Correction d`exercices - Page de travail de F. Laroche

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Statistiques et probabilités : corrections
1
1 Statistiques et probabilités :
corrections
5.2. Exercices de base en statistiques
5.2.1. À la maternité
A la maternité = D’après Bac L, Pondichéry, avril 2001
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2001_04_Pondichery.pdf
5.2.2 La Rache qui Vit
D’après bac L, Amérique du Sud, novembre 2002 : corrigé
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2002_11_AmSud.pdf
5.2.3. ADN ?
D’après Bac L, Nouvelle Calédonie, novembre 2002
On considère les quatre lettres A, T, C, G. Dans cet exercice, on s’intéresse aux mots de trois lettres (mots
ayant un sens ou non) que l’on peut former avec ces lettres. Ainsi, les mots CAT, TTG et GAG conviennent.
1. a. Si on écrit tous les mots possibles, on a TAA, TAC, TAG, TCA, TCC, TCG, TGA, TGC, TGG, TTA,
TTC, TTG, TTT.
En enlevant ceux où deux lettres sont identiques on a : TAC, TAG, TCA, TCG, TGA, TGC.
b. Pour la première lettre on a le choix entre 4, 3 pour la deuxième et 2 pour la troisième, soit 4 × 3 × 2 = 24 .
2. Il y a 4 choix par lettre c’est-à-dire 4 × 4 × 4 = 64 .
La probabilité d’avoir 3 lettres distinctes est
24 3
= = 0, 375 .
64 8
3. a. On tire au hasard un entier entre 1 et 4 : si on prend la fonction ALEA() des tableurs qui donne un
nombre de [ 0 ; 1 [ , il faudra utiliser la formule : =ENT(4*ALEA())+1.
b. Dans A1 à recopier sur A1 : D20 : =ENT(4*ALEA())+1.
Dans E1 à recopier sur E1 : H20 : =SI(A1=1;"A";SI(A1=2;"C";SI(A1=3;"G";"T")))
Dans I1 à recopier sur I1 : I20 : =CONCATENER(E3;F3;G3;H3)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
3
1
1
1 G
A
A
A
GAAA
2
2
1
1
1 C
A
A
A
CAAA
3
2
1
2
3 C
A
C
G
CACG
4
3
4
2
2 G
T
C
C
GTCC
5
4
4
3
2 T
T
G
C
TTGC
6
2
1
1
1 C
A
A
A
CAAA
7
2
2
3
1 C
C
G
A
CCGA
8
4
3
2
3 T
G
C
G
TGCG
9
2
2
2
1 C
C
C
A
CCCA
10
1
4
4
3 A
T
T
G
ATTG
11
3
1
3
3 G
A
G
G
GAGG
1
http://laroche.lycee.free.fr
2
12
1
3
4
4 A
G
T
T
AGTT
13
3
4
2
3 G
T
C
G
GTCG
14
3
2
1
3 G
C
A
G
GCAG
15
1
3
4
2 A
G
T
C
AGTC
16
1
4
3
4 A
T
G
T
ATGT
17
4
2
4
4 T
C
T
T
TCTT
18
1
3
2
4 A
G
C
T
AGCT
19
1
1
4
3 A
A
T
G
AATG
20
3
2
2
1 G
C
C
A
GCCA
Pour compter le nombre de fois où on a 3 lettres différentes de manière automatique on peut utiliser les
fonctions logiques OU, ET, NON.
5.2.5. Nouveaux-nés
D’après Bac L, France, juin 2003
1. a.
48 + 50, 5 + 51, 5 + 50 + 52, 5 + 50 + 49 + 53 + 50
= 50, 5 .
9
b. 50 % de 9 = 4,5, soit la 5ème valeur par ordre croissant ; la médiane est 50.
2. a.
46 × 1 + 47, 5 × 2 + 48 × 3 + ...
≈ 49, 99 ≈ 50 .
57
b. 50 % de 57 = 28,5 ; on prend la 29ème mesure par ordre croissant, soit environ 50.
c. Il y a 16 nouveaux-nés d’une taille inférieure ou égale à 49 cm, soit
16
× 100 ≈ 28,1 % .
57
d. On détermine ici le troisième quartile : 75 % de 57 = 42,75, ce qui correspond à une taille d’environ 50,7.
e. Voir ci-dessous.
3. a.
Beaux-jours
Bon accueil
cm
44
46
48
50
52
54
56
58
60
b. Les tailles des nouveaux-nés semblent globalement plus petites à Bon accueil (50 % de plus petits) ; on peut
penser que le service de prématurés est dans cette clinique.
c. Il y a 57 nouveaux-nés de taille moyenne 50 cm à Beaux jours et 64 nouveaux-nés de taille moyenne 49,3 à
57 × 50 + 64 × 49, 3
Bon accueil, la moyenne est alors :
