http://repository.osakafu-u.ac.jp/dspace/ Title Author(s) Editor(s

 Title
Author(s)
Sur Les Matrices Unimodulaires et le Produit de Kronecker
Kawashima, Genkichi
Editor(s)
Citation
Issue Date
URL
Bulletin of University of Osaka Prefecture. Series A, Engineering and nat
ural sciences. 1960, 9(1), p.107-113
1960-12-30
http://hdl.handle.net/10466/7953
Rights
http://repository.osakafu-u.ac.jp/dspace/
107
'
'
t tt
Sur Les Matrices Unimodulaires et le Produit de Kronecker
Genkichi KAwAsHIMA*
(Received September 30, 1960)
Nous considerons le Probleme d6btenir une serie des matrices unimodulaire par le
produit de Kronecker et le quasi-produit de Kronecker.
' Introduction
Posons
P(t)=ao+aist=: 1 1 + 1 1 srt
22 22
11 11
22 22
oin P(t) est une matrice stochastique sym6trique alors
u(t)-ao+aie't== [z;;[ll Zli[l]]
est une matrice unitaire unimodulaire et la matrice
.,,,(2).= u(t)× u(t) - [z,il[l]U.(,l] Zli[l),ZEIi]
est une matrice unitaire unimodulaire et ''
A(2)=AgA :[z: a.:](2)=[.a,oAA .a:2]
est une matrice orthogonale unimodulaire et la matrice
u(2)-ux U - [e2.,, ah:](2' = [".' .U,,. ah:' U.]
'
est une matrice unitaire unimodulaire
Posons
P(t) =ao+aist =: 1 1 + 1 l xst
22 22
1･1 11
22 22
Q(t)==bo+bist= 1 2 + 2 lxst
33 33
12- 21
33 33 j
" Le departrnent de mathematique, Le College de 1'Eduction G6nerale
108 ' G. KAwAsHIMA
oule systeme [P(t), Q(t)] est un g6n6rateur g6n6tique des matrices stochastiques [1] alors
A ([9 B+B '(21)A ' ' '
2
'
[z:':,'], ･B='[20,
2:]
oti
est une matrice unimodulaire.
Posons
'
p(m, t)=ao(m)+ai(m)st=[ ; l: ;;]' + [1:Mm -(mt-M)]St
oti P(m, t) est une matrice stochastique sur-homotopoque [2] alors
A(m (XA(n)+A(n) op A(m)
2
[Z:['.M,' Z,i[M.',]
oa
est une matrice unimodulaire sur-homotopique.
1.
Definition. Nous dirons que le produit
[211 Zi,i]×[211 b,)i]=FAXB=[ZllB. Zi,:B.]
'
est le produit de Kronecker [3] et nous avons
A×A×･･･x= A(k)
Posons 1)
ae+alsC+･････････+a.snt
est une matrices stochastique 2)
. A= ao ai...an
an ao."an-1
--
-al a2･..ao
alors A(k) oin k=1,2, .-, sont des matrices unimodulaires
Posons
ao +aist+ ･･.+ansnt, bo +bist + ･.･+bnsnt
est un g6n6rateur g6n6tique des matrices stochastiques et
""=l",Eo. Zi,1'.1"ez-, B=" 2eO 2i,111Z'tt,
Kai a2･･･ao bi b2･･･bo
/.
Sur Les A4tztiices Unimedulaires et le Produit de K)'oneeker
alors
(A(k)×B(k)+B(k)×A[k))12
sont des matrices unimodulaires.
Posons ao(m)+ai(m)st+･･････a.(m)snt
est une matrice stochastique sur-homotopique et
A(m) == :;.[.m.), zi,2m.g:'.zn-5..m,,i),,) ,
ai(m) a2(m)･･･ao(m) /
alors
(A(P)(le)xA(q)Cle]+A(q)Cle)xA(P)(le))12
sont des matrices unimodulaires sur-homotopiques.
Posons ao+aist+･･.af,s"t est une matrice stochastique, alors
ao ai･･･an Ck)
al a2...ao
--t
-an ao"'an-1
oti le=1, 2, ･･･ sont des matrices unimodulaires.
Posons ao+aist+...+a,,s"t, bo+bist+･･･bnsnt
est un g6n6rateur g6n6tique des matrices stochastiques, alors
.
