Corrigé

Université Montpellier II
L3 Mathématiques, GLMA501
Année universitaire 2012-2013
Corrigé CC 2 d’algèbre générale
Exercice 1 (Autour du cours)
1. (3 points) Soit G un groupe, et H un sous-groupe de G. Définir :
(a) L’ensemble quotient G/H.
L’ensemble quotient G/H est l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation
d’équivalence définie par :
x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H.
Plus basiquement, c’est l’ensemble {gH, g ∈ G}.
(b) H est un sous-groupe distingué de G.
H est distingué dans G si : ∀g ∈ G, gHg −1 = H.
(c) Le produit du groupe quotient G/H, lorsque H est distingué dans G.
La loi qui fait de l’ensemble {gH, g ∈ G} un groupe est gH ∗ g 0 H := gg 0 H.
2. (4 points) Justifier :
(a) Si G est un groupe fini d’ordre 42, alors tout sous-groupe propre et non trivial de G
est d’ordre 2, 3, 6, 7, 14, ou 21, et s’il est d’ordre 2, 3 ou 7 c’est un groupe cyclique.
Par le théorème de Lagrange, tout sous-groupe de G a un cardinal divisant celui de
G. Les ordres possibles sont donc 2, 3, 6, 7, 14, 21 car on ne prend en compte que les
sous-groupes propres et non triviaux. De plus, si ce sous-groupe est d’ordre 2, 3, 7, il a
pour ordre un nombre premier et est donc cylique. En effet, d’une façon générale, soit
H un groupe d’ordre p (premier). Soit x 6= e, x est d’ordre un diviseur de |H| = p, et
comme l’ordre de x ne peut pas valoir 1, il vaut donc p et alors x engendre donc H.
(b) Un groupe fini d’ordre 63 a 1 ou 7 sous-groupes d’ordre 9, et un unique sous-groupe
d’ordre 7, qui de plus est distingué dans G.
63 = 32 · 7. On applique le théorème de Sylow pour trouver le nombre possible de
3-Sylow (qui sont d’ordre 9 justement), noté n3 . On a :
n3 = 1 mod 3,
n3 |7.
Donc nécessairement n3 = 1 ou 7. De même si on note n7 le nombre de 7-Sylow (qui
sont d’ordre 7), n7 = 1 mod 7 et n7 |9 donc n7 = 1. Enfin, les 7-Sylow étant tous
conjugués, et qu’on n’en a qu’un seul, ce dernier est donc distingué.
Exercice 2 On note S10 le groupe symétrique de l’ensemble E = {1, 2, . . . , 10}.
1. (7 points) On considère la permutation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
σ=
3 1 7 9 8 4 2 10 6 5
(a) Écrire σ comme un produit de cycles à supports disjoints.
(b) Calculer l’ordre de σ.
(c) Calculer la signature de σ.
1
∈ S10 .
(d) Montrer que pour toute permutation τ ∈ S10 , τ στ −1 et σ ont la même signature.
La signature est un morphisme, on en déduit : ε(τ στ −1 ) = ε(τ )ε(σ)ε(τ )−1 = ε(σ).
(e) Soit hσi le sous-groupe de S10 engendré par σ. Déterminer les éléments de hσi.
hσi = {id, σ, . . . , σ 11 } car σ est d’ordre 12. Il faut ensuite calculer explicitement
ces éléments.
(f) Montrer que hσi est isomorphe à Z/12Z.
D’une façon générale, tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe à Z/nZ. D’où
le résultat. Si vous ne savez pas montrer ce résultat, faı̂tes-le, ça doit vous paraı̂tre
naturel maintenant.
2. (6 points) Soit τ := (6 7)(4 5 3)(1 2 5)(7 8)(9 10).
(a) Quel est l’ordre de τ ?
Attention, τ n’est pas donné par sa décomposition canonique : les supports des
différents cycles ne sont pas disjoints ! Il faut donc trouver la décomposition canonique de τ d’abord et ensuite utiliser la formule avec le ppcm pour trouver que l’ordre
vaut 30.
(b) En déduire que S10 admet un sous-groupe d’ordre 30 que l’on explicitera. Montrer
que S10 contient également un sous-groupe d’ordre 10 contenu dans le sous-groupe
d’ordre 30 précédent, et l’expliciter.
Comme τ est d’ordre 30, le sous-groupe engendré par τ est d’ordre 30 (= son
cardinal) et on a bien hτ i < S10 . On cherche un sous-groupe d’ordre 10 contenu dans
hτ i, ce dernier étant cyclique et 10|30 (avec 30 = 10 · 3), on sait qu’il en existe un
(en fait il n’y en a qu’un) et c’est précisément hτ 3 i. Attention, le fait que pour tout
diviseur du cardinal d’un groupe cyclique, il existe un sous-groupe d’ordre ce diviseur,
est spécifique aux groupes cycliques ! C’est en général faux pour un groupe quelconque.
(c) Quel est l’ordre maximal d’un élément de S10 ? Combien d’éléments sont de cet
ordre ?
Pour calculer l’ordre d’une permutation il faut :
i. Déterminer une décomposition en produit de cycles à supports disjoints.
ii. Prendre le ppcm des longueurs des cycles dans la décomposition précédente.
On veut donc maximiser le processus précédent. En regardant les deux points précédents,
ce qui compte, c’est obtenir une partition de 10 comme somme d’entiers et que le
ppcm de ces entiers soit maximal. On se rend compte que pour maximiser, il est déjà
nécessaire de décomposer 10 comme somme d’entiers premiers entre eux, car le ppcm
vaudra alors le produit (et que d’une façon générale, on a toujours ppcm(a, b) ≤ ab).
Après quelques essais, on trouve que la meilleure partition de 10 est : 10 = 5 + 3 + 2
pour laquelle le ppcm vaut 30. Maintenant, pour obtenir une telle permutation composée d’un 5-cycle, d’un 3-cycle et d’un 2-cycle, il faut déjà choisir le 5-cycle : il y
a 10 × · · · × 6 possibilités de choisir les constituants du 5-cycle, mais comme chacun
des constituants peut être celui choisi en première position, il n’y a plus que 10×···×6
5
possibilités pour choisir le 5-cycle. Ensuite, idem pour le choix du 3-cycle, il y a
5×4×3
possibilités et pour le dernier 2-cycle il y a 2×1
3
2 possibilités. Donc au total il y
10!
a 5×3×2 = 120960 permutations d’ordre maximal (= 30).
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