≈ 49,6 .
57 + 64
2
Pour la médiane ça ne marche pas car l’effectif moyen est
3
57 + 64
= 60, 5 et on ne peut amalgamer les deux
2
séries.
5.2.6. Plus âgés
D’après Bac L, Liban, juin 2003 (exercice 2)
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2003_06_Liban.pdf
5.2.7. Le cœur a ses raisons
D’après Bac L, Amérique du Sud, novembre 2003 (exercice 2)
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2003_11_AmSud.pdf
5.2.8. Mickey’s Labyrinth
D’après Bac L, Liban, juin 2004 (exercice 1)
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2004_06_Liban.pdf
5.3. Exercices de base en probabilités
5.3.1. Boules
Il y a 6 boules : appelons les boules tirées U et V. On a 6 manières de tirer U puis 5 manières de tirer V, soit 30
tirages possibles, mais quand on regarde ce qu’on a dans la main, on a aussi bien UV que VU ; il y a donc 15
tirages possibles (par exemple tirer B1, V3 est identique à tirer V3, B1.)
A : On doit tirer R1 et R2, soit 1 tirage possible et donc 1 chance sur 15.
B : On doit tirer BR ( 1 × 2 tirages) ou BV ( 1 × 3 tirages) ou RV ( 2 × 3 tirages), soit un total de 11 tirages et
une probabilité de 11/15.
C : C’est RB, RV, ou RR, soit 2+6+1=9, soit 9/15.
D : C’est VR, VB ou VV (
3×2
= 3 tirages possibles), soit 6+3+3=12 et la probabilité = 12/15=4/5.
2
E : On peut avoir V1R1, V1R2, V2B1, V2R1, V2R2, V2R3, V3B1, V3R1, V3R2, V3R3, soit 10/15=2/3.
F : On utilise la formule P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) : P ( 1 R ) =
2×4
3×3
, P ( num 1 ) =
(1
15
15
numéro 1 parmi 3 et une numro 2 ou 3 parmi 3), soit
P( A∪ B) =
8
9
13
+
− P ( R1V 2, R1V 3, R2V 1, R2 B1 ) =
.
15 15
15
5.3.2. Dans une urne
1.
A : « X est divisible par 5 » : il y a 200 boules divisibles par 5, de 0 à 995=199 × 5 tous les 5.
B : « X se termine par 0 » : il y a 100 boules divisibles par 10, de 0 à 990=99 × 10 tous les 10.
C : « X est multiple de 2 » : il y a 500 boules divisibles par 2, de 0 à 999=499 × 2 tous les 2.
D : « X est divisible par 3 » : il y a 334 boules divisibles par 3, de 0 à 999=333 × 3 tous les 3.
2.
P( A ∩C) = P( B) =
100
= 0,1 ;
1000
P ( A ∪ C ) =P ( A ) + P ( C ) − P ( A ∩ C ) =
200
500
100
600
+
−
=
= 0, 6 ;
1000 1000 1000 1000
3
4
34
100 + 334 − 34
, P ( B ∪ D )=
=0,4 ;
1000
1000
67
200 + 334 − 67
P ( A ∩ D )=
, P ( A ∪ D )=
=0,467 ;
1000
1000
500 + 334 − 167
P ( A ∩ B ) =P ( B ) , P ( C ∪ D )
= 0, 667.
1000
P ( B ∩ D )=
5.3.3. Dés - 1
On peut écrire tous les résultats et compter…
1
2
3
4
5
6
1
11
12
13
14
15
16
2
21
22
23
24
25
26
3
31
32
33
34
35
36
4
41
42
43
44
45
46
5
51
52
53
54
55
56
6
61
62
63
64
65
66
1. A : « Obtenir exactement un 1 ». P ( A ) =
B : « Obtenir aucun 1 ». P ( B ) =
10 5
=
.
36 18
25
.
36
C : « Obtenir au moins un 1 ». P ( C ) = 1 − P ( B ) =
11
.
36
D : « Obtenir au plus un 1 ». P ( D ) = 1 − P ( deux 1 ) =
E : « Obtenir deux nombres pairs ». P ( E ) =
35
.
36
9 1
= .
36 4
F : « Obtenir une somme supérieure ou égale à 8 ». P ( F ) =
15 5
=
.
36 12
2. L’événement E×F consiste à fabriquer des couples où le premier élément est dans E et le deuxième dans F,
9 × 15
par exemple ( 24, 56 ) ; il y a 9 éléments dans E, 15 dasn F, on a alors P ( E × F ) =
.
36 × 36
5.3.4. La loterie
1. P ( 1 G ) =
3
.
100
100 × 99
manières de choisir les deux billets parmi 100. Le contraire de « gagner au moins un lot »
