corrigé

Spé 2008-2009
Devoir n°8
OPTIQUE
CENTRALE PSI 2008
A.1) Pour que deux ondes produisent des interférences, il faut qu’elles soient cohérentes,
c’est-à-dire rigoureusement synchrones.
Pour obtenir expérimentalement cette condition en optique, on réalise au moins deux sources
secondaires images d’une source réelle primaire, en veillant à ce que la différence de marche au
point d’observation soit inférieure à la longueur de cohérence de la source, c’est-à-dire la longueur
moyenne des trains d’onde qu’elle émet.
A.2) Une onde est monochromatique si sa dépendance temporelle est purement sinusoïdale. Elle est alors de durée infinie. En terme de longueur d’onde, cela correspond à une onde de
longueur d’onde unique.
On peut réaliser une onde quasi monochromatique en utilisant :
Ÿ une source laser qui, par construction, émet une onde dont la largeur spectrale est
très faible ;
Ÿ une source spectrale suivie d’un filtre ne laissant passer qu’une des raies émises;
Ÿ une source de lumière blanche dont on décompose la lumière à l’aide d’un prisme
ou d’un réseau. On isole ensuite la partie du faisceau correspondant à un très petit secteur angulaire.
A.3-a) Pour réaliser une source quasi ponctuelle :
Ÿ à partir d’un laser, qui émet une onde quasi plane, il faut placer une lentille très
convergente, comme un objectif de microscope par exemple. La source ponctuelle est alors le point
de convergence des rayons. On profite de plus de l’élargissement du faisceau après la lentille.
Ÿ à partir d’une lampe thermique (spectrale ou non), il faut placer un diaphragme de
faible ouverture après la source. On peut aussi utiliser ne lentille condenseur pour faire converger la
lumière sur ce diaphragme.
b) Si la source est quasi ponctuelle, les franges d’interférences ne sont pas localisées
et l’on peut placer l’écran n’importe où dans la zone d’interférence.
L’interféromètre étant réglé en lame d’air, on observe des franges circulaires si l’écran
d’observation est bien parallèle au plan des miroirs. L’écart entre ces franges diminue lorsque l’on
s’éloigne du centre de la figure.
c) Si la source n’est plus ponctuelle, les différents points de la source ne sont pas cohérents et leurs franges d’interférences sont décalées. En se superposant, elles créent un éclairement
uniforme sur l’écran.
Les franges existent cependant à l’infini car alors la différence de marche ne dépend plus du
point source et les anneaux crée par tous ces points sont centrés au même point de l’écran et se superposent donc sans se brouiller. En reculant l’écran, on peut donc espérer voir les franges malgré
l’atténuation due à la propagation.
Les rayons qui se superposent à l’infini sont parallèles enJ1
J2
tre eux. Ils le sont donc aussi avant les miroirs et possèdent le
(M2)
même angle d’incidence sur les miroirs. Les franges sont donc
I2
I1
K2
K1
(M’1)
appelées franges d’égale inclinaison.
L1
A.4-a) L’écran étant placé dans le plan focal image de la
S1
lentille (L), les rayons qui convergent en un point M de cet écran
S2
sont parallèles entre eux avant la lentille et, par conséquent, ils
sont issus du même rayon incident sur les miroirs et provenant du
(L)
point source S1. On a tracé sur la figure ci-contre la marche des
rayons issus de S1 et convergent en M. La différence de marche
entre eux en M est d(M) = |I1J1| + |J1K1| – |I1L1|.
ECRAN
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F’
M
Devoir n°8
En traçant la marche des rayons issus d’un autre point source S2 convergents en M, on constate que leur différence de marche d(M) = |I2J2| + |J2K2| – |I2L2| est la même. Cette différence de
marche ne dépend donc pas du point source considéré. On aura donc bien une figure d’interférence
sur l’écran ainsi disposé, même si la source est étendue.
b) En notant i l’angle d’inclinaison sur les miroirs des rayons qui interfèrent en M et
e = z – z0 l’épaisseur de la lame d’air, la différence de marche en M est d(M) = 2ecos(i). On retrouve
l’angle après réflexion et c’est cet angle que fait le rayon passant par le centre de la lentille et arrir
vant en M. On a donc tan(i ) =
. Comme la lentille est utilisée dans les conditions de Gauss, on a
f'
æ r ö
i << 1 et l’on peut écrire tan(i) » i d’où d( M ) = 2e cos ç ÷ .
è f 'ø
B.1) La position z = z0 est appelée contact optique. La différence de marche est nulle en
tout point de l’écran se qui se traduit par un éclairement uniforme appelé teinte plate.
