Corrigé 8
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Corrigé 8
Cours d’Algèbre I Prof. E. Bayer Fluckiger Bachelor Semestre 3 10 novembre 2014 Corrigé 8 Exercice 1. Soit p un nombre premier. Soit G un groupe d’ordre p. Montrer que G est cyclique. Solution. Soit g ∈ G avec g 6= 1G . D’après le théorème de Lagrange, l’ordre de g divise #G = p qui est premier. L’ordre g est donc 1 ou p. Or g 6= 1G donc l’ordre de g est au moins 2. Ce n’est possible que si l’ordre de g est p. Par conséquent, on a #hgi = #G. Comme hgi ⊂ G, on en déduit que G = hgi. Exercice 2. (Les résultats de cet exercice sont à retenir). Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On appelle normalisateur de H dans G et on note NG (H) l’ensemble NG (H) := g ∈ G : gHg −1 = H . (1) Montrer que NG (H) est un sous-groupe de G. (2) Montrer que H est normal dans NG (H). (3) Plus généralement, soit K un sous-groupe de G contenant H. Montrer que H est normal dans K si et seulement si K ⊂ NG (H). Solution. (1) On remarque que NG (H) est non vide (il contient 1G ). Soit g1 , g2 ∈ NG (H). Comme (g1 g2 ) H (g1 g2 )−1 = g1 g2 Hg2−1 g1−1 = g1 Hg1−1 = H, on a g1 g2 ∈ NG (H). De plus, on a g1 Hg1−1 = H, et donc −1 H = g1−1 g1 H g1−1 g1 = g1−1 g1 Hg1−1 g1 = g1−1 Hg1 . On a donc g1−1 ∈ NG (H). Ainsi, NG (H) est bien un sous-groupe de G. (2) Par définition, H est normal dans NG (H) si et seulement si gHg −1 = H pour tout g ∈ NG (H). Or par définition de NG (H), on a gHg −1 = H si et seulement si g ∈ NG (H). Le sous-groupe H est donc normal dans NG (H). (3) Supposons K ⊂ NG (H). Si g ∈ K alors on a g ∈ NG (H). Par définition de NG (H), on a donc gHg −1 = H. Par suite, H est bien normal dans K. Supposons maintenant H normal dans K. Alors gHg −1 = H pour tout g ∈ K. On a donc bien g ∈ NG (H) pour tout g ∈ K. 2 Exercice 3. Soient A= √ 1/2 − 3/2 √ 3/2 1/2 et B= −1 0 0 1 . Soient H = hAi et K = hBi les sous-groupes de GL2 (R) engendrés par A et B. (1) Montrer que K ⊂ NGL2 (R) (H). (2) Montrer que HK est un sous-groupe de GL2 (R) et que H est un sousgroupe normal de HK. (3) Montrer que HK/H est isomorphe à Z/2Z. Solution. (1) Comme K = {I2 , B}, il suffit de montrer que BHB −1 = H. Comme H est cyclique et engendré par A, il suffit de montrer pour tout i ∈ Z l’existence i d’un ji ∈ Z tel que BAi B −1 = Aji . Or BAi B −1 = (BAB −1 ) , donc il suffit de montrer l’existence de k ∈ Z tel que BAB −1 = Ak . On a √ −1 −1 0 1/2 − 3/2 −1 0 −1 √ BAB = 0 1 0 1 1/2 √ 3/2 3/2 1/2 √ = − 3/2 1/2 √ −1 1/2 − 3/2 √ = . 3/2 1/2 On a donc bien K ⊂ NGL2 (R) (H). (2) Comme K ⊂ NGL2 (R) (H), on sait par une proposition du cours que HK est un sous-groupe de GL2 (R) et que H est un sous-groupe normal de HK. (3) Comme A et B ne commutent pas, on sait que B ∈ / hAi et donc que H ∩ K = {I2 }. Comme H est un sous-groupe normal de HK, on sait par le deuxième théorème d’isomorphisme que HK/H est isomorphe à K/(H ∩ K) = K. Or K est cyclique d’ordre 2, donc HK/H ' K est isomorphe à Z/2Z. Exercice 4. Soient G un groupe, et H un sous-groupe normal de G. (1) Soient x, y ∈ G d’ordres finis. Montrer que x et yxy −1 ont même ordre. (2) Soient x, y, z ∈ G tels que x9 ∈ H, y 11 ∈ H, Montrer que x ∈ H et y ∈ H. yzxz −1 ∈ H. 3 Solution. i (1) Il suffit de remarquer que pour tout entier i on a (yxy −1 ) = yxi y −1 , et que pour tout entier i on a yxi y −1 = 1G si et seulement si xi = y −1 1G y = 1G . (2) Comme H est normal dans G, l’application G/H × G/H → G/H, (aH, bH) 7→ (ab)H est bien définie et est une loi de groupe sur G/H. De plus, si a ∈ G, alors on a a ∈ H si et seulement si aH = H = 1G/H . Les hypothèses de l’énoncé se reformulent donc sous la forme (xH)9 = x9 H = 1G/H , (1) (yH)11 = y 11 H = 1G/H , (2) −1 (yH)(zH)(xH)(zH) = 1G/H . D’après la dernière égalité, on a (yH) = (zH)(xH)−1 (zH)−1 . En particulier, d’après la question précédente, yH et (xH)−1 ont même ordre. Par suite, yH et xH ont même ordre (car xH et (xH)−1 ont même ordre). Or, d’après (1) et (2), l’ordre de xH divise 9 et l’ordre de yH divise 11. L’ordre de xH et de yH divise donc 9 et 11. Comme (9, 11) = 1, on en déduit que xH et yH sont d’ordre 1, c’est-à-dire que xH = 1G/H = H et yH = 1G/H = H. On a donc x ∈ H et y ∈ H.