 2 et a1 , . . . , an n éléments d’un corps K. On appelle déterminant de Vandermonde l’élément de K défini par : 1 1 V (a1 , . . . , an ) = . .. 1 1 1.1 a1 a21 ... a2 .. . a22 .. . ... an a2n ... an−1 1 an−1 2 .. . n−1 an Une première démonstration Relation de récurrence On rappelle qu’on ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une ligne (resp. une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes). Notons L1 , . . . , Ln les lignes du déterminant ci-dessus. Pour tout k ∈ J2, nK, effectuons l’opération suivante : Lk ← Lk − L1 . On a alors : 1 a1 a21 ... an−1 1 n−1 0 a2 − a1 a22 − a21 . . . an−1 − a1 2 V (a1 , . . . , an ) = . .. .. .. .. . . . n−1 0 an − a1 a2n − a21 . . . an−1 − a1 n Effectuons un développement suivant la première colonne, puis mettons en facteur ak − a1 sur chaque ligne (k ∈ J2, nK) : 1 1 Y V (a1 , . . . , an ) = (ak − a1 ) × . .. 26k6n 1 a2 + a1 a22 + a1 a2 + a21 ... a3 + a1 .. . a23 + a1 a3 + a21 .. . ... an + a1 a2n + a1 an + a21 ... En effectuant successivement les opérations Ck ← Ck − k−1 P i=1 an−2 + a1 an−3 + · · · + an−2 2 2 1 n−3 n−2 an−2 + a a + · · · + a 1 3 3 1 .. . n−2 n−3 an−2 + a a + · · · + a 1 n n 1 ai1 Ci pour k ∈ J2, n − 1K, on obtient : 1 1 Y V (a1 , . . . , an ) = (ak − a1 ) × . .. 26k6n 1 a2 a22 ... a3 .. . a23 .. . ... an a2n ... an−2 2 n−2 a3 .. . an−2 n c’est-à-dire V (a1 , . . . , an ) = Y (ak − a1 ) × V (a2 , . . . , an ). 26k6n 1 Le déterminant de Vandermonde 1.2 Démonstration par récurrence Q Pour n entier supérieur ou égal à 2, on note P(n) la propriété : V (a1 , . . . , an ) = (aj − ai ). 16i<j6n 1 a 1 Pour n = 2 : soient a1 , a2 ∈ K. V (a1 , a2 ) = = (a2 − a1 ) donc P(2) est vraie. 1 a2 Soitn ∈ N, n > 2. Supposons P(n) vraie. Soient a1 . . . an+1 ∈ K. Y V (a1 , . . . , an+1 ) = (ak − a1 ) × V (a2 , . . . , an+1 ) (relation de récurrence) 26k6n+1 Y = Y (aj − ai ) (hypothèse de récurrence) 26i<j6n+1 26k6n+1 = Y (ak − a1 ) × (aj − ai ) 16i<j6n+1 donc P(n + 1) est vraie. D’après le principe de récurrence, on en déduit que P(n) est vraie pour tout n > 2. 2 2.1 Une deuxième démonstration Relation de récurrence Soient n ∈ N, n > 2, a1 , . . . , an ∈ K. On a : 1 . . . V (a1 , . . . , an−1 , X) = 1 1 a1 .. . a21 .. . ... an−1 a2n−1 ... X X 2 an−1 1 .. . n−1 an−1 X n−1 ... V (a1 , . . . , an−1 , X) est un polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1 (il suffit pour cela de développer le déterminant suivant la dernière ligne). Soit k ∈ J1, n − 1K. V (a1 , . . . , an−1 , ak ) = 0 car c’est un déterminant ayant deux lignes égales. a1 , . . . , an−1 sont donc des racines du polynôme V (a1 , . . . , an−1 , X). compte-tenu du n−1 Q degré de ce polynôme, il existe donc λ ∈ K tel que V (a1 , . . . , an−1 , X) = λ (X − ak ). Le coefficient de k=1 X n−1 est λ. Par ailleurs, en développant V (a1 , . . . , an−1 , X) suivant la dernière ligne, le coefficient de X n−1 est V (a1 , . . . , an−1 ) donc λ = V (a1 , . . . , an−1 ) et on a : V (a1 , . . . , an−1 , an ) = V (a1 , . . . , an−1 ) × n−1 Y (an − ak ). k=1 2.2 Démonstration par récurrence Q Pour n entier supérieur ou égal à 2, on note P(n) la propriété : V (a1 , . . . , an ) = (aj − ai ). 16i<j6n 1 a 1 Pour n = 2 : soient a1 , a2 ∈ K. V (a1 , a2 ) = = (a2 − a1 ) donc P(2) est vraie. 1 a2 Soitn ∈ N, n > 2. Supposons P(n) vraie. Soient a1 . . . an+1 ∈ K. Y V (a1 , . . . , an+1 ) = (an+1 − ak ) × V (a1 , . . . , an ) (relation de récurrence) 16k6n = Y (an+1 − ak ) × Y (aj − ai ) (hypothèse de récurrence) 16i<j6n 16k6n = Y (aj − ai ) 16i<j6n+1 donc P(n + 1) est vraie. D’après le principe de récurrence, on en déduit que P(n) est vraie pour tout n > 2. S. Duchet - http://epsilon.2000.free.fr 2/2