2
97 × 96
c’est « gagner 0 lot », soit choisir les deux billets parmi les 97 perdants : il y a
manières de le faire.
2
2. Il y a
97 × 96
2
On a donc la probabilité : 1 −
≈ 0, 06 de gagner au moins un lot.
100 × 99
2
5.3.5. Dés - 2
Si on appelle X la variable aléatoire égale au résultat inscrit sur le dé, on a P ( X = 1 ) =
P ( X = 100 ) =
3
1
, P ( X = 10 ) = et
6
6
2
.
6
4
Son espérance est E ( X ) =
La variance est Var ( X ) =
5
3
1
2
213
× 1 + × 10 + × 100 =
.
6
6
6
6
2
3 2 1
2
 213 
× 1 + × 102 + × 1002 − 
 = 2090, 25 .
6
6
6
 6 
5.3.6. Dés - 3
1. Soit p la probabilité d’obtenir le 1 (ou le 3 ou le 5) et q celle d’avoir un 2 (ou le 4 ou le 6).
On a 3 p + 3 q = 1 et q =
2. E ( X ) = 1 ×
3
3
4
3
p , soit 3 p + 3 p = 1 ⇔ p =
et q =
.
4
4
21
21
4
3
4
3
4
3 72 24
+ 2×
+ 3×
+ 4×
+ 5×
+6×
=
=
.
21
21
21
21
21
21 21 7
5.3.7. Dés - 4
A : P( A)=
1 1 1 1 1
× × × =
.
6 6 6 6 64
B : P( B) =
6 5 4 3 360
× × × =
.
6 6 6 6 64
C : C est le contraire de B.
P : P( P ) =
6 6 6 3 1
× × × = .
6 6 6 6 2
I : Comme P.
E : Le dernier est impair, on a le choix entre 3, pour les autres c’est comme au B :
P( E) =
5 4 3 3 180
× × × =
.
6 6 6 6 64
F : P ( P ∪ B ) = P ( P ) + P ( B ) − P ( P ∩ B ) : il manque P ∩ B qui est l’événement « tirer un nombre pair
formé de 4 chiffres distincts », c’est la même probabilité que E.
5.3.8. Dés - 5
X
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
2
3
4
5
6
3
3
3
3
4
5
6
4
4
4
4
4
5
6
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
On a donc la loi de X :
X
1
2
3
4
5
6
PX
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
2. E ( X ) = 4, 472 , σ ( X ) = 1, 404 .
5.3.9. Chemises
1. La chemise bleue peut aller dans 4 tiroirs, de même pour les deux autres, on a 43=64 rangements possibles.
Un rangement peut s’écrire par exemple bba (Bleue dans b, Blanche dans b, Rouge dans a).
2. A : rangement aaa, soit 1/64.
5
6
M : Toutes les chemises sont dans a ou dans b ou dans c ou dans d : 4/64.
V0 : Les trois lettres du rangement sont à prendre dans {a, d}, soit 23/64=1/8.
V1 : Sur les rangements précédents on enlève aaa et ddd, soit 6/64.
3. V désigne la variable aléatoire qui à une répartition associe le nombre de tiroirs vides. Quelle est la loi de
probabilité de V ?
3 vides : toutes les chemises sont dans un même tiroir, soit 4/64 ;
2 vides : événement V1, soit 6/64 ;
1 vide : événement V0 , soit 8/64 ;
0 vide : le reste, soit (64–18)/64=46/64.
4. Espérance : (12+12+8+0)/64=0,5. Grosso-modo un coup sur 2 on a 0 tiroir vide, 1 coup sur 2 on en a 1.
5.3.10. Mots
Il y a 12! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 dispositions possibles.
1. a. On a indiqué les nombre de choix possibles pour chaque case :
soit une probabilité de
8
7
6
5
A
I
D
E
4
3
2
1
8 × 7 × ... × 1
1
=
.
12!
12 × 11 × 10 × 9
b. On a indiqué les nombre de choix possibles pour chaque case :
soit une probabilité de
B
6
5
4
A
I
D
E
C
3
2
1
6 × 5 × ... × 1
1
.
=
12!
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7
2. Soit X le nombre de A obtenus sur cette première ligne.
À chaque tirage on a la probabilité 1/12 d’avoir un A et 11/12 de ne pas en avoir.
On peut alors avoir 0, 1, 2, 3 ou 4 A.
Voilà toutes les dispositions possibles : ( A signifie qu’on n’a pas A)
tirage
AAAA
AAA A , AA A A,
A A AA, A AAA
v.a. X
probabilité
4
4
 1 


