ecriture complexe des transformation du plan

Atomαth n°2
ÉCRITURE COMPLEXE
DES TRANSFORMATIONS DU PLAN
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct  O, i, j  .


f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z' .
Écriture complexe des déplacements
Écriture complexe des translations
L’application f est une translation de vecteur u , alors il existe un nombre complexe b tel que z' = z + b
où b est l’affixe de u .
Démonstration
M' (z') = t (M(z )) alors MM' = u donc z' = z + z
u
u
Écriture complexe des rotations :
L’application f est une rotation d’angle θ non nul et centre I, alors : z' = eiθ (z − z I ) + z I , où z I =
b
1−a
est l’affixe de I.
Démonstration
M' (z' ) = R (I ,θ ) (M(z ))

z'−z I
=1

IM = IM'

z
− zI
z'−z I

alors  IM, IM'  ≡ θ[2π] alors 
alors
= eiθ




z
− zI

arg z'− z I  ≡ θ[2π]

 z−z 
I
 
donc z' = eiθ (z − z I ) + z I
Écriture complexe des antidéplacements
Écriture complexe des symétries axiales
L’application f est une symétrie axiale d’axe ∆ passe par le point I et admet le vecteur u comme
(
( )
)
vecteur directeur associe , alors z' = ei2θ z − z I + z I où θ désigne une mesure de l’angle i; u .
Démonstration
Soit ∆1 la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point I alors si
Ré(z') = Ré(z )
alors
M' (z') = S ∆1 (M(z )) alors 
Im(z') + Im(z ) = 2 Im(z I )
{Ré( z' ) + i Im(z') = Ré(z ) − i Im(z ) + 2i Im(z I ) donc
z' = z − z I + z I
D’autre part on a S ∆ o S ∆1 = R (I,2θ ) alors S ∆ = R (I,2θ ) o S ∆1
L’écriture complexe de R (I ,2θ ) : z' = e2iθ (z − z I ) + z I
(
)
(
)
Alors L’écriture complexe de S ∆ : z' = e2iθ z − z I + z I − z I + z I = e2iθ z − z I + z I
Écriture complexe des symétries glissantes
L’application f est une symétrie glissante dont d’axe ∆ passe par le point I et admet le vecteur u
comme vecteur directeur associe , alors z' = ei2θ z − z I + z I + zu où θ désigne une mesure de l’angle
(
(i; u).
)
Démonstration
La forme reduite de f est : f = t o S ∆ où est un vecteur directeur ∆
u
(
)
u
)
Une écriture complexe de S ∆ est z' = ei2θ z − z I + z I
Une écriture complexe de t est z' = z + z
u
(
Alors l’ecriture complexe de f est : z' = ei2θ z − z I + z I + z
u
Écriture complexe des similitudes
Écriture complexe des homothéties
L’application f est une homothétie de centre I et de rapport k , si et seulement si, z' = k (z − z I ) + z I .
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Atomαth n°2
Démonstration
M' (z') = h(I ,k )(M(z )) alors
IM' = k IM donc z'−z I = k (z − z I ) alors z' = k (z − z I ) + z I
Écriture complexe des similitudes directes
L’application f est une similitude directe de centre I , d’angle θ et de rapport k , alors ,
z' = keiθ (z − z I ) + z I .
Démonstration
M' (z' ) = f(I ,θ ,k ) (M(z ))

z'−z I
=k

IM' = kIM

z − zI
z'−z I

alors  IM, IM'  ≡ θ[2π] alors 
alors
= eiθ donc




z
− zI
−
z
'
z

I  ≡ θ[2π]
arg

 z−z 
I 
 
z' = keiθ (z − z I ) + z I
Réciproquement :
Soit f la transformation d’écriture complexe z' = az + b , où a est un nombre complexe non nul et b un
complexe :
Si a =1 et b = 0 alors f est l’identité
Si a = 1 et b ≠ 0 alors f est une translation de vecteur u d’affixe b
b
1−a
Si a ≠ 1 alors f est une similitude directe de rapport a , d’angle θ = arg(a)[2π] et de centre I d’affixe
Si a = 1 et a = 1 alors f est une rotation d’angle θ = arg(a)[2π] et de centre I d’affixe z I =
b
1−a
Démonstration
zI =
Si a = 1 et a = 1 alors il exisite θ ∈ R tel que a = eiθ
b
1−a
 z′ = az + b
En soustrayant membre à membre les égalités 
on obtient z′ − z I = eiθ (z − zI )
z I = az I + b
b
Alors f est une rotation d’angle θ = arg(a)[2π] et de centre I d’affixe z I =
1−a
f admet pour seule point fixe le point I d’affixe z I =
Si a ≠ 1 alors il exisite θ ∈ R tel que a = a eiθ
b
1−a
 z′ = az + b
En soustrayant membre à membre les égalités 
on obtient z′ − z I = a eiθ (z − z I )
z I = az I + b
f admet pour seule point fixe le point I d’affixe z I =
Alors f est une similitude directe de rapport a , d’angle θ = arg(a)[2π] et de centre I d’affixe z I =
b
1−a
Forme complexe d’une simimlitude indirecte.
Soit f la transformation d’écriture complexe z' = az + b , où a est un nombre complexe non nul et b un
complexe :
Si a = 1 : f est une antidéplacement
Si a ≠ 1 : f est une similitude indirecte de rapport k = a
Démonstration
Soient A' = f (A ) , B' = f (B) , C' = f (C ) et D' = f (D ) alors
A' B' = zB' − z A' = azB − az A = a zB − z A = a zB − z A = a AB
(
(

