Modélisation des taux d`intérêt (I)

Transcription

Modélisation des taux d’intérêt - partie I
Modélisation des taux d’intérêt (I)
C. Azizieh
ULB
2014-2015
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C. Azizieh ULB
Table des matières
1
Généralités sur les taux d’intérêt - valorisation de produits
linéaires
Modèle général d’arbitrage
Modèle de Vasicek
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Généralités sur les taux d’intérêt - valorisation de produits linéaires
Modèle de Vasicek
Définitions
On appelle zéro-coupon (ZC) de maturité T un titre versant une
unité monétaire à la date T, sans aucun flux monétaire avant
cette maturité.
On supposera que pour tout T, il existe un zéro-coupon de
maturité T (ce n’est évidemment pas le cas dans la réalité...cf.
généralités sur le marché des taux d’intérêt)
On notera P(t, T ) le prix à la date t d’un ZC de maturité T. Il est
clair que P(T , T ) = 1.
Le taux zero-coupon (spot) à la date t pour la maturité T , est
noté Y (t, T ), et est défini par :
P(t, T ) = e−Y (t,T )(T −t)
(“spot” par opposition à “forward”)
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Modèle de Vasicek
Définitions
Le taux court (“short rate”) en t est défini comme :
rt =
lim
T →t,T >t
Y (t, T )
La courbe des taux zero-coupon (spot) à l’instant t est la
fonction appliquant chaque maturité T sur le taux (spot) Y (t, T )
Cela nous donne le taux en fonction de la maturité de l’emprunt
(donc la valeur temps de l’argent)
C’est équivalent à se donner la fonction T 7→ P(t, T )
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Modèle de Vasicek
Courbe des taux spot
Illustration courbe des taux spot (gouvernementale zone Euro, AAA)
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Taux spot et taux forward
Contrat spot (ou au comptant) : contrat prévoyant un réglement
et une livraison immédiats (+ 2 jours ouvrables en réalité)
Contrat forward (ou à terme) : contrat (non standardisé) entre 2
contreparties prévoyant l’achat d’un actif à un prix déterminé
mais où le payement de ce prix et la livraison de l’actif est prévue
à une date future déterminée
Pas de payement du prix forward ni de livraison de l’actif au
moment de la conclusion du contrat
Les contrats forward permettent de garantir par ex :
Le prix que l’on devra payer pour une transaction future
Le taux que l’on devra payer pour un emprunt futur
Le taux de change concernant une transaction future
Le prix auquel on devra acheter (ou vendre) une matière première
(ex : blé)
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Modèle de Vasicek
Taux spot et taux forward
L’acheteur est dit avoir une position longue, le vendeur une
position courte
On fait une distinction entre :
Contrat forward : contrat OTC, non négociable sur un marché
organisé
Contrat future : constrat standardisé, négocié dans des bourses
spécialisées (futures sur commodities, taux d’intérêt...)
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Modèle de Vasicek
Taux spot et taux forward : FRA
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Modèle de Vasicek
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Modèle de Vasicek
Question : que vaut K ?
La valeur du FRA en S est égale à : (K − L(T , S)).(S − T )
Cette valeur en S peut se réécrire en faisant intervenir le prix du
zero-coupon P(T , S) :
K (S − T ) −
1
+1
P(T , S)
Quelle est la valeur à l’instant t de ce contrat ?
Le premier et le troisième terme sont des constantes, donc leur
prix en t est :
K (S − T )P(t, S) + P(t, S)
Le second terme, 1/P(T , S), est inconnu en t, mais apparait
comme la valeur capitalisée en S d’une unité monétaire investie au
taux sans risque à l’instant T jusqu’en S
Ce terme correspond donc au payoff en S d’un portefeuille de 1
unité monétaire disponible à l’instant T
La valeur en t d’un tel portefeuille est P(t, T )
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Modèle de Vasicek
La valeur totale du FRA en t est donc égale à la somme des
valeurs en t des 3 termes :
FRA(t) = K (S − T )P(t, S) − P(t, T ) + P(t, S)
Il existe un unique taux fixe K tel que la valeur du FRA soit nulle
en 0, càd telle que le contrat soit équilibré à la conclusion :
1
P(t, T )
P(t, T ) − P(t, S)
=
−1
K =
(S − T )P(t, S)
S − T P(t, S)
Cet unique taux équilibrant le contrat est appelé le taux (de
type) Libor forward en t pour l’expiration T et la maturité S,
et sera noté F (t, T , S).
