Mécanique du point

Année universitaire 2005/2006
PING2, Séries A & B, SPC/PREP, CHI
Mécanique du point
Devoir surveillé du Samedi 18 Mars 2006
Durée : 1h20 — Documents et calculatrices interdits.
Document annexe (pages 3 et 4) à remettre avec votre copie.
QUESTIONS DE COURS (6 points)
On définira clairement toute quantité introduite, scalaire et vectorielle.
1. Enoncez les 3 principes de Newton établissant les lois du mouvement.
2. Rappelez l’expression des composantes polaires aρ et aφ de l’accélération ~a d’un point
matériel de masse m situé en P de coordonnées polaires (ρ, φ). En déduire l’expression
générale des composantes radiale Fρ et orthoradiale Fφ de la force totale F~ qui s’exerce
sur lui.
3. Montrez que si la quantité ρ2 φ̇ est indépendante du temps, alors l’une des composantes
de F~ s’annule. En déduire que la direction de la force contient un point fixe du plan que
l’on précisera.
PROBLÈME (14 points)
Les deux parties sont relativement indépendantes.
Trois points de bonus (au plus) seront attribués pour les deux questions particulièrement
difficiles marquées du symbole F .
Soit un repère cartésien à deux dimensions (O,x,y) muni d’une base (~ex ,~ey ).
On s’intéresse au mouvement plan du véhicule d’un manège pouvant se déplacer sur un rail
grâce à un système d’entrainement à courroie situé sous lui. Le centre de gravité du véhicule
est noté G(x, y) et sa masse est m. Sur une certaine portion G1 G3 du circuit, le mouvement de
G est décrit par les équations paramétriques du temps t > 0 suivantes :
(
x(t) = αt
y(t) = β(t − t0 )2
où α, β et t0 sont des constantes strictement positives. Ce mouvement est limité à l’intervalle
de temps [ t20 , 2t0 ] correspondant au passage du centre de gravité de G1 à G3 .
Partie 1 (7 points)
1. Déterminez les coordonnées de G aux instants t20 , t0 et 2t0 . Portez sur le graphique vierge
donné en annexe les trois positions correspondantes notées respectivement G1 , G2 et G3
(on ne modifiera pas l’échelle proposée).
2. Trouvez l’équation cartésienne y(x) de la trajectoire Γ. Dessinez précisément cette trajectoire sur le graphique.
3. Déterminez les composantes cartésiennes de la vitesse ~v et de l’accélération ~a du point
matériel. En déduire la nature du mouvement.
4. On munit Γ d’une abscisse curvilive s(t) dont l’origine est prise au point G1 . Montrez,
grâce à un changement de variable approprié, que la distance totale parcourue sur la
portion de rail considérée peut se mettre sous la forme :
Z 1 √
1 + Cu2 du
s(2t0 ) = αt0
− 21
où l’on explicitera la constante C (on ne cherchera pas à calculer s(2t 0 )).
5.F Trouvez une valeur approchée de s(2t0 ) dans les deux cas suivants: i) C 1 et ii) C 1.
Discutez les résultats obtenus.
Partie 2 (7 points)
Dans cette seconde partie, on se propose de caractériser les forces qui agissent sur le
~ du support, la
véhicule et que l’on supposera au nombre de trois: la réaction normale N
~ tangentielle du véhicule par la courroie, et le poids P~ = −mg~ey . Les
force d’entrainement E
quatres roues du véhicule tournent librement sans occasionner de frottements.
~ en fonction des forces en présence d’une part, et en fonction
6. Exprimez la résultante R
de m et β d’autre part. Portez qualitativement sur le dessin donné en annexe ces forces,
~ (on reportera ces forces au niveau du centre de gravité G du
notamment la résultante R
véhicule).
7. Déterminez les composantes cartésiennes du vecteur unitaire ~et tangent à Γ en tout point
et dirigé dans le sens du mouvement (on pourra s’inspirer des résultats de la question 3
de la Partie 1). En déduire les composantes du vecteur unitaire ~en normal à Γ, tel que
(~e[
en ) = + π2 . Reportez la base (~et , ~en ) de Sénet-Frénet sur le grahique en G2 .
t, ~
~ puis celles du poids.
8. Exprimez les composantes normale et tangentielle de R,
~ = E~et et N
~ = N~en . La réaction du support
9. Trouvez l’expression du module des forces E
peut-elle s’annuler ? Et la force d’entrainement ? (on précisera éventuellement à quel(s)
endroit(s) sur Γ).
F
10. La construction du rail doit être soigneusement étudiée selon la réaction que celui-ci doit
développer au passage du véhicule. Précisez s’il est un endroit où le rail doit être renforcé.
2
Année universitaire 2005/2006
PING2, Séries A & B, SPC/PREP, CHI
Mécanique du point
Devoir surveillé du Samedi 18 Mars 2006
Durée : 1h20 — Documents et calculatrices interdits.
Document à remettre avec votre copie.
NOM
PRÉNOM
SÉRIE
GROUPE
1,25
1
y/βt0
2
0,75
0,5
0,25
0
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
x/αt0
3
1,5
1,75
2
2,25
2,5
Γ
ey
G
ex
V
rail
4