Résolution d`équations et d`inéquations trigonométriques

Nom :
Groupe :
6.3
Date :
Manuel de l’élève, volume 2, p. 117
RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION TRIGONOMÉTRIQUE
À UNE VARIABLE
Il est possible de résoudre une équation trigonométrique à une variable, c’est-à-dire
une équation sinus, une équation cosinus ou une équation tangente, de la façon suivante.
Ex. :
1)
冠
Résoudre : 2 sin 3 x ⫺
␲
4
冡⫹5⫽6
2)
Déterminer les zéros de la fonction :
f(x) ⫽ 3 tan ␲x ⫺ 1
1.
Obtenir une équation dans laquelle l’argument du sinus, du cosinus ou de la tangente
est isolé.
Ex. :
1)
冠
冡⫹5⫽6
␲
2 sin 3 冠x ⫺ 冡 ⫽ 1
␲
sin 3 冠x ⫺ 冡 ⫽
␲
3 冠x ⫺ 冡 ⫽ arc sin
2 sin 3 x ⫺
␲
2)
4
3 tan ␲x ⫽ 1
4
1
2
4
4
3 tan ␲x ⫺ 1 ⫽ 0
tan ␲x ⫽
1
2
1
3
␲x ⫽ arc tan
1
3
2.
Pour une équation sinusoïdale, déterminer
la ou les deux valeurs de ␪ sur [0, 2␲[
qui vérifient l’équation.
Pour une équation tangente, déterminer
la valeur de ␪ sur [0, ␲] qui vérifie
l’équation.
Ex. :
1)
2)
y
y
␪2
0,5
␪1
0
␪1 ⫽
0
x
␲
␪⫽
6
␪2 ⫽ ␲ ⫺ ␪1 ⫽ ␲ ⫺
␲
6
⫽
Former deux équations à partir des
valeurs trouvées.
Ex. :
1)
冠 ␲冡 ⫽ ␲
␲
␲
3 冠x ⫺ 冡 ⫽
4
6
4
5
6
x
␲
6
5␲
6
3.
3x⫺
␪
© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Former une équation à partir de la valeur
trouvée.
2)
␲x ⫽ ␲6
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19
Nom :
Groupe :
6.3
Date :
Manuel de l’élève, volume 2, p. 118
4.
Afin de tenir compte de la périodicité,
additionner 2n␲, où n 僆 ⺪, au membre
formé d’un terme constant pour
l’équation sinusoïdale.
Ex. :
1)
冠 ␲ 冡 ⫽ ␲ ⫹ 2n␲
␲
␲
3 冠x ⫺ 冡 ⫽
⫹ 2n␲
3x⫺
4
6
4
5
6
5.
Résoudre la ou les équations formées.
Ex. :
1)
冠
3x⫺
x⫺
␲
4
冡 ⫽ ␲ ⫹ 2n␲
6
␲
4
⫽
x⫽
冠
3x⫺
x⫺
␲
4
冡⫽
␲
4
⫽
x⫽
␲
5␲
6
⫹ 2n␲
5␲
18
⫹
19␲
36
⫹
␲x ⫽
De façon générale, les solutions sont :
⫹
2n␲
3
⫹
2n␲
3
x⫽
␲
6
1
6
⫹ n␲
⫹n
2n␲
3
1)
x⫽
2)
2n␲
3
Ex. :
19␲
36
␲x ⫽ ␲6 ⫹ n␲
2n␲
3
2n␲
⫹
3
Écrire l’ensemble-solution.
11␲
36
2)
⫹
18
11␲
36
6.
x⫽
Afin de tenir compte de la périodicité,
additionner n␲, où n 僆 ⺪, au membre
formé d’un terme constant pour
l’équation tangente.
2)
De façon générale, les zéros sont :
x⫽
, où n 僆 ⺪.
L’ensemble-solution est :
1
6
⫹ n, où n 僆 ⺪.
L’ensemble-solution est :
冦…, – 116 , – 56 ,
1 7 13
, , ,
6 6 6
冧
….
冦…, 1336␲ , – 536␲ , 1136␲ , 1936␲ , 3536␲ , 4336␲ , …冧.
20
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Nom :
Groupe :
6.3
Date :
Manuel de l’élève, volume 2, p. 119
RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION TRIGONOMÉTRIQUE
À UNE VARIABLE
Il est possible de résoudre une inéquation trigonométrique à une variable, c’est-à-dire une
inéquation sinus, une inéquation cosinus ou une inéquation tangente, de la façon suivante.
Ex. : 1) Résoudre :
2 sin
␲
1. Substituer
un symbole
d’égalité
au symbole
d’inégalité
de
l’inéquation.
2 sin
␲
2. Résoudre
l’équation.
2 sin
␲
␲
4
␲
4
4
(x ⫹ 1) ⫽
(x ⫹ 1) ⫽
x⫽
3. Déduire
l’ensemblesolution à
l’aide du
symbole
d’inégalité
de
l’inéquation.
4
4
(x ⫹ 1) ⫺ 3 ⬍ 0
x⫽
冠
␲
冠
␲
(x ⫹ 1) ⫺ 3 ⫽ 0
3 tan 2 x ⫹
␲
3
1
3
冠
3
2
2x⫹
冠
⫹2n␲
␲
2
2x⫹
⫹ 8n
2
2
冡
冡⫹3⫽0
冡⫹3⫽0
冡 ⫽ arc tan ( 1)
–
␲
2
冡⫽
x⫽–
␲
8
3␲
4
⫹ n␲
n␲
2
⫹
2␲
⫹2n␲
3
5
⫹ 8n
3
⫹ 8n et x ⫽
- 19
3
-8
冠
3 tan 2 x ⫹
Puisque les équations obtenues sont
1
3
Déterminer sur quels intervalles la
␲
fonction f(x) ⫽ 3 tan 2 x ⫹
⫹3
2
est positive.
(x ⫹ 1) ⫺ 3 ⫽ 0
(x ⫹ 1) ⫽ arc sin
x⫽
␲
4
2)
5
3
⫹ 8n, on a :
5
3
1
y
3
1
x⫽–
␲
8
⫹
n␲
,
2
on a :
25
3
y
-␲
8
- 5␲
8
0
-4
Puisque l’équation obtenue est
4
8
x
4
7␲
8
3␲
8
2
-1
- 3␲
4
-␲
-2
-␲
2
-3
-␲
4 2
0
␲
␲
4
2
3␲
4
␲ x
-4
-4
L’ensemble-solution est :
…傼
冋
–
19 1
,
3 3
册傼冋
5 25
,
3 3
L’ensemble-solution est :
册傼冋
© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
29 49
,
3
3
册 傼…
…傼
冋
–
5␲ ␲
,–
8
4
冋 傼 冋 ␲ , ␲ 冋 傼 冋 ␲ , ␲ 冋 傼…
–
8
4
3
8
3
4
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