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Modèle de Vasicek
Taux spot et taux forward : taux Libor forward
Le taux forward F (t, T , S) peut être vu comme une estimation en
t du taux spot futur L(T , S), inconnu en t, basé sur les conditions
du marché à l’instant t
Le taux (de type) Libor forward est défini comme un taux simple
(i.e. non composé), tout comme le taux Libor spot (voir + loin)
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Modèle de Vasicek
Valorisation du FRA après conclusion :
Une fois que le contrat forward a été conclu, en général il n’est
plus équilibré
Pour valoriser le FRA après sa conclusion, il suffit de remplacer
le taux Libor futur L(T , S) dans le payoff en S par le taux forward
correspondant F (t, T , S), et d’actualiser le tout
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Modèle de Vasicek
En effet, par le même raisonnement que plus haut, sa valeur en
t 0 > t est égale à :
FRA(t 0 )
= K (S − T )P(t 0 , S) − P(t 0 , T ) + P(t 0 , S)
= K (S − T )P(t 0 , S) − F (t 0 , T , S)(S − T )P(t 0 , S)
=
(K − F (t 0 , T , S))(S − T )P(t 0 , S)
On a utilisé ci-dessus l’expression du taux Libor forward
F (t 0 , T , S) en fonction de P(t 0 , S) et P(t 0 , T ).
Cette dernière expression est à comparer au payoff en S :
(K − L(T , S))(S − T )
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Modèle de Vasicek
Zero-coupon forward
Un zero-coupon forward d’expiration T et maturité S > T est un
contrat forward conclu en t < T , délivrant 1 unité en S pour un
prix payé en T mais fixé en t.
On notera P f (t; T , S) le prix payé en T (mais fixé en t).
u
P f (t, T , S)
u
1
u
t
T
S
-
On peut voir que le prix d’un zero-coupon forward en t,
d’expiration T et maturité S est :
P f (t; T , S) =
P(t, S)
P(t, T )
Démonstration : simple raisonnement d’A.O.A.
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Modèle de Vasicek
Zero-coupon forward
Démonstration :
Hypothèses :
Pas de couts de transaction, toutes les quantités sont infiniment
divisibles
Existence de zero-coupons pour toutes les maturités et à tous
les instants
Absence d’opportunité d’arbitrage
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Modèle de Vasicek
Zero-coupon forward
P(t,S)
Supposons par l’absurde que P f > P(t,T
. On considère alors la stratégie
)
suivante pour le vendeur du ZC forward :
En t : le vendeur emprunte jusqu’en T un montant P f .P(t, T ), qu’il
investit jusqu’en S au taux sans risque (i.e. il achète une quantité
)
N = P f P(t,T
zero-coupons de maturité S)
P(t,S)
En T : le vendeur reçoit de l’acheteur le prix forward P f pour le contrat
forward, ce qui lui permet de rembourser exactement le montant qu’il
avait emprunté en t
D’autre part, le vendeur possède N zero-coupons de maturité S.
Comme N > 1 par hypothèse, il peut délivrer comme prévu par le
contrat 1 zero-coupon à l’acheteur, exécutant ainsi le contrat forward.
