EX 1 :( 1,5 points ) On écrit sur les faces d`un dé à six faces chacune

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2nde. Test 9 - Correction
E X 1 :( 1,5 points ) On écrit sur les faces d’un dé à six faces chacune des lettres du mot oiseau.
On lance le dé et on regarde la lettre inscrite sur sa face supérieure.
1. Citer les issues de cette expérience : Il y en a 6 ; l’ensemble de toutes les issues est l’univers Ω = {O, I, S, E, A, U}
2.
Donner un exemple d’événement élémentaire, non élémentaire, certain et impossible.
{O} est un événement élémentaire ; {O, I} est un événement non élémentaire ; Ω = {O, I, S, E, A, U} est un événement certain ;
{X} est un événement impossible
E X 2 :( 2,5 points ) Dix boîtes d’apparence identique contiennent des pièces.
Certaines de ces pièces sont vraies et les autres sont fausses. Les boîtes sont de trois types : B1 ; B2 et B3.
Il y a 2 boîtes de type B1, 3 boîtes de type B2 et 5 boîtes de type B3.
1. On choisit d’abord une boîte au hasard. Pondérer l’arbre des probabilités ci-contre :
1
3
5
1
2
=
p (B2) =
p (B3) =
=
p (B1) =
10 5
10
10 2
1
5
B1
b
3
10
b
B2
b
B3
b
2.
Le tableau ci-dessous indique la répartition des pièces dans les boîtes selon leur type :
Type de boîte
Nombre de fausses pièces
Nombre total de pièces
B1
400
2000
B2
200
500
1
2
B3
100
1000
On tire au hasard une pièce dans l’une des boîtes et on définit les deux événements :
• F = « La pièce est fausse »
• V = « La pièce est vraie »
Calculer p (F) et p (V) si la boîte dans laquelle on effectue le tirage est du type : B1, B2 ou B3
• si la boîte dans laquelle on effectue le tirage est du type B1 : p (F) =
400
1
=
2000 5
• si la boîte dans laquelle on effectue le tirage est du type B2 : p (F) =
200 2
=
500 5
• si la boîte dans laquelle on effectue le tirage est du type B3 : p (F) =
1
100
=
1000 10
et
p (V) =
p (V) =
et
et
1600 4
=
2000 5
300 3
=
500 5
p (V) =
900
9
=
1000 10
On choisit une boîte au hasard puis, encore au hasard, on tire une pièce dans cette boîte.
3.
Compléter l’arbre pondéré des probabilités :
B1
1
5
b
F
b
V
b
F
b
V
b
F
b
V
4.
Calculer les probabilités suivantes
• p (B1 ∩ F ) =
1
1 1
× =
= 0, 04
5 5 25
• p (B2 ∩ F ) =
3 2
3
× =
= 0, 12
10 5 25
• p (B3 ∩ F ) =
1 1
1
×
=
= 0, 05
2 10 20
b
1
5
3
10
4
5
2
5
B2
b
b
1
2
B3
1
10
3
5
b
5.
9
10
En déduire la probabilité de l’événement F : « La pièce que la personne a tirée est fausse. »
p (F ) = p (B1 ∩ F ) + p (B2 ∩ F ) + p (B3 ∩ F ) =
1
3
1
21
+
+
=
= 0, 21
25 25 20 100
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2nde. Test 9 - Correction
E X 3 :( 3 points ) Une chaîne de production industrielle est constituée de deux machines indépendantes appelées dans cet
exercice M1 et M2. Des études statistiques ont montré que :
• la probabilité de l’évènement A : « la machine M1 fonctionne »est 96, 7 % ;
• la probabilité de l’évènement B : « la machine M2 fontionne »est 98, 2 %.
1. La probabilité que les deux machines fonctionnent à un même moment donné est 95, 7 %. Traduire cette phrase par
une égalité mathématique.
p (A ∩ B ) = 95, 7% = 0, 957
2. Traduire chacun des évènements suivants par une phrase en français et calculer leurs probabilités en justifiant brièvement.
A , B , A ∪ B , A ∪ B , A ∩ B , A ∪ B.
³ ´
• A : « la machine M1 ne fonctionne pas »
p A = 1 − p (A) = 1 − 0, 967 = 0, 033
³ ´
• B : « la machine M2 ne fonctionne pas »
p B = 1 − p (B ) = 1 − 0, 982 = 0, 018
• A ∪ B : « la machine M1 fonctionne ou la machine M2 fonctionne »
p (A ∪ B ) = p (A) + p (B ) − p (A ∩ B ) = 0, 967 + 0, 982 − 0, 957 = 0, 992
³
´
• A ∪ B : « aucune des machines M1 ou M2 ne fonctionne »
• A ∩ B : « M1 ne fonctionne pas et M2 ne fonctionne pas »
p A ∪ B = 1 − p (A ∪ B ) = 1 − 0, 992 = 0, 008
³
´
³
´
p A ∩ B = p A ∪ B = 0, 008
• A ³∪ B : « ´M1 ne
³ fonctionne
´
³ ´ pas
³ ou M2
´ ne fonctionne pas »
p A ∪ B = p A + p B − p A ∩ B = 0, 033 + 0, 018 − 0, 008 = 0, 043
E X 4 :( 3 points ) Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique. Les concepteurs l’ont
testé pour 1000 messages et voici leurs conclusions :
– 70 % des messages entrants sont indésirables ;
– 95 % des messages indésirables sont éliminés ;
– 2 % des messages bienvenus sont éliminés.
On note B , l’évènement : « le message est bienvenu ». On note I , l’évènement : « le message est indésirable ». On note E ,
l’évènement : « le message est éliminé ». On note C , l’évènement : « le message est conservé ».
1. Compléter le tableau suivant :
Nombre de messages
éliminés
Nombre de messages
conservés
Total
Nombre de messages
indésirables
Nombre de messages
bienvenus
Total
665
6
671
35
294
329
700
300
1000
2. On considère que cet échantillon de taille 1000 est représentatif de l’ensemble des messages reçus. Dans la suite de
l’exercice, on utilisera donc les fréquences de l’énoncé comme probabilités.
a. Donner les valeurs approchées à 10−3 des probabilités suivantes :
i. la probabilité qu’un message reçu soit indésirable et conservés : p (I ∩ C ) =
ii. la probabilité qu’un message reçu soit bienvenu et supprimé : p (B ∩ E ) =
35
= 0, 035
1000
6
= 0, 006
1000
iii. la probabilité que le logiciel fasse une erreur de traitement : p (I ∩ C ) + p (B ∩ E ) =
b. Calculer la probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu’il est éliminé :
c. Calculer la probabilité pour que le message soit bienvenu sachant qu’il est conservé :
6 + 35
41
=
= 0, 041
1000
1000
665
671
294
329