Devoir maison n° 3 pour le 06/11/06 La « sorcière d`Agnesi » Dans

Devoir maison n° 3
pour le 06/11/06
La « sorcière d'Agnesi »
Dans le repère orthonormal d'axes (x'x) et (y'y), le point fixe P a pour coordonnées (0 ;2).
Soit C le cercle de diamètre [OP].
La droite d est une droite variable qui pivote autour de P.
y
d
P
K
O
M
H
x
Cette droite coupe C en K et (x'x) en H.
Soit x l'abscisse de H et y l'ordonnée de K.
M est le point de coordonnées (x ;y).
La courbe décrite par le point M lorsque d pivote autour du point P a été étudiée par Maria Gaetana Agnesi.
On peut la tracer au moyen d'un logiciel de géométrie.
1° Soit m la pente variable de la droite d :
Montrer qu'une équation de cette droite est y = m x + 2.
Montrer qu'une équation du cercle C est : x2 + (y – 1)2 = 1.
2° En déduire les coordonnées des points H et K en fonction de m.
2 x2
3° Montrer que les coordonnées x et y du point M sont liées par la relation y = 2
x +4
2 x2
4° Soit la fonction définie sur IR par f (x) = 2
x +4
a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b) Etudier les variations de f.
c) Tracer la courbe décrite par M en utilisant une calculatrice
C'est cette courbe que l'on nomme « sorcière d'Agnesi ».
Margarita Gaetana Angiolo Maria Agnesi (née le 16 mai 1718 à Milan et morte le 9
janvier 1799 dans la même ville) était une linguiste, mathématicienne et philosophe
italienne. On attribue à Agnesi le premier livre traitant à la fois de calcul différentiel et de
calcul intégral. Elle était un membre honorifique de la faculté de l'Université de Bologne.
En italien, cette courbe est nommée la versiera di Agnesi (« la courbe d'Agnesi »). Elle
acquiert son nom courant suite à une erreur de traduction de John Colson, professeur à
Cambridge qui confond le nom d'origine avec l'avversiera di Agnesi (« la Sorcière
d'Agnesi »).
Dans le repère orthonormal d'axes (x'x) et (y'y), le point fixe P a
pour coordonnées (0 ;2).
Soit C le cercle de diamètre [OP].
La droite d est une droite variable qui pivote autour de P.
Cette droite coupe C en K et (x'x) en H.
Soit x l'abscisse de H et y l'ordonnée de K. M est le point de
coordonnées (x ;y).
La courbe décrite par le point M lorsque d pivote autour du point P
a été étudiée par Maria Gaetana Agnesi.
On peut la tracer au moyen d'un logiciel de géométrie. 1° Soit m la
pente variable de la droite d. Montrer qu'une équation de cette
droite est y=mx+2.
y
d
La droite a une équation de la forme y = m x + p et comme
P(0 , 2) est sur la droite on a p = 2 et donc l'équation de la
droite est : y = m x + 2
P
K
O
M
H
Montrer qu'une équation du cercle C est : x2 + (y – 1)2 = 1.
Le centre de C est le point Ω(0,1) et son rayon est 1 on a
donc :
M ∈ C ⇔ ΩM = 1 ⇔ x2 + (y – 1)2 = 1 ⇔ x2 + (y – 1)2 = 1
L'équation de C est donc : x2 + (y – 1)2 = 1
2° En déduire les coordonnées des points H et K en fonction de m.
H est à l'intersection du cercle C et de la droite d (le deuxième point d'intersection est P(0 , 2)
y=mx+2
y=mx+2
Les coordonnées de h doivent donc vérifier :  x2 + (y – 1)2 = 1 ⇔  x2 + (m x + 2 – 1)2 = 1 ⇔





y=mx+2
x=0
y=mx+2


⇔
⇔
2
2 2
2
x +m x +2mx+1=1
 x (x (1 + m ) + 2 m) = 0
y=2
 x = – m22 m+ 1
(c'est le point P) ou 
2m
 y = – m × m2 + 1 + 2
2m
– 2 m2 + 2 m2 + 2
2
2m
2 
et y =
= 2
donc H –
, 2

m+1
m +1
m2 + 1
 m + 1 m + 1
2
2
et son abscisse vérifie : m x + 2 = 0 ⇔ x = –
L'ordonnée du point M est donc 2
m
m +1
m
2

Les coordonnées de M sont donc : M – , 2

 2 m + 1
Les coordonnées de H vérifient donc x = –
3° Montrer que les coordonnées x et y du point M sont liées par la relation y =
On pose x = –
2 x2
x2 + 4
2
2
2
2
2
2 x2
⇔ m = – et on a donc y =
=
=
=
2
2
2
m
x
– 2 + 1 42 + 1 4 +2x 4 + x
 x
x
x
 
4° Soit la fonction définie sur IR par f (x) =
2 x2
a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
x2 + 4
2 x2
2 = 2 = lim f(x)
x→+∞ x
x→–∞
lim f(x) = lim
x→+∞
b) Etudier les variations de f.
f est une fonction rationnelle elle est donc dérivable sur son ensemble de définition.
 u(x) = 2 x2 et u '(x) = 4 x
4 x × (4 + x2) – 2 x2 × 2 x 4 x (4 + x2 – x2)
16 x

donc
f
'(x)
=
=
=
2
2
2
2
2
 v(x) = 4 + x et v '(x) = 2 x
(x + 4)
(x + 4)
(x2 + 4)2
x
signe de f '
–∞
–
0
0
2
+∞
+
2
f
0
x
c) Tracer la courbe décrite par M en utilisant une calculatrice
y
P
K
o
M
H
x