Après ces opérations, il reste au vendeur N − 1 > 0 zero-coupons
d’expiration S
En S, le vendeur touche exactement N − 1 > 0 unités monétaires de
manière certaine. Il a donc réalisé une opportunité d’arbitrage
On peut appliquer le même genre de raisonnement si on suppose P f <
(exercice)
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P(t,S)
P(t,T )
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Modèle de Vasicek
Zero-coupon forward et taux Libor forward
Le taux Libor forward en t pour la période [T , S] était défini
comme le taux équilibrant le FRA :
1
1
1
P(t, T )
−1
=
−
1
F (t; T , S) =
f
P(t, S)
S−T
S−T
P (t; T , S)
→ lien entre ZC forward et taux forward
Cela peut se réécrire :
P f (t; T , S) =
1
1 + (S − T )F (t; T , S)
On voit donc que le taux Libor forward correspond au taux simple
associé au zero-coupon forward
Si on achète en T un ZC au prix forward fixé en t, le taux d’intérêt
simple obtenu effectivement dans l’opération est le taux forward
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Modèle de Vasicek
Taux forward continu et taux forward instantané
On peut définir le taux forward continu comme le taux de
rendement interne (continu) correspondant au contrat forward
d’expiration T conclu en t sur un ZC de maturité S
En d’autre terme, sur l’operation consistant à payer P t (t, T , S) en
T et à récupérer une unité monétaire en S :
P f (t; T , S) = e−Y
f
(t;T ,S)(S−T )
Le taux forward instantané est la limite du taux forward continu
lorsque S → T (zero-coupon forward correspondant à une
période de placement infiniment courte) :
f (t, T ) = lim Y f (t; T , S)
S→T
C’est donc le taux correspondant à un emprunt forward
commençant en T et de durée infinitésimale.
C’est en fait l’équivalent forward du taux court r (t), et en particulier
r (t) = f (t, t).
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Modèle de Vasicek
Lien taux forward instantané et prix d’un zero-coupon
On peut établir un lien entre f (t, u), u ≤ T et P(t, T ) :
f (t, T ) = lim Y f (t; T , S) = lim
S→T
= lim −
S→T
S→T
−lnP f (t, T , S)
S−T
ln P(t, T ) − ln P(t, S)
∂
=−
ln P(t, T )
S−T
∂T
⇒ P(t, T ) = e−
RT
t
f (t,u)du
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Courbe des taux spot et forward
Illustration courbe des taux spot (gouvernementale zone Euro, AAA)
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Modèle de Vasicek
Courbe des taux spot et forward
Illustration courbe des taux forward instantané
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Modèle de Vasicek
Swaps
Un swap de taux d’intérêt est un contrat entre deux contreparties
consistant à échanger des flux d’intérêt
A des dates régulières, fixées à l’avance
Calculés sur base d’un montant “notionnel”
Les swaps “vanille” consistent à échanger des flux d’intérêts
fixes contre des flottants, sur un montant notionnel constant,
sans aucun échange de capital (ni à la conclusion ni à la
maturité du contrat)
Le taux fixe, appelé “taux swap” ou “taux pair swap”, est fixé à la
conclusion de sorte que le contrat soit équilibré pour les deux
parties (comme le FRA)
Le marché des swaps est OTC (contrats directement entre
banques), créant différents marchés (selon le type de taux
flottant sous-jacent)
Valorisation et utilisation : Cf. specific slides
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Modèle de Vasicek
Modélisation des taux d’intérêt
On s’intéresse aux modèles développés dans le cadre de la
valorisation d’options.
Premier “modèle” : Black ’76
Adaptation directe du modèle de Black-Scholes dans le but de valoriser
des options de taux d’intérêt vanille (caps/floors et swaptions
européens)
Le modèle suppose que le taux d’intérêt sous-jacent de l’option est de
loi log-normale, comme pour le sous-jacent du modèle de Black-Scholes
Permet d’obtenir des formules analytiques pour les prix des caps et des
swaptions (cf. section : Introduction to interest rates options)
Pas vraiment un modèle de taux dans la mesure où seulement un taux
particulier est modélisé, et non l’entièreté de la courbe des taux
Modèle pas adapté à la valorisation d’options exotiques
→ développement d’autres modèles
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Modèle de Vasicek
Première génération de modèles : modèles de taux court (short
rate models) endogènes :
Le modèle est spécifié via la dynamique du taux court, le reste
de la courbe évoluant en fonction du taux court
Modélisation assez pratique : le prix (et la dynamique) des
zero-coupons peut se déduire à partir de la dynamique du taux
court
On spécifie en général directement le modèle sous la mesure
risque neutre, et pas de condition de non arbitrage à rajouter
(elle est implicitement utilisée pour obtenir le prix des produits
dérivés...)