E
- EMIN
B.2) Le contraste des franges est défini par C = MAX
. Quand il est nul,
EMAX + EMIN
l’éclairement est uniforme. Dans le cas d’une source non monochromatique, C est une fonction de
Dl
la différence de marche en M et de la largeur spectrale Ds = 2 de la source. La forme de cette
l0
fonction dépend du modèle choisi pour décrire la densité spectrale de la source.
Dans le cas où la fonction de contraste n’est pas périodique, on appelle longueur de cohérence de la source la première valeur dC de d(M) qui annule le contraste. On considère que le
l2
1
contraste est nul pour d > dC. Dans le modèle du profil rectangulaire, on trouve dC =
= 0 .
Ds Dl
Ÿ Avec la source de lumière blanche, Dl est très grand donc la longueur de cohérence est
très faible. L’éclairement sur l’écran change de couleur (teintes de Newton) lorsqu’on s’éloigne très
peu du contact optique puis devient très vite uniformément blanc.
Ÿ La lampe spectrale équipée d’un filtre émet une onde de largeur spectrale plus faible donc
de longueur de cohérence plus grande. Le domaine des valeurs de d inférieures à dC est donc plus
grand.
Ÿ L’onde émise par le laser est quasi monochromatique et la longueur de cohérence est alors
de plusieurs centimètres.
B.3) On a des interférences à deux ondes monochromatiques et synchrones de même amplitude
donc
l’intensité
lumineuses
en
un
point
M
de
l’écran
s’écrit
æ
æ d( M ) ö ö
I ( M ) = 2 I 0 çç1 + cos ç 2p
÷ ÷ où I0 est l’intensité correspondant à une seule onde.
l 0 ø ÷ø
è
è
Le détecteur est placé au foyer de la lentille de projection donc il reçoit les rayons faisant un
angle d’incidence nul sur les miroirs et l’on a d(F’) = 2e = 2(z – z0).
Il vient I ( F ') = 2 I 0 (1 + cos ( 4ps0 ( z - z0 ) ) .
B.4-a) Les ondes correspondant à deux intervalles différents ne sont pas synchrones donc
elles sont incohérentes.
Chaque intervalle de nombre d’onde ds est suffisamment petit pour être considéré comme
créant une onde monochromatique. L’intensité qu’il produit sur l’écran est donc
dI ( F ') = 2G (s)d s (1 + cos ( 4ps( z - z0 ) )
Les ondes correspondant à deux intervalles différents sont incohérentes donc l’intensité résultante est la somme des intensités dues à chaque ondes soit
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Devoir n°8
I ( F ') = ò 2G (s) (1 + cos ( 4ps( z - z0 ) ) d s
¥
-¥
b) Avec l’expression de G(s), il vient I ( F ') = ò
s0 +Ds / 2
s0 -Ds / 2
2G0 (1 + cos ( 4ps( z - z0 ) ) d s
s0 +Ds / 2
æ
ö
é
ù
1
s0 +Ds / 2
÷
sin ( 4ps( z - z0 ) ) ú
= 2G0 ç [s]s0 -Ds / 2 + ê
ç
4
(
z
z
)
p
ë
0
û s0 -Ds / 2 ÷ø
è
æ
é æ æ
1
Ds ö
ö
æ æ
Ds ö
öù ö
= 2G0 çç Ds +
êsin ç 4p ç s0 +
÷ ( z - z0 ) ÷ - sin ç 4p ç s0 ÷ ( z - z0 ) ÷ ú ÷÷
4 p( z - z 0 ) ë è è
2 ø
2 ø
ø
è è
øû ø
è
æ
ö
1
æ Ds
ö
= 2G0 ç Ds +
2sin ç 4p
( z - z0 ) ÷ cos ( 4ps0 ( z - z0 ) ) ÷
4 p( z - z 0 )
2
è
ø
è
ø
æ
ö
ç
÷
1
Ds
æ
ö
sin ç 4p
( z - z0 ) ÷ cos ( 4ps0 ( z - z0 ) ) ÷
= 2G0 Ds ç 1 +
Ds
2
ø
ç 4p
÷
( z - z0 ) è
è
2
ø
æ Ds
ö
sin ç 4p
( z - z0 ) ÷
2
è
ø ou
On obtient la forme demandée en posant C = 2G0Ds et V ( z - z0 ) =
Ds
4p
( z - z0 )
2
æ Ds
ö
( z - z0 ) ÷ .
encore V ( z - z0 ) = sin c ç 4p
2
è
ø
c) Ÿ La fonction V(z) est maximum pour 4p
Ds
( z - z0 ) = 0 soit z = z0. Sur le graphe,
2
on lit z0 = 5,000 mm.