 12 
3
 1   11 
4
 

 12   12 
3
tirage
AA A A , A A A A ,
A AA A , A A A A,
A A A A, A A AA
AA A A, AAA A,
A AAA, A A AA
A A A A
v.a. X
probabilité
2
2
1
3
2
 1   11 
6
 

 12   12 
1
 1   11 
4
 

 12   12 
0
 11 


 12 
4
E ( X ) = 0, 33 .
5.3.11. Fléchettes
1. La probabilité que le joueur atteigne la région i est inversement proportionnelle à i : P ( i ) =
k
; par
i
ailleurs on a la somme
6
P ( 1 ) + P ( 2 ) + P ( 5 ) + P ( 10 ) = 0, 6 ⇔
P(i) =
k k k k
 18
+ + +
= 0, 6 ⇔ k 
1 2 5 10
 10
7
10 6 1

=
= .
 = 0, 6 ⇔ k = 0, 6
18 18 3

1
.
3i
2.
X
0
1
2
5
10
PX
4
10
1
3
1
6
1
15
1
30
E( X ) =
4
.
3
3.
Y
0
PY
 4 


 10 
Y
5
2×
PY
Y
0
1
2
5
10
0
0
1
2
5
10
1
1
2
3
6
11
2
2
3
4
7
12
5
5
6
7
10
15
10
10
11
12
15
20
1
2
1
2 
3
2×
2
4
1
×
10 15
2×
2
2×
2×
7
1 1
×
3 15
2×
15
1 1
×
6 30
3
4 1
1
  +2 ×
10 6
3
6
12
PY
2
4
1 1
×
3 6
1
 