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Modèle de Vasicek
Quelques exemples :
Le premier modèle de taux court ( et premier “vrai” modèle de
taux) est introduit par Vasicek en 1977
Modèle de Dothan (1978)
Modèle de Cox-Ingersoll-Ross (1985)
Cette première génération est formée de modèles dits “endogènes” :
la courbe des taux à l’instant initial est un output du modèles plutot
qu’un input
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Modèle de Vasicek
Seconde génération de modèles : modèles de taux court “exogènes”
La courbe des taux initiale, déterminée par la marché, apparait fait
partie des paramètres du modèles
En d’autres termes, ces modèles se calibrent parfaitement sur la courbe
des taux initiale du marché (courbe du modèle en t=0 = courbe du
marché en t=0)
Les autres paramètres du modèle, en nombre généralement réduit, se
calibrent typiquement sur un ensemble d’options de taux d’intérêt vanille
cotées dans le marché (typiquement swaptions, parfois caps et floors,
dépendant du contexte de modélisation)
Modèle de Hull-White (ou de Vasicek étendu - 1990)
Modèle de Black-Karasinski
Modèle CIR étendu (CIR++, CIR2++ etc)
Tous ces modèles peuvent se voir dans le cadre général
Heath-Jarrow-Morton
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Modèle de Vasicek
Troisième génération de modèles : les modèles de marché (market
models)
Ces modèles sont développés afin de faciliter la calibration sur les
options vanilles : le modèle n’est plus spécifié par la dynamique du taux
court mais de celle des taux de référence des options vanilles : les taux
de type Libor (Libor Market Models)
Version également pour les taux swaps forward (Swap Market Models)
Ils s’inspirent de Black ’76 mais sont bien des “vrais” modèles de taux
(on peut déduire la dynamique de l’entièreté de la courde des taux)
Permettent une calibration parfaite sur la courbe des taux initiale ET sur
un ensemble de caps ou de swaptions
La calibration intègre en général également les dépendances entre les
différents taux Libor forward
Beaucoup de formulations du LMM
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Modèle de Vasicek
Quelques propriétés requises ou questions importantes à se poser
avant de choisir un modèle (1/2) :
Retour à la moyenne (mean reversion) : la valeur moyenne du
taux court tend vers une certaine valeur, sans explosion de la
variance (ceci est le cas de tous les modèles utilisés)
Positivité des taux d’intérêt
pas nécessairement gênant en valorisation d’options. Par ailleurs,
on observe pour certaines monnaires des taux négatifs. Pas
rédhibitoire, donc.
Beaucoup de modèles ont des taux négatifs (Vasicek, Hull-White,
CIR++, certaines versions du LMM (avec displaced diffusion))
Possibilité de se calibrer parfaitement sur la courbe des taux
initiale. Minimum requis pour les modèles de valorisation d’option
à l’heure actuelle
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Modèle de Vasicek
Quelques propriétés requises ou questions importantes à se poser
avant de choisir un modèle (2/2) :
Facilité de calibration sur le marché
Formules analytique pour les prix des zero-coupons : pas le cas de
Black-Karasinski par exemple.
Formules analytiques pour les options vanilles (caps et
swaptions) : pas le cas de CIR2++ par exemple, ni du LMM pour
les swaptions. On passe alors par des approximations.
Forme de la surface de volatilité
Facilité à effectuer des simulations de Monte-Carlo ? (options
path-dependent, ou Europennes complexes)
Facilité à construire des arbres ? (pour les options non
Européennes, à exercice de date incertaine : Bermude,
Américaines, etc)
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Modèle de Vasicek
On va modéliser l’évolution dans le temps des prix des
zero-coupons :
{P(t, s, ω) : t ≤ s; ω ∈ Ω}
Tous les taux sont alors stochastiques :
Z s
f (t, u, ω)du
P(t, s, ω) = exp −
t
r (t, ω) = lim Y (t, t + ∆t, ω)
∆t→0
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Modèle de Vasicek
Un première catégorie de modèles sont les modèles de taux court, à
une variable d’état.