 A'B', C' D'  ≡ arg zD' − z C' [2π] ≡ arg a zD − z C
z −z 
az −z


A' 
 B'
A
 B
) [2π] ≡ arg  zD − zC  [2π] ≡ − AB, AC [2π]
  z − z  


) 
A
 B

Alors
si a = 1 : f est une antidéplacement
si a ≠ 1 : f est une similitude indirecte de rapport k = a
Écriture complexe des similitudes indirectes
L’application f est une similitude indirecte de centre I , d’axe ∆ et de rapport k , alors ,
(
( )
)
z' = kei2θ z − z I + z I où θ désigne une mesure de l’angle i; u .
Démonstration
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Atomαth n°2
La forme reduite de f est : f = h(I ,k ) o S ∆ .
(
)
Une écriture complexe de S ∆ est z' = ei2θ z − z I + z I
Une écriture complexe de h(I ,k ) es z' = k (z − z I ) + z I
( (
)
)
(
)
Alors l’ecriture complexe de f est : z' = k e2iθ z − z I + z I − z I + z I = kei2θ z − z I + z I
Réciproquement :
Soit f la transformation d’écriture complexe z' = az + b , où a est un nombre complexe non nul et b un
complexe :
Si a = 1 (dans ce cas a = eiθ ) et ab + b = 0 alors f est une symétrie axiale d’axe ∆ d’équation :
(cos θ − 1) x + sin θ y + Ré(b) = 0.
Si a = 1 et ab + b ≠ 0 alors f est une symétrie glissante d’axe ∆ d’équation :


(cos θ − 1) x + sinθ y + Ré b − ab  = 0

2
et de vecteur u d’affixe zu =

ab + b
.
2
Si a ≠ 1 (dans ce cas a = keiθ avec k = a ) alors f est une similitude indirecte de rapport k, d’axe ∆
d’équation : (cos θ − 1)x + sin θ y +
(
)
ab + b
Ré kb − ab
= 0 et de centre I d’affixe z I =
k (k + 1)
1 − a²
Démonstration
Si a = 1 alors f est une antidéplacement soit une symétrie axiale d’axe ∆ ou une symétrie glissante
f est une symétrie axiale si et seulement si : f o f = id℘


L’ecriture complexe de f o f est : z' = a az + b  + b = a a z + ab + b = z + ab + b


Alors f o f = id℘ si et seulement si z' = z
Conclusion : f est une symétrie axiale si et seulement si : ab + b = 0
∆ est l’ensemble des points invaraints par f alors
M(z ) ∈ ∆ si et seulement si z = az + b alors x + iy = (cos θ + i sin θ )(x − iy ) + b
Alors x = x cos θ + y sin θ + Ré(b ) et y = − y cos θ + x sin θ + Im(b )
donc ∆ d’équation : (cos θ − 1 ) x + sin θ y + Ré(b ) = 0.
Si ab + b ≠ 0 alors f est une symétrie glissante d’axe ∆ et vecteur v
On a f o f = t
On a t
−v
2v
alors z
2v
= ab + b donc z =
v
ab + b
2
o f = S∆ alors l’ecriture complexe de S ∆ est : z' = az + b −
ab + b
b − ab
= az +
2
2
 b − ab 
=0
Alors ∆ d’équation : (cos θ − 1) x + sin θ y + Ré
 2 


Si a ≠ 1 alors f est une similitude indirecte de rapport k = a
(
)
Le centre de f est défini par zI = az I + b alors zI = azI + b donc z I = a az I + b + b = a ²z I + ab + b alors z I =
La forme réduite de f est f = h(I ,k ) o S ∆ alors S ∆ = h 1  o f alors l’écrture complexe de S ∆ est
 I, 
 k
z' =
kb − ab
1
b + (k − 1)z I
= eθ z +
az + b − z I + z I = eθ z +
k (k + 1)
k
k
(
)
alors l’équation de ∆ : (cos θ − 1)x + sin θ y +
(
)
Ré kb − ab
= 0.
k (k + 1)
11
ab + b
1 − a²
Atomαth n°2
Identification d’une similitude directe
z' = az + b
a réel
a=1
a complexe non réel
a≠1
Translation
de vecteur
a =1
Homothétie de
centre I d’affixe
b
et de
1−a
rapport a.
u d’affixe
b.
a ≠1
Rotation de
centre I d’affixe
b
et d’angle
1−a
θ = arg(a)[2π]
Similitude de
centre I d’affixe
b
et d’angle
1−a
θ = arg(a)[2π] et
de rapport k = a
Identification d’une similitude indirecte
z' = az + b
a =1
ab+b = 0
f est une symétrie axiale d’axe
∆ d’équation :
(cos θ − 1) x + sin θ y + Ré(b ) = 0.
a ≠1
ab+b ≠ 0
f est une symétrie glissante d’axe ∆
d’équation :


(cos θ − 1) x + sin θ y + Ré b − ab  = 0 et
2


de vecteur u d’affixe z =
u
ab + b
.
2
12
f est une similitude indirecte de rapport k,
d’axe ∆ d’équation :
(cos θ − 1)x + sin θ y + Ré(kb − ab ) = 0
k (k + 1)
centre I d’affixe z I =
ab + b
1 − a²
et de