Ds
1
( z1 - z0 ) = p soit ( z1 - z0 ) =
. Sur le gra2
2Ds
phe, on lit z1 – z0 = 0,0025 mm d’où Ds = 200 mm–1 ou encore Ds = 2´105 m–1.
z - z0
1
Ÿ l’interfrange iF est telle que 2p
= 4ps0 ( z - z0 ) soit s0 =
. Sur le graphe, on
iF
2iF
0, 005
compte 20 franges dans le premier lobe de largeur 0,005 mm donc iF =
en mm et
20
20
s0 =
= 2´103 mm–1 ou 2´106 m–1 (ou encore l0 = 0,5´10–6 m soit l0 = 0,5 mm).
2(0, 005)
Ÿ le premier zéro de V(z) correspond à 4p
d) Cette modélisation conduit à une fonction de contraste qui s’annule au delà d’une
certaine valeur de z – z0 ce qui correspond bien aux observations expérimentales. D’après ce qui
1
.
précède, la longueur de cohérence est la largeur du lobe central de la courbe soit l C =
Ds
Ÿ pour la source de lumière blanche ℓC » 1 mm d’où Ds » 106 m–1 ;
Ÿ pour la source spectrale filtrée ℓC » 1 mm d’où Ds » 103 m–1 ;
Ÿ pour la source laser ℓC » ¥ d’où Ds » 0;
B.5) L’amplitude des deux ondes qui interfèrent n’est plus la même. On peut écrire
y1 ( M ) = y 0 e j 2 ps0 ( SM )1 et y 2 ( M ) = ry 0 e j 2 ps0 ( SM )2 .
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L’amplitude
totale
est
(
(
y( M ) = y 0 e j 2 ps0 ( SM )1 1 + r e j 2 ps0 ( ( SM )2 - ( SM )1 )
)(
I ( M ) = k y ( M )y ( M ) = k y0 2 1 + re j 2 ps0d( M ) 1 + re- j 2 ps0d( M )
*
)
(
)
et
l’intensité
= k y 0 2 1 + r2 + re j 2 ps0d ( M ) + re- j 2 ps0d( M )
= k y 0 2 (1 + r2 + r2 cos ( 2ps0 d( M ) ) ) avec d(M) = (SM)2 – (SM)1.
)
En notant I0 = ky02 l’intensité reçue si l’on masque la surface plane et d(F’) = 2e = 2(z – z0)
au point F’, il reste pour l’intensité en F’ :
æ
ö
2r
cos ( 4ps0 ( z - z0 ) ) ÷ .
I ( z ) = I 0 (1 + r2 ) ç1 +
2
è 1+ r
ø
2r
< 1. Les franges ont la même allure et sont
Le facteur de contraste est maintenant C =
1 + r2
positionnées au même endroit mais elles sont moins contrastées. Les franges sombres ne sont plus
noires.
B.6-a) En généralisant le calcul précédent, on peut écrire l’amplitude totale en F’ :
N
æ
ö
y( F ') = y 0e j 2 ps0 ( S1F ) ç1 + å ri e j 2 ps0di ( F ') ÷ en notant di(M) = (SM)i – (SM)1.
è i =1
ø
N
N
æ
öæ
- j 2 ps0 d j ( F ') ö
I ( F ') = k y 0 2 ç1 + å ri e j 2 ps0di ( F ') ÷ ç1 + å ri e
÷
j =1
è i =1
øè
ø
N
N
N
æ
j 2 ps ( d ( F ') -di ( F ') )
- j 2 ps0 ( d j ( F ') -di ( F ') ) ö
= k y 0 2 ç1 + å ri 2cos ( 2ps0 di ( F ') ) + åå ri r j e 0 j
+e
÷.
i
1
i
1
j
1
=
=
=
è
ø
En négligeant les termes en rirj qui sont d’ordre 2, il reste, au premier ordre,
et
l’intensité
devient
)
(
N
æ
ö
I ( z ) = I 0 ç1 + 2å ri cos ( ji ) ÷
i =1
è
ø
en notant ji = 4ps0 ( z - zi ) .
b) En reprenant le calcul le calcul de B.4 et en comparant le résultat obtenu alors à
celui obtenu en B.3, on peut prévoir le résultat suivant :
N
æ
ö
I ( z ) = G0 Ds ç1 + 2å V ( z - zi )ri cos ( ji ) ÷ .