Hypothèses :
1
Le processus stochastique du taux court est solution d’une
équation différentielle stochastique :
dr (t) = f (t, r (t))dt + ρ(t, r (t))dW (t)
où W est un M.B. standard
2
L’ensemble des zero-coupons est supposé engendré par le
processus du taux court :
P(t, s, ω) = P(t, s, r (t, ω)) = P(t, s, r )
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Modèle de Vasicek
Le processus P est solution d’une EDS (appliquer la formule d’Itô,
avec s supposé fixé) :
dP(t, s, r ) = P(t, s, r )µ(t, s, r )dt − P(t, s, r )σ(t, s, r )dW (t)
avec
1
µ(t, s, r ) =
P
∂P
∂P
1 ∂2P
+ f (t, r )
+
∂t
∂r
2 ∂r 2
1
∂P
σ(t, s, r ) = − ρ(t, r )
P
∂r
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Modèle de Vasicek
Raisonnement d’arbitrage :
On achète x obligations d’échéance s (placement, prêt)
On émet x ∗ obligations d’échéance s∗ (emprunt)
Le portefeuille ainsi constitué vaut :
V (t) = −x ∗ P(t, s∗ ) + xP(t, s)
Supposons que V est auto-financé et appliquons la formule d’Itô
(à s, s∗ supposés fixés) :
dV (t)
= −x ∗ dP(t, s∗ , r ) + xdP(t, s, r )
= [xP(t, s, r )µ(t, s, r ) − x ∗ P(t, s∗ , r )µ(t, s∗ , r )]dt
−[xP(t, s, r )σ(t, s, r ) − x ∗ P(t, s∗ , r )σ(t, s∗ , r )]dW (t)
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Modèle de Vasicek
Imposons que les montants détenus dans les deux ZC, xP et
x ∗ P ∗ , sont proportionnels à σ = σ(t, s, r ) et σ ∗ = σ(t, s∗ , r ) :
xP =
V
V
σ∗ , x ∗ P ∗ = ∗
σ
σ∗ − σ
σ −σ
On voit que cela implique que le portefeuille V n’a plus de terme
de bruit. Pour éviter les arbitrages, il doit donc avoir un
rendement instantané être égal au taux sans risque. On a donc :
xP(t, s, r )µ(t, s, r ) − x ∗ P(t, s∗ , r )µ(t, s∗ , r ) = rV
⇔
V σ∗
Vσ
µ− ∗
µ∗ = rV
σ∗ − σ
σ −σ
⇔
µ−r
µ∗ − r
=
σ
σ∗
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Modèle de Vasicek
Càd :
µ(t, s, r ) − r
µ(t, s∗ , r ) − r
=
= λ(t, r )
σ(t, s, r )
σ(t, s∗ , r )
est une quantité qui ne dépend pas de s.
Cette quantité λ(t, r ) est appelée prix du risque du marché.
En remplaçant µ et σ en fonction de λ, on arrive à l’EDP :
∂P
∂P
1 ∂2P
+ (f + ρλ)
+ ρ2 2 − rP = 0
∂t
∂r
2 ∂r
On a également la condition P(s, s, r ) = 1 pour tout r .
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Modèle de Vasicek
On voit que la dynamique de l’entièreté de la courbe des taux est
entièrement déterminée par 3 fonctions de 2 variables :
f (t, r ) : le trend (le drift) du taux court
ρ(t, r ) : la volatilité du taux court
λ(t, r ) : le prix du risque du marché
En général, λ > 0, ce qui correspond à une préférence pour la
liquidité de la part des investisseurs.
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Modèle de Vasicek
Solution de l’équation de structure :
i
h Rs
Rs
1 Rs 2
P(t, s, r ) = E e− t r (u)du− 2 t λ (u,r )du+ t λ(u,r )dW (u) |Ft
Attention : ici l’espérance est prise sous la mesure réelle, on n’a pas encore
changé de mesure (on a juste résolu une EDP).
