Correction des problèmes

Clg É. Coutarel
Correction des problèmes
sur la mise en équation du premier degré...
Classe de 3ème
Exercice 1
Un collège a acheté 25 exemplaires d’un livre.
Pour le même montant, un autre collège achète le même livre 2e de moins, ce qui lui permet d’en acheter 5 de plus.
Quel est le prix d’un livre acheté par le premier établissement ?
Correction 1
Soit p le prix d’un livre dans le premier établissement.
Le tarif payé par cet établissement est donc : 25 × p = 25p.
L’autre établissement en achète 30, mais le tarif unitaire est p − 2 ce qui donne un montant de 30 × (p − 2).
Ces deux montants étant égaux, l’équation à résoudre est donc :
25p = 30(p − 2)
Passons à la résolution :
25p = 30(p − 2)
25p = 30p − 60
25p − 30p = −60
−5p = −60
−60
= 12
p=
−5
Le prix du livre dans le premier établissement est donc de 12e.
Exercice 2
On dispose de trois tas de cailloux.
Le premier tas contient 30 cailloux de plus que le troisième et le deuxième contient 6 cailloux de moins que le troisième.
Il y a 150 cailloux en tout.
Quel est le nombre de cailloux dans chaque tas ?
Correction 2
Contrairement à ce que l’on pourrait penser, ce n’est pas une équation à trois inconnues puisque le nombre de
cailloux du premier et du second tas s’obtiennent à partir du troisième tas.
Ici, il est donc judicieux de choisir c le nombre de cailloux dans le troisième tas.
Le premier tas contient : c + 30 cailloux.
Le second en contient : c − 6.
La somme sur les trois tas donne l’équation :
(c + 30) + (c − 6) + c = 150
Passons à la résolution :
c + 30 + c − 6 + c = 150
3c = 150 − 30 + 6
3c = 126
126
= 42
c=
3
1
Le troisième tas est constitué de 42 cailloux, le premier 72 et le second 36.
Exercice 3
Le périmètre d’un triangle mesure 150 cm.
Le deuxième côté mesure 30 cm de plus que le premier et le troisième côté mesure 6 cm de moins que le premier.
Quelles sont les longueurs des trois côtés ?
Correction 3
C’est exactement le même principe que l’exercice précédent et avec les mêmes nombres !
La seule petite différence est que l’on se base à un « premier » côté.
On trouve donc les mêmes résultats : 42 ; 72 ; 36.
Exercice 4
On a un carré.
On augmente la longueur du côté de 6 cm.
On obtient un nouveau carré dont l’aire mesure 84 cm2 de plus que l’aire du carré précédent.
Quelle est la longueur du côté du premier carré ?
Correction 4
Soit ℓ la longueur du côté du premier carré.
Le premier carré a une aire de ℓ cm2 et le
second a une aire de (ℓ + 6)2 cm2 .
L’énoncé nous indique alors que :
16 cm2
ℓ2 + 84 = (ℓ + 6)2
Il reste à résoudre :
ℓ2 + 84 = (ℓ + 6)2
ℓ2 + 84 = ℓ2 + 12ℓ + 36
ℓ2 − ℓ2 − 12ℓ = 36 − 84
−12ℓ = −48
−48
=4
ℓ=
−12
84 cm2
La longueur du côté du premier carré est
donc de 4 cm.
2
Exercice 5
On veut partager équitablement une somme d’argent entre plusieurs personnes.
Si l’on donne 20e à chaque personne, il reste 40e.
Si l’on donne 25e à chaque personne, il manque 75e.
Quel est le nombre de personnes ?
Correction 5
Soit n le nombre de personnes que l’on cherche.
La somme à distribuer est égale à 20 × n + 40 puisqu’il reste 40e.
Cette somme est également égale à 25 × n − 75 puisqu’il manque 75e.
L’équation est donc :
20 × n + 40 = 25 × n − 75
En voici la résolution :
20n + 40 = 25n − 75
20n − 25n = −75 − 40
−5n = −115
−115
= 23
n=
−5
La somme est donc à partager en 23 personnes, et celle-ci vaut 20 × 23 + 40 = 500e.
3