(A(le)×BCk)+B(k]ACk))12
oft A= ao at"'an B== be bi"'bn
ai a2-.ao bt b2"･be
--------t
an ao"'an-i bn bo"'bn-t
sont des matrices unimodulaires.
Posons ao(m)+ai(m)st+･･･+a.(m)snt
'est une matrice stochastique sur-homotopique, alors
(A(p)(le)xA(q)(k)+A(q)Ck)xA(P)(k))12
oa A(m)= ao(m) ai(m)･･･an(m)
ai(m) a2(m)･･･ao(m)
-dn(m) ao(m)"'a'n-i(m)
sont des matrices unimodulaires sur-homotopiques.
Definition. Posons X est le produit de Kronecker, alors nous dirons que
(A×B+B×A)12
oin A, B sont des matrices, est le produit de Jordan-Kronecker.
!ce
110 ' G. KAwAsHIMA'
Thboreme. Posons 1) ao+aist+･･･+a,,snt, bo+bist+･･･bdint
est un g6n6rateur g6n6tique des matrices stochantiques
2)
"= /l.O Z',111"etL,,) B= (1.0 ZioTi'gn,l-i'
ai a2･･･ao 7 Ybi b2･･･be
alors le systeme
[A, B]
est un g6n6rateur g6n6tique des matrices unimodu!aires par le
produit de Jordan-
Kronecker.
Posons
O(0)= -t-t /lt i/1+r-g-t/ :i/xcose+ -ol
E･SE,1 -:/-E, ,3 v{333 31 3 3 'ii
vg
o" O(e) est une matrice orthogonale, alors
[o(e)](le)
od k=1, 2, ･･･ sont des matrices orthogonales unimodulaires.
Posons
o(e)==[-ko,;Z 2t",Z]
oix O(0) est une matrice orthogonale, alors
[o(e)][k]
oix le=1, 2, ･･･ sont des matrices orthogonales.
Posons
[ae'+aist+･･･+a,,snt][k]
est une matrice stochastique sym6trique, alors
[ao +aieit + .･ ･ +a.eitn] [k]
oin k=1, 2, ･･･ sont des matrices unitaires unimodutaires.
Posons
'
a+aise+..･+ansnt, bo+bist+･･.+bnsnt
sont des matrices stochastiques symetriques, alors
[ae+aieit+･･･a,,ei"t](k)x[bo+bieit+･･･b.eint](l)
oti k, l=1,2, ･･･ sont des matrices unitaires unimodulaires.
1- -1
V3
Vrr3-
p-vi---3
-1 o?r
vg
sine
Sua Les Mleztrices Unimod ulaires et le Produit de Kb'onecker 111
Posons
'
TSbn(q2,e, ipi)==e'iM2Rfi.(cosh)e-ivai . , i
,
est une fonction spherique g6n6rale [4], alors
1I P;n.`(cosh)ll(k)
oix k =1, 2, ･･･,sont des matrices unitaires unimodulaires. et
' ll;P;:ln(cos)]l(k)XIIewn(cose)ll(l)
od kl =1, 2, ･･･ sont des matrices unitaires unimodulaires.
2.
Definition. Nous dirons que
[.all ."li] op [bbi,l bbli] =AopB= [.a,ilBB :lilZ]
oU aij, bij (i, 7'=1,2) sdnt des matrices, est le quasi-produit de Kronecker et nous
avons
A(2}AX･･･ XA=A(k)
Posons P(t)= ao+aist+･･･+ansnt est une matrice stochastique et
Ai= ao ai...an A2= ai a2...ao ...An= an ao...aeb-i
an ao...a,b.1 ao al...an anpl an...an-2
::
-- ::
-- :i ...
,al a2..･ao a2 a3.･･al ao ql...an
alors Aj(k) oa k==1,2,･･･ sont des matrices unitaires. Si P(t) est symetrique les
matrice Aj(k) sont des matrices ortbogonales unimodulaires et
Bi== ao aii･･･avai B2= ai a2r･･aoi Bn= -bn aor･-an-ii
-avai ae･･･an-1 -aoi al･･･ani -a,b-li an..･an-2i
----- --- i---
-alt -a2t...ao -a2t -a?z...al , -alz alt..,an
sont des matride's unitaires unimodulaires.
Posons ao+aist+･･･+a,,snt, bo+bist+･･.+bpsmt
est une g6n6rateur g6n6tique des matriees stochastiques et
A== z.e zi,1'.1".".-, B`=(2: 2,i:I2]-,
/i a2･･･al (bli b2･･･b/'o
alors (A(k)opB(le)+B(k)XA(k))!2
sont des matrices unimodulaires.