Cas particuliers :
1
Si pas de préférence pour la liquidité : λ = 0
h Rs
i
P(t, s, r ) = E e− t r (u)du |Ft
2
Si de plus le taux court est déterministe : ρ = 0
P(t, s, r ) = e−
Rs
t
r (u)du
On retrouve la formule classique d’actualisation à taux variable
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Modèle de Vasicek
Modèle général d’arbitrage - Mesure risque neutre
On peut réécrire l’espérance donnant la solution de l’EDP des taux
d’intérêt comme :
R
s
Zs
E e− t r (u)du |Ft
Zt
où
1
Zt = e− 2
Rt
0
R
λ2 (u,r )du+ 0t λ(u,r )dW (u)
On peut voir que (Zt ) est une martingale, et comme Z0 = 1, que Zs
peut jouer le role de dérivée de Radon-Nikodym pour passer à une
nouvelle mesure Q.
Le prix du zero-coupon peut donc se réécrire :
h Rs
i
P(t, s, r ) = EQ e− t r (u)du |Fs
= Zs par les résultats vus sur les changements de
avec dQ
dP Fs
mesure.
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Modèle de Vasicek
On peut voir que la mesure Q est en fait la mesure risque-neutre. En
effet :
dP(t, s, r ) = P(t, s, r )µ(t, s, r )dt − P(t, s, r )σ(t, s, r )dW (t)
avec µ(t, s, r ) = r + σ(t, s, r )λ(t, r ), ce qui donne :
dP(t, s, r ) = P(t, s, r )r (t)dt − P(t, s, r )σ(t, s, r )(dW (t) − λ(t, r )dt)
= P(t, s, r )r (t)dt − P(t, s, r )σ(t, s, r )dW ∗ (t)
où l’on sait par le théorème de Girsanov que W ∗ est un M.B.
standard sous Q.
La mesure Q est donc caractérisée par des prix de ZC ayant tous un
rendement instantané égal à r (t).
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Modèle de Vasicek
En fait, si on s’intéresse à un horizon de temps total [0, T ], on
appliquera plutôt Girsanov avec la dérivée de R-N Z égale à
!
Z
Z T
1 T 2
λ (u)du
Z = ZT = exp
λ(u, r )dW (u) −
2 0
0
Rs
En effet, à s fixé, s ≤ T , la v.a. e− t r (u)du étant également FT
mesurable, on a bien que
R
R
− ts r (u)du Zs
− ts r (u)du ZT
E e
|Ft = E e
|Ft
Zt
Zt
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Modèle de Vasicek
On peut associer cette nouvelle mesure à un changement de
numéraire. Si l’on introduit le compte d’épargne comme le processus
B(t) tel que B(0) = 1 et satisfaisant :
dB(t) = rt B(t)dt
alors on voit directement que
!
t
Z
B(t) = exp
r (u)du
0
et que le processus actualisé :
P ∗ (t, s) =
P(t, s)
B(t)
est une martingale sous Q (exercice).
La mesure Q est donc encore bien la mesure martingale associée au
compte d’épargne B(t).
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Modèle de Vasicek
Modèle de Vasicek (1977)
Ce modèle correspond aux choix suivants pour les 3 fonctions f , ρ et
λ:
1
Le taux court est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck (sous P...)
dr (t) = a(b − r (t))dt + σdW (t)
ce qui correspond au choix :
f (r , t) = a(b − r )
ρ(t, r ) = σ
2
Le prix du risque du marché est une constante strictement
positive : λ(t, r ) = λ > 0.
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Modèle de Vasicek
On a vu que la solution de l’EDS du taux court est :
r (t) = r0 e−at + b(1 − eat ) + σe−at
|
{z
}
|
trend déterministe
Z
t
eas dW (s)
0
{z
}
bruit aléatoire
On voit que le taux court est Gaussien.