6
10
2
1 1
×
6 15
2
11
4
1
 1 

 +2 ×
10 30
 15 
2×
4
1
×
10 30
20
1
1
×
15 30
 1 


 30 
2
Normalement l’espérance vaut 4/3+4/3=8/3…
4. Pour avoir au moins 25 points le joueur doit marquer (dans un ordre quelconque) 10, 10, 5 (3 possibilités :
2
3
1  1 
 1 
5,10,10 ; 10,5,10 ; 10,10,5) ou 10, 10, 10, soit 3 
+
 ×
 .
30
15


 30 
5. Laissé au lecteur… repartir avec
(
)
(
)
(
P ( 1 ) = k π × 42 − π × 32 , P ( 2 ) = k π × 32 − π × 22 , P ( 5 ) = k π × 22 − π × 12
5.3.12. Billes
) et P ( 10 ) = k ( π × 1 ) .
2
C
1.
A
E
D
B
7
8
2. P ( ABD ) =
1 1 1 1
× × =
.
3 3 2 18
3. P ( ABE ) =
1
1 1 1
1
1 1 1
1
1
1
, P ( AD ) = × = , P ( AE ) = , P ( BD ) = × = , P ( BE ) = , P ( CE ) = × 1 = .
18
3 3 9
9
3 2 6
6
3
3
4.
Trajet
Points
Proba
ABD
7
1/18
ABE
8
1/18
AD
5
2/18
AE
6
2/18
BD
6
3/18
BE
7
3/18
CE
8
6/18
Espérance = 100/18, environ 5.
5.3.13. Urnes et dés
U1 = trois blanches et une noire, U2 = une blanche et deux noires.
3/4
B
1, 2
1/3
1/4
1/3
2/3
N
B
3, …,6
2/3
Probabilité de tirer une boule blanche :
N
1 3 2 1 9 + 8 17
× + × =
=
.
3 4 3 3
36
36
5.3.14. Dominos
1. Dominos possibles :
00
01
02
03
04
05
06
07
11
12
13
14
15
16
17
22
23
24
25
26
27
33
34
35
36
37
44
45
46
47
55
56
57
66
67
77
2. On tire au hasard un domino.
8
9
a. Y’a qu’à compter : il y en a 10 et la probabilité est 10/36.
b. 20/36.
36 × 35
choix possibles des 2 dominos (et non 36 × 35 …). Pour avoir un double il faut choisir un
2
parmi les 8 doubles, pour chaque chiffre il y a 7 possibilités (on ne compte pas le double correspondant), soit
8×7
16 × 7
4
=
=
au total
, l’élève a vu juste.
36 × 35 36 × 35 9 × 5
2
3. Il y a
5.3.16. Bandit manchot
1. Il y a 84=4096 résultats possibles.
E : on a le choix entre 8 fruits et 1 choix pour chaque roue, soit
8 ×1×1×1×1
1
=
.
4096
512
F : mettons que l’on ait les 3 fruits sur les 3 premières roues, on aura le choix entre 8 × 1 × 1 × 7 résultats ; par
ailleurs on peut positionner les 3 fruits identiques de 4 manières différentes : FFFX, FFXF, FXFF et XFFF. Au
8×7
7
final ça donne 4 ×
=
.
4096 128
G : il faut tirer parmi les 8 × 7 × 6 × 5 dispositions, soit
8 × 7 × 6 × 5 105
=
.
4096
256
2.
Gain X
49
4
0
Probabilité
1
512
7
28
=
128 512
105 210
=
256 512
–1
le reste, soit
273
512
−112
≈ −0, 22 : on perd en moyenne 22 cents par euro joué ! C’est super intéressant pour
512
l’organisateur…
E( X ) =
3. À vous de jouer…
5.4. Exercices intermédiaires
5.4.1. Quel dé choisir ?
1. La probabilité que le résultat obtenu avec le dé Bleu soit supérieur à celui obtenu avec le dé Rouge est la
probabilité de tirer 8 avec le Bleu, soit 2/6.
2. La probabilité que le résultat obtenu avec le Bleu soit supérieur à celui obtenu avec le dé Vert est la