Posons ao(m)+ai(m)st+･･･+an(m)snt est une matrice stochastique surhomotopique et
112 G. KAwAsHiMA
A(m)=. ao(m) ai(m)･･･an(m)
an(m) ao(m)･･･a,,-i(m)
--
a'i(m) a2(m)･･･aS(m)
alors (A(P)(k)opA(q)(k)+A(q)(k)opA(P)(k))12
sont des matrice unimodulaires sur-homotopiques.
Posons ao+aist+･･.+ansnt est une matrice stochastique, alors
ao ai..･an (k)
: ---
al a2".ao ･
an' ae"'an-1
oin k=1, 2, ･･･, sont des matrices unimodulaires [5],
Posons ae+aist+.･.+ans"t'; bo+bist+...+b,,snt
est un g6n6rateur g6n6tiqne des matrices stochastiques, alors ･
tt
(A(k)opB(le)+B(le)opA(le))12 '
od A= ao ai"'an B== bo bi'"bn
ai a2･･. ao bi b2･･･bo
--i
i- ---
an ao"'an-i , bn bo"'bn-i
Posons ao(m)+ai(m)st+･･･+a.(m)snc
est une matrices stochastique sur-homotopique, alors
(A(P)(k)(2)A(q)(k)+A(q)(k)XA(P)(k))12
oin i) A(m)= ao(m) ai(m)･･･a.(m)
ai(m) a2(m)･･･ao(m)
--
-an(M) ao(M)･"an-i(M)
ii) le==1, 2, ･･･,
sont des matrices unimodulaires sur-homotopiques.
Definition. Pbsons X est le quasi-prodiut de Kronecker, alors nous dirons
(A(g>B+B([g)A)!2
oct A, B sont des matrices, est le quasi-produit de Jordan-Kronecker.
- ･ Th6or6me. Posons 1) ae+aisC+.･･+anst, bo+bist+.･･+b.srne
est un g6n6rateur g6n6tique des matrices stochastiques
2)
A= ae ai"'an B== bo bi"'bn
an ao'"gf,-i b.n bo"'ijfb-i
ai a2･･･be
b'i i
b2･･･Se
----
que
Sur Les Matrices Unimodzalaires et le Produit de K)'onecker
113
[A, B]
est un g6n6rateir g6n6tique des matrices unimedulaires par le quasi-produit de Jordan-
Kronecker.
Posons
O(e)=r cose sinOl==ao+aleie+a2e`-ie
L-sine boseJ
oa O(0) est une matriue orthoganale, alors
[a:i; a:,i .Z,9ik' [li 2'l ･:oi)(k'
oix k=1, 2, ･･･ sont des matrices orthogunales unimodulaires.
Posons
T,ILva(q2, eiqi)==e-ime2Pli:.(coso)e'-iinei
oin Tlin(q2, 0upi) est une fonction spherique g6n6rale et
il"Fl:m<cosh)ll=ao+aiei"+a,e-ie L
alors
Ai=rao ai a2) -A2= ao ai a2)
ra2 ao alt al a2 aol
Ual a2 aoY, a2 ao all
sont des matrices orthogonales unimodulaires et
ASk)
oti ]':---=1, 2, le=1, 2, ･･･ sont des matrices orthgonales unimodulaires.
Bibliographique
[1) G. Kawashima, Les generateurs g6netiques des matrices stochastiques, Bulletin of University.of Osaka Prefecture, Series A. Vol. 6, (1958)
[2] G. Kawashima, Les g6nerateurs gen6tiques des matrices stochastiques, II, Bulletin of University of Osaka Prefecture, Series A. Vol. 7, (1959)
[3] R. Bellman, Introduction to matrix analysis, New York, (1960)
[4] M. M. Te[rsepaH" M 3. ff. I[Ialllfpo, IIipelcTaBi[efitaH rpyuRsi irpameHzfi 7JpexinepEtoro
llpociJpaHcTBa E nx
upMeHeHua Yell. MaT. H. 7. 1(47) 3-117, (1952).
[5] G. Kawashima, Les generateurs genetiques des mtrices unimodulaires, Bulletin of University
of Osaka Prefecture, Series A. Vol, 8 No. 1, (1959).