On a également vu que sa moyenne et sa variance étaient donnés
par :
E[r (t)] = r0 e−at + b(1 − e−at )
Z t
σ2
(1 − e−2at )
Var [r (t)] = σ 2 e−2at
e2as ds =
2a
0
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Modèle de Vasicek
et donc en particulier :
lim E[r (t)] = b
t→∞
la moyenne du taux court tend vers la cible de retour à la moyenne b
et de plus
lim Var [r (t)] =
t→∞
σ2
2a
La variance du taux court est donc gouvernée par à la fois les
paramètres de volatilité et de vitesse de retour à la moyenne.
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Modèle de Vasicek
On pourrait rester sous la mesure réelle et reprendre la solution de
l’EDP du prix des ZC. L’EDP devient :
∂P
∂P
1 ∂2P
+ (a(b − r ) + σλ)
+ σ 2 2 − rP = 0
∂t
∂r
2 ∂r
où a, b, σ, λ sont des constantes positives.
On peut voir que 1 cette équation admet comme solution :
σ2
1
−a(s−t)
−a(s−t) 2
(1 − e
)(K − r ) − (s − t)K − 3 (1 − e
)
P(t, s, r ) = exp
a
4a
avec
K =b+
σλ
σ2
− 2
a
2a
1. On montrera autrement cette formule plus loin
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Modèle de Vasicek
Rendement instantané moyen d’un zéro-coupon
Par la formule d’Ito et l’équation de structure, on a vu que :
1 ∂
1
∂P
∂
1
∂2
µP (t, s, r ) =
rP − λσ
+ f (t, r )
+ ρ2 (t, r ) 2 P =
P ∂t
∂r
2
∂r
P
∂r
Or,
∂P
∂r
=
−1
(1
a
− e−a(s−t) )P. On en déduit :
µP (t, s, r ) = r (t) +
λσ
(1 − e−a(s−t) )
a
Le rendement instanté d’un ZC n’est donc pas le taux court spot, et la prime
de risque est positive et indépendante du taux court spot r .
Volatilité instantanée d’un ZC :
σP (t, s, r ) = −
1
∂P
σ
ρ(t, r )
= (1 − e−a(s−t) ) = σP (t, s)
P
∂r
a
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Modèle de Vasicek
Vasicek - Passage à la mesure risque-neutre
Passage à la mesure risque-neutre :
Dynamique monde réel : dr (t) = a(b − r (t))dt + σdW (t)
Changement de mesure : passage à la mesure Q caractérisée par
λ2
dQ
= exp λWT −
T
dP
2
sous laquelle W ∗ (t) = W (t) − λt est un M.B. standard.
Cela donne :
dr (t) = a(b − r (t))dt + σdW (t)
dr (t) = a(b − r (t))dt + σ(dW ∗ (t) + λdt)
σλ
dr (t) = a b +
− r (t) dt + σdW ∗ (t)
a
On voit donc que sous Q, le processus du taux court reste un processus
d’Ornstein-Uhlenbeck, de mêmes volatilité et vitesse de retour à la
moyenne, mais de cible de retour à la moyenne (ou taux limite)
modifiée :
σλ
θ=b+
a
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Modèle de Vasicek
L’EDS du taux court sous Q est donc :
dr (t) = a(θ − r (t))dt + σdW ∗ (t)
où W ∗ M.B. standard
La solution s’écrit alors :
r (t) = r0 e−at + θ(1 − e−at ) + σe−at
{z
}
|
|
trend deterministe
Z
0
t
eas dW ∗ (s)
{z
}
bruit aleatoire
Le taux court est encore gaussien mais de moments
EQ [r (t)] = r0 e−at + θ(1 − e−at )
Z t
σ2
VarQ [r (t)] = σ 2 e−2at
e2as ds =
(1 − e−2at )
2a
0
(variance inchangée)
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Modèle de Vasicek
En repartant (par ex.) de l’expression de la solution, on voit
directement que r (s) peut s’écrire en fonction de r (t) (s ≥ t) :
Z s
−a(s−t)
−a(s−t)
r (s) = rt e
+ θ(1 − e
)+σ
e−a(s−u) dW ∗ (u)
t
On en déduit les moments conditionnels :
EQ [r (s)|Ft ] = rt e−a(s−t) + θ(1 − e−a(s−t) )
σ2
(1 − e−2a(s−t) )
2a
Le prix d’un zero-coupon est directement donné par :
Z s
P(t, s) = EQ exp −
r (u)du |Ft
VarQ [r (s)|Ft ] =
t
On va calculer cette expression (et ainsi démontrer l’expression
du slide 46).