4 2 2 4 2 2 20 5
probabilité de tirer (2 ; 0) ou (8 ; 0) ou (8 ; 6), soit × + × + × =
= .
6 6 6 6 6 6 36 9
3. a. Si je choisis Rouge, il choisit Vert (4/6 de gagner), si je choisis Bleu, il choisit Rouge (4/6 de gagner) et si
je choisis Vert il choisit Bleu (5/9).
b. Qaund on a 2/3 de perdre, l’espérance de gain est −1 ×
2
1
0, 5
+ 1, 5 × = −
; quand on a 5/9 de perdre,
3
3
3
5
4 −5 + 6 1
+ 1, 5 × =
= : le jeu n’est pas favorable au joueur s’il joue Rouge ou Bleu, un petit peu s’il
9
9
9
9
joue Vert.
−1 ×
Si on considère qu’il choisit au hasard un dé, on a la probabilité de gagner :
espérance de gain de −1 ×
1 1 1 1 1 4 10
× + × + × =
et une
3 3 3 3 3 9 27
17
10 −17 + 15
2
+ 1, 5 ×
=
=−
.
27
27
27
27
4. Le jeu est modifié de la façon suivante : le dé Vert vous est attribué et le maître du jeu tire au hasard l’un
des deux dés restants.
9
10
S’il tire le Rouge il a 1/3 de gagner, s’il tire le Bleu, il a 5/9 de gagner, donc au final :
1 1 1 5 8 4
× + × =
= .
2 3 2 9 18 9
Vous avez plus de chances de gagner.
5.4.2. The Teacher and the Students
1. P ( E ) = 0,7 × 0, 5 = 0, 35 ;
Bon en
anglais
0,35
P ( F ) = 0, 3 × 0,8 = 0, 24 ;
P ( G ) = 0,7 × 0, 5 + 0, 3 × 0,8 = 0, 59 .
0,5
Faible
Visuel
0,35
0,5
0,7
Auditif
Bon
0,3
0,8
0,24
3. Sur un groupe ordonné de 10, on a 2 bons en
anglais aux deux premières places avec la
probabilité :
( 0, 59 )2 × ( 1 − 0, 59 )8 .
On peut choisir les 2 places parmi 10 de
10 × 9
= 45 mnières différentes : la probabilité
2
cherchée est donc
Faible
0,2
2. Il faut compter les visuels parmi les bons en
0,7 × 0, 5 35
anglais :
=
.
0, 59
59
0,06
45 × ( 0, 59 ) × ( 1 − 0, 59 ) ≈ 0, 013 .
2
8
5.4.3. Anniversaires
Prenons les personnes les unes après les autres : la première est née un des jours de la semaine, il y a 7 choix
possibles et la probabilité 1 qu’elle soit née… La suivante est née un jour différent, probabilité 6/7 ; la 3ème 5/7,
7 × 6 × 5 × 4 × 3× 2×1
etc. Au final on a la probabilité
= p qu’aucune des 7 personnes ne soient nées un même
77
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
jour et donc 1 −
= 1 − p qu’au moins 2 le soient.
77
Si X est la v.a. égale au gain du prfesseur Laplace, il a X = −100 avec la probabilité 1 − p et X = 1 avec la
probabilité p. Faites le calcul…
5.4.4. Le temps en Océasifrique
1.
S
a. mardi sec : 1 × 0,8 × 0,8 = 0,64 ;
0,8
b. mercredi humide :
S
p
0,2
P ( SL SM H m ) + P ( SL H M H m
)
+P ( H L SM H m ) + P ( H L H M H m )
H
= 0,8 × 0,8 × 0,2 + 0,8 × 0,2 × 0,6
+0,2 × 0,4 × 0,2 + 0,2 × 0,6 × 0,6.
0,4
1–p
S
c. jeudi sec… à vous !
d.
toute
la
semaine
prochaine