i =1
è
ø
c) Dans le cas N = 2, il reste
I ( z ) = G0 Ds (1 + 2r1 sin c ( 2pDs( z - z1 ) ) cos ( 4ps0 ( z - z1 ) ) + 2r2 sin c ( 2 pDs( z - z2 ) ) cos ( 4 ps0 ( z - z2 ) ) )
L’enveloppe est la somme de deux fonctions sinc, l’une centrée en z = z0 et l’autre en
z0 + 5/Ds. On obtient la courbe suivante :
I(z)
z ‘(en mm)
z1
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z2
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d) On mesure ri (amplitude d’un lobe principal) et zi (abscisse du centre de ce lobe
principal) si le graphe de l’intensité présente des lobes principaux suffisamment séparés les uns des
1
autres c’est-à-dire si zi+1 – zi est très supérieur à la largeur du lobe principal
ou, autrement dit, si
Ds
zi+1 – zi est très supérieur à la longueur de cohérence de la source.
Pour avoir la meilleur résolution possible sur les positions zi, il faut donc choisir la longueur
de cohérence la plus faible possible, c’est-à-dire la source de lumière blanche.
C.1) On observe un maximum d’intensité lumineuse dans une direction q donnée par rapport
à la direction incidente si la différence de marche entre les ondes qui ont traversé deux traits successifs est un multiple entier de la longueur d’onde.
L’onde incidente sur le réseau est plane et les ondes émergentes
observées sont parallèles entre elles donc la différence de marche est
d
q
1
d = dsin(q) avec d = .
n
1
La condition précédente conduit alors à la formule des réseaux sin(qp ) = pl ou p est un
n
1
entier relatif. L’entier p est appelé ordre du pic. On peut écrire p =
sin(qp ) .
nl
C.2) Le détecteur est placé dans le plan focal image de la lentille.
Les rayons déviés dans la direction q avant la lentille convergent en un
q
r
point de rayon r du détecteur tel que
= tan(q) .
f'
En supposant que la lentille travaille dans les conditions de Gauss,
r
on peut faire le développement tan(q) = q + ... d’où q =
+ ...
f'
À la largeur angulaire D ( sin(q) ) » Dq =
sur le détecteur soit Dr = f '
2l
.
L
f’
2l
correspond donc la largeur Dr = f’Dq de la tache
L
2(750 ´10 -9 )
= 7,5´10–6 m ou encore Dr = 7,5 mm.
-2
2 ´ 10
La largeur de ce pic est très inférieure à la largeur d’une cellule de la barrette donc la limite
de résolution du système vient du capteur. Il ne pourra distinguer deux pics que s’ils sont séparés
d’un écart supérieur à a.
Le centre de la tache de diffraction d’ordre zéro est l’image géométrique du point source. Si
la source n’est pas rigoureusement ponctuelle, Le centre du pic correspondant à chaque point source
sera décalé. Comme ces points sources sont incohérents,, les intensités qu’ils créent se superposent.
La tache obtenue sur le capteur sera donc élargie. Les autres taches subissent le même élargissement.
a
au premier
C.3) La largeur angulaire du faisceau reçu par une cellule est telle que da q =
f'
ordre.
Or pour un ordre p donné, la variation angulaire dlq due à une variation dl de la longueur
d’onde est dlq = pndl.
a
La largeur dl des radiations reçues par la cellule est telle que dlq = daq d’où dl =
.
pnf '
A.N. Dr = (10 ´ 10-2 )
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Devoir n°8
r
1
dl
dl
par définition, on a d s = - 2 d’où ds = 2 = s2dl. Avec l’expression
l
l
l
a
s2 .
précédente de dl, il vient ds =
pnf '
Comme s =
A.N. ds =
(100 ´10 -6 )
= 1,25´104 m–1 pour le bleu ;
(500 ´ 103 )(10 ´ 10-2 )(400 ´ 10-9 )2
(100 ´ 10-6 )
ds =
= 3,56´103 m–1 pour le rouge ;
3
-2
-9 2
(500 ´ 10 )(10 ´ 10 )(750 ´10 )
C.4) Les grandeurs a, n et f’ étant fixée par construction, dl ne varie qu’avec l’ordre p. Pour
avoir une largeur dl identique pour toutes les cellules du capteur, il faut donc qu’elles reçoivent
toutes des pics du même ordre. Cela ne peut pas être réalisé simultanément pour toutes les cellules.
Par contre, en plaçant le réseau sur un plateau tournant comme celui d’un goniomètre, on peut le
faire tourner par rapport à l’onde incidente et ainsi sélectionner l’ordre du pic qui arrive sur une
cellule donnée.
