MATHÉMATIQUES POUR L`INFORMATIQUE 4 TD1 Exercices `a

MATHÉMATIQUES POUR L’INFORMATIQUE 4
TD1
Exercices à résoudre sur papier
1. On considère la suite (un ) définie par la récurrence
un = un−1 + 2n − 1,
u0 = 0.
a) Calculer un pour n ≤ 6.
b) Deviner une formule pour un .
c) Prouver la formule par récurrence.
d) Exprimer un comme une somme (sans récurrence) et imaginer un dessin rendant la solution
évidente.
2. Mêmes questions pour les sommes alternées
n
X
Sn =
(−1)n−k k 2 .
k=1
3. Soit (vn ) la suite définie par la récurrence
vn = 3vn−1 − 1,
v0 = 1.
a) Calculer les 6 premiers termes.
b) Trouver une expression de la série génératrice
V (x) =
X
vn x n .
n≥0
c) En déduire la valeur de vn .
Exercices sur machine
Afficher la page http://igm.univ-mlv.fr/~jyt/L3_MPI4/td1L3.html
Le module Python sympy fait du calcul symbolique. On peut lui déclarer des variables au sens
mathématique (plus précisément, des indéterminées), et les manipuler formellement :
>>> from sympy import *
>>> var(’x y’)
(x, y)
>>> expand((1+x)**3) # développement d’un produit
x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1
>>> factor(1-4*x+3*x**2) # factorisation d’un polyn^
ome
(x - 1)*(3*x - 1)
>>> R = 1/_; R # R est une fraction rationnelle
1/((x - 1)*(3*x - 1))
>>> apart(_) # décomposition en éléments simples
-3/(2*(3*x - 1)) + 1/(2*(x - 1))
>>> series(R,x,0,8).removeO() # il sait développer en série (removeO() enlève le O(x**8))
3280*x**7 + 1093*x**6 + 364*x**5 + 121*x**4 + 40*x**3 + 13*x**2 + 4*x + 1
>>> Rational(4,12) # il conna^
ıt les fractions
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4. Soit (un ) la suite définie par
un = 2un−1 + un−2 − 2un−3 ,
u0 = 1, u1 = 0, u2 = 2.
a) Trouver une expression de la série génératrice U (x) de (un ).
b) Calculer son développement en série à l’ordre 12 avec sympy.
c) Programmer la fonction u(n) à partir de la récurrence et afficher les 12 premiers termes.
d) Recommencer jusqu’à ce que les questions b) et c) donnent les mêmes résultats.
e) Trouver une formule explicite pour un .
f) Programmer cette suite sous forme d’une fonction u(n).
g) Étrangement, il se trouve que cette suite est connue. Interrogez l’encyclopédie en ligne des suites
d’entiers (http://oeis.org) pour voir ce qu’on en sait.
5. On considère la suite (qn ) définie par
1 + qn−1
, q0 = a, q1 = b.
qn =
qn−2
Il n’existe pas de méthode générale pour résoudre ce genre de récurrence.
a) Programmer la suite avec sympy.
b) En étudiant les premiers termes, deviner la réponse.
c) Reste-t-il quelque chose à prouver ?
6. Soit An la somme alternéee
An =
n
X
(−1)k
k=0
(2k + 1)3
.
(2k + 1)4 + 4
a) Programmer la fonction A(n) avec sympy (utiliser Rational).
b) Afficher les 12 premiers termes.
c) Deviner une formule pour le signe, le numérateur, et le dénominateur de An .
d) Prouver la formule par récurrence (sympy peut faire les calculs algébriques requis pour la
vérification).