P ( SL SM Sm S J SV SS SD ) = 0,8 ≈ 0, 21 .
H
sèche :
7
0,6
H
2. a. Il fait sec au jour n et sec le jour suivant ou il fait humide le jour n et sec le jour suivant :
sn+1 = sn × 0,8 + ( 1 − sn ) × 0,4 = 0,4 sn + 0,4 .
10
11
Données
s1 , N
S’il fait sec le 1er jour on aura
s1 = 1 .
Calcul
0 → n, s1 → S
Attention au risque d’overflow…
sinon on peut tester si S tend vers
une limite…
Tant que n < N faire
0,4S + 0,4 → S
n+1 → n
Afficher « le jour », n, « il fait sec avec la probabilité
S », S
Fin tant que
n, S
Sortie
b. Lorsque n devient grand on voit que sn tend vers 0,6667=2/3…
5.4.7. Boîtes et boules
Une boîte contient 6 boules vertes et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer simultanément deux boules de
la boîte. Si les deux boules sont de même couleur, le joueur gagne 1 €, si elles sont de couleurs différentes, le
joueur perd 1 €.
1. n = 3. Il y a
9×8
tirages possibles.
2
6×5
3×2
15
5
3
1
5+1 1
=
, P ( 2B ) = 2 =
=
; au total
= .
a. Deux boules de même couleur : P ( 2V ) = 2 =
36
36 12
36
36 12
12
2
b. Complémentaire du précédent :
1
.
2
2. X le gain algébrique du joueur.
a. P ( X = 1 ) = P ( 2V ) + P ( 2 B ) =
P ( X = −1 ) = 1 − P ( X = 1 ) = 1 −
b. E ( X ) = 1 ×
15 +
n( n − 1 )
30 + n2 − n
2
;
=
( n + 6 )( n + 5 ) ( n + 6 )( n + 5 )
2
30 + n2 − n
n2 + 11n + 30 − 30 − n2 + n
12n
=
=
.
( n + 6 )( n + 5 )
( n + 6 )( n + 5 )
( n + 6 )( n + 5 )
30 + n2 − n
12n
30 + n2 − 13n
− 1×
=
.
( n + 6 )( n + 5 )
( n + 6 )( n + 5 ) ( n + 6 )( n + 5 )
c. n2 − 13n + 30 = 0 pour n = 10 ou n = 3 ; le dénominateur est positif, pour avoir E(X)<0 il faut que n soit
entre 3 et 10, soit 4, 5, …, 9.
d. Soit la fonction f ( x ) =
f '( x ) =
x2 − 13 x + 30
, sa dérivée est
( x + 6 )( x + 5 )
( 2 x − 13 )( x + 6 )( x + 5 ) − ( x2 − 13 x + 30 ) ( 2 x + 11 )
 ( x + 6 )( x + 5 ) 
2
= ... =
(
24 x2 − 30
)
 ( x + 6 )( x + 5 ) 
2
On voit que f a un minimum en x = 30 , soit pour n = 5 (–0,091) ou n = 6 (même résultat).
11
12
5.4.8. La face cachée du dé
3 3 9
1 3 3 1 6
× =
, P ( E1 ) = × + × =
,
4 4 16
4 4 4 4 16
1 1 1
P ( E2 ) = × =
.
4 4 16
1. P ( E0 ) =
2. b. P ( G ) =
Nombre de faces
A, 2e lancer
Nombre de faces
A, 1er lancer
9 1
6 1 1 9 + 24 + 16
49
× + × +
=
=
.
16 16 16 4 16
256
256
0
9
16
49
ou 0 avec probabilité
256
6 3 9 6 72 + 54 126
81
× + ×
=
=
ou –5 avec probabilité
.
16 4 16 16
256
256
256
49
81 −160
Espérance de gain = 5 ×
− 5×
=
; pas très
256
256 256
intéressant… pour le joueur.
c. Gain = 10–5=5 avec probabilité
0
9
16
1
16
1
16
6
16
1
6
16
1
3
4
1
4
2
0
1
2
12

Correction d`exercices - Page de travail de F. Laroche

Transcription

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