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C. Azizieh ULB
Modèle de Vasicek
Vasicek- Passage à la mesure risque-neutre
On sait que
Rs
t
r (u)du est de loi normale, de moyenne :
Z
EQ
s
Z
r (u)du|Ft =
t
s
EQ [r (u)|Ft ]du
t
= θ(s − t) + (r (t) − θ)
1 − e−a(s−t)
a
De la même manière, on montre que
Z
s
VarQ
t
σ2
σ2
1 − e−a(s−t)
r (u)du|Ft = − 3 (1−e−a(s−t) )2 + 2 (s − t) −
2a
a
a
(exercice)
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C. Azizieh ULB
Modèle de Vasicek
Vasicek - Prix d’un ZC
Rs
Tout ceci permet de calculer explicitement EQ exp − t r (u)du |Ft
comme l’espérance de la log-normale de paramètres donnés par les
moments ci-dessus :
P(t, s) = A(t, s)e−B(t,s)r (t)
σ2
σ2
A(t, s) = exp
θ − 2 (B(t, s) − s + t) −
B(t, s)2
2a
4a
1
−a(s−t)
1−e
B(t, s) =
a
(rappel : si X ∼ LN(µ, σ), alors E[X ] = exp(µ + σ 2 /2))
C’est bien la même expression qu’obtenue précédemment en résolvant
l’EDP (moyennant le changement de paramètre : θ = b + σλ
)
a
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Modèle de Vasicek
Modèle de Vasicek - Prix d’un ZC
Le taux zero-coupon Y (t, s) = − ln(P(t,s))
a donc la forme :
s−t
Y (t, s) =
1
s−t
(
1
−a(s−t)
(1 − e
)
a
En posant Y∞ = θ −
σ2
,
2a2
r −θ+
σ2
2a2
!
+ (s − t)
θ−
σ2
2a2
!
+
σ2
−a(s−t) 2
(1 − e
)
4a3
)
ce taux se réécrit :
Y (t, s) = Y∞ + (rt − Y∞ )
1 − e−a(s−t)
σ 2 (1 − e−a(s−t) )2
+
a(s − t)
4a3 (s − t)
Interprétation de Y∞ : comme on a que Y∞ = lims→∞ Y (s, t) à
t fixé, c’est le taux “très” long terme
La courbe des taux à un instant t est donc fonction du taux court
en t, rt , et des 3 paramètres a, σ, θ
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C. Azizieh ULB
Modèle de Vasicek
Inconvénients du modèle :
Le taux court est gaussien, et peut donc prendre des valeurs
négatives. Le problème se pose surtout si ces valeurs négatives
sont très fréquentes et “très négatives”
Les taux correspondant à des maturités différentes sont
parfaitement corrélés (problème de tous les modèles de taux
court à 1 facteur)
Impossibilité de reproduire exactement la courbe des taux initiale
du marché (après passage à la mesure risque neutre)
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C. Azizieh ULB
Modèle de Vasicek
Inconvénients du modèle :
Impossibilité de reproduire exactement la courbe des taux initiale
du marché (après passage à la mesure risque neutre)
Les 3 paramètres a, σ, θ ne suffisent en général pas pour arriver à
faire coincider prix du modèles et prix du marché
Exemple : Supposons simplement que la courbe des taux soit
plate :
P(0, t) = e−δt ∀t > 0 ⇔ Y (0, t) = δ ∀t > 0
pour une constante δ > 0. On voit, en regardant l’expression de
Y (0, t), que ce n’est tout simplement pas possible dans le modèle
de Vasicek.
Hull et White proposent une extension du modele de Vasicek,
palliant à cet inconvénient majeur → modèle de Hull et White
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Modélisation des taux d`intérêt (I)

Transcription

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