D.1) On fait l’image de (M1) sur le capteur CDD placé dans le plan focal image de la lentille
(LP). L’objectif (L1) réalise donc avant (LP) une image de (M1) située à l’infini. Pour cela, il faut que
(M1) soit dans le plan focal objet de (L1). De même, (M2) est dans le plan focal de (L2).
D.2) Les deux objectifs étant identiques ont la même distance focale donc les miroirs sont
dans la même position relative par rapport au capteur. Il n’y a donc pas de différence de marche
entre les rayons passés par les deux miroirs et on doit observer la teinte plate.
D.3-a) Le rayon passant par le centre O1’ de
l’objectif (L1’) n’est pas dévié. Il se réfléchit en I1
I2
I1
sur le miroir (M1’) en semblant provenir de l’image
(M’1)
(M2)
de O1’ par ce miroir. Il arrive en J1 sur l’objectif
(L1’). Il converge ensuite en K1 du plan focal image
J1
J2
O2
O1’
de l’objectif, point où passe le rayon parallèle à I1J1 ( L1’)
( L2)
passant par O1’. Après la lentille (LP), le rayon
f’
converge au point M de l’écran où passe le rayon
K1
K2 PLAN FOCAL IMAGE
parallèle à J1K1 passant par le centre de la lentille
DES OBJECTIFS
(LP).
(LP)
On procède de même pour le rayon passant
par le centre O2 de l’objectif (L2). On remarque que
le tracé O2I2J2K2 est identique à O1I1J1K1.
ECRAN
M x
b) Le théorème de Malus énonce que
les rayons lumineux sont perpendiculaires aux surfaces d’onde.
d
D’après la question précédente, les rayons qui
I2
I1
interfèrent en M étaient parallèles avant de passer par
(M’1)
(M2)
les objectifs (L1’) et (L2). Les surfaces d’onde sont
donc des plans perpendiculaires à ces rayons.
J1
J2
O2
O1’
Après les objectifs, le chemin optique est le ( L1’)
( L2)
i
même pour les deux rayons pendant l’aller-retour obH2
jectif-miroir-objectif. Entre les objectifs et la lentille
H1
(LP), les rayons sont de nouveau parallèles entre eux.
i
La lentille (LP) fait converger les rayons sans modifier
(LP)
la différence de marche.
Les surfaces d’onde sont des plans équiphase
donc (SO1) = (SH1) et (J1M) = (H2M) et la différence de
ECRAN
M x
marche
d(M) = (SM)2 – (SM)1
se
réduit
à
d(M) = |H1O2| + |H2J2| .
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Devoir n°8
Comme |O1’J1| = |O2J2|, il vient |J1J2| = |O1’O2| = d, on a |H1O2| = |H2J2| = dsin(i) = d.i puisest très petit. Il vient donc d(M) = 2d.i et l’éclairement en M s’écrit
æ
æ 2p
x öö
I ( M ) = 2 I 0 (1 + cos ( 2ps0 2d .i ) ) = 2 I 0 çç1 + cos ç 2d .
qui
est
de
la
forme
÷÷ ,
f P ' ø ÷ø
è l
è
l f 'P
æ
x öö
æ
I ( M ) = 2 I 0 ç1 + cos ç 2p ÷ ÷ donc l’interfrange est Dx =
.
2d
è Dx ø ø
è
L’interfrange augmente si d diminue donc on déplace un des objectifs de façon à augmenter
l’interfrange jusqu’à avoir un éclairement uniforme. Alors les axes des objectifs sont alignés.
D.4-a) Si on considère que les longueurs d’onde extrêmes du spectre émis par la source de
lumière blanche sont lB = 400 nm et lR = 750 nm, la longueur de cohérence est
1
1
1
1
lC =
=
soit l C =
. A.N. l C =
= 0,9 mm.
1
1
1
1
1
1
Ds
lB lR
lB lR
400 ´ 10-9 750 ´10 -9
que
i
b) On voit N = 12 franges dans l’interférogramme de largeur ℓ donc l’interfrange est
l
l lf 'P
Dx = . Avec l’expression de Dx obtenue à la question précédente, on obtient
=
d’où
N
N
2d
lNf 'P
d=
.
2l
A.N. En prenant comme longueur d’onde la longueur d’onde moyenne entre lB et lR, on
(575 ´ 10-9 )(12)(20 ´ 10-2 )
trouve d =
= 1,15´10–3 m soit d = 1,15 mm.
-3
2(0, 6 ´ 10 )
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