Oscillateur de van der Pol à AO

Chapitre 12 – Exercice 11
Oscillateur de van der Pol à AO
1. Dans cet oscillateur, Dn est un dipôle à résistance négative, Q1 un amplificateur différentiel de tension et
Q2 un amplificateur non inverseur.
2. Si les résistances R2 et R3 sont grandes, devant le module des impédances du condensateur de la bobine,
l’intensité du courant qui les traverse est très faible.
3. La loi des mailles donne uC + uL + ur + uR,n = unl où :
q
C
On obtient :
uC =
i=
dq
d uC
=C
dt
dt
uL = L
LC
di
d2 uC
= LC
dt
d t2
uR = Rn i = Rn C
d uC
dt
ur = ri = rC
d uC
dt
d uC
d2 uC
+ uC = unl
+ C(r + Rn )
d t2
dt
4. Avec Q1 , on a u− = u+ = uB R3 /(R2 + R3 ) en raison de la division de tension. En outre, le théorème de
Millman sur l’entrée inverseuse donne :
uA /R2 + u1 /R3
R3
= uB
u− =
1/R2 + 1/R3
R2 + R3
on en déduit, en introduisant uC = uA − uB :
u1 = −uC
R3
= −A1 uC
R2
avec A1 =
R3
R2
Les tensions u2 et u3 s’écrivent alors :
u2 = Km u21 = Km A21 u2C
et
u3 = Km u2 uR = Km2 A21 Rn Cu2C
d uC
dt
Pour Q2 :
u3 =
unl /R4
1/R5 + 1/R4
soit
unl =
R4 + R5
u3 = A2 u3
R5
avec A2 = 1 +
R4
R5
et
en tenant compte de l’expression de u3 . L’équation du circuit s’écrit alors :
du
1
d2 uC
C
+ v20 uC = 0 avec K1 = Km2 A21 A2
−
−Rn − r + Rn K1 u2C
2
dt
L
dt
unl = Km2 A21 A2 Rn Cu2C
d uC
dt
et v0 = (LC)−1/2
5. On trouve l’équation demandée en introduisant t0 et ul qui s’expriment respectivement en Hz et en V :
1/2
−Rn + r
L
t0 = −
et ul =
Rn + r
Rn k2 A21 A2
6. On obtient l’équation canonique de l’oscillateur de van der Pol :
1 − X2 d X
uc
d2 X
−
+ X = 0 avec X =
2
du
Q0 d u
ul
Le paramètre critique Q0 s’écrit :
Q0 = −
1
Lv0
=
Rn + r
Rn + r
1/2
L
C
et
u = v0 t
Rn = −r −
et Q0 = v0 t0
1
Q0
1/2
L
C
ce qui donne, pour Q0 = 100 et Q0 = 0, 1 respectivement, Rn ≈ −108 V et Rn ≈ −8, 7 kV .
7. L’espace des phases, à deux dimensions, peut être construit à partir des variables (uC , u̇C ) ou de grandeurs
qui leur sont proportionnelles, respectivement u1 et uR . Pour Q0 = 100 , les oscillations du circuit sont quasisinusoïdales, alors que, pour Q0 = 0, 1 , ce sont des oscillations de relaxation.