triangle rectangle et cercle circonscrit

C HAPITRE VI
T RIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
T1
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
G8
Tracer le cercle circonscrit d’un triangle quelconque, d’un triangle
rectangle
G9
Démontrer qu’un point est sur un cercle en utilisant la propriété de
l’angle droit
G10
Calculer la longueur de la médiane issue de l’angle droit dans un triangle rectangle
G11
Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant son cercle circonscrit
G12
Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant ses médianes
Eval.1 Eval.2 Eval.3
Taux de réussite :
............ %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗
: cette compétence fait partie du socle commun.
Légende du tableau de compétences :
4ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 6
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Rappels : médiatrices, médianes
Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Propriété d’équidistance
– Si un point est situé sur la médiatrice d’un segment,
alors on est sûr que ce point est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
– Si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment,
alors on est sûr que ce point est situé sur la médiatrice de ce segment.
Méthodes de construction de la médiatrice d’un segment :
Ï Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :
B
A
B
A
Pour tracer la médiatrice du
segment [AB] :
B
A
I
I
① on place le point I milieu du
② on trace la perpendiculaire à
segment [AB]
(AB) passant par I
Ï Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :
B
A
Pour tracer la médiatrice du
segment [AB] :
B
A
B
A
① on trace deux cercles de centres
A et B de même rayon, assez grand
② on trace la droite qui joint les
intersections de ces deux cercles
Définition
Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet du triangle et par le milieu du
côté opposé à ce sommet.
4ème
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Compétence G8 : tracer le cercle circonscrit d’un triangle
Cercle circonscrit à un triangle
C
C
Dans un triangle quelconque (non aplati), les médiatrices des trois
côtés du triangle se rencontrent en un même point ; on dit qu’elles
sont concourantes.
O
Le point commun à ces trois médiatrices est le centre d’un cercle C
passant par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé cercle
circonscrit au triangle. On dit aussi que le triangle est inscrit dans
B
A
le cercle C
Illustration :
Dans le cas d’un triangle rectangle, la
C
construction du cercle circonscrit est beau-
C
coup plus simple, grâce au théorème suivant :
Théorème 1
Si un triangle est rectangle,
O
alors le centre de son cercle circonscrit est le
milieu de l’hypoténuse.
B
A
Voir la preuve de ce résultat par ailleurs. . .
Compétence G9 : démontrer qu’un point est sur un cercle
Une seconde formulation du théorème 1 s’énonce ainsi :
Théorème 2
Si un triangle est rectangle,
alors il est inscrit dans le cercle dont le diamètre est l’hypoténuse.
Compétence G10 : calculer la longueur d’une médiane issue du sommet de l’angle droit dans un triangle rectangle
Une troisième formulation du théorème 1, utilisant cette fois la médiane issue du sommet de l’angle
droit, s’énonce ainsi :
Théorème 3
Si un triangle est rectangle,
alors la médiane issue du sommet de l’angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de
l’hypoténuse.
En effet, le segment [CO], qui est la médiane issue du sommet de l’angle droit, est un rayon du cercle C
AB
circonscrit au triangle ABC. Or le segment [AB] est un diamètre de ce cercle. On a donc bien CO =
2
4ème
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Compétence G11 : démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant
son cercle circonscrit
Nous pouvons formuler une réciproque du théorème 1 en ces termes :
Théorème 4
Si, dans un triangle, le milieu d’un côté est le centre du cercle circonscrit,
alors ce triangle est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.
Tout comme nous pouvons formuler une réciproque du théorème 2 :
Théorème 5
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés ,
alors ce triangle est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.
Compétence G12 : démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant
ses médianes
Enfin, nous pouvons énoncer une réciproque du théorème 3 :
Théorème 6
Si, dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant,
alors ce triangle est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.
4ème
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