Formule d`inversion de Fourier

Formule d’inversion de Fourier
Arnaud Girand
18 août 2012
Référence :
– [QZ07] p. 331–332
Pour f ∈ S(R) on définit sa transformée de Fourier comme suit :
Z
b
e−itx f (x)dx
f (t) :=
R
Proposition 1
Soit f ∈ S(R).
Alors :
∀x ∈ R,
f (x) =
1 bb
1
f (−x) =
2π
2π
Z
R
eitx fb(t)dt
Démonstration : Pour ε > 0 on pose fε : t 7→ e−εt eitx fb(t). Alors :
– les fε sont L1 ;
– fε (t) −−−→ eitx fb(t) presque partout sur R ;
2
ε→0
– |fε | ≤ |fb| ∈ L1 (R).
De fait, par théorème de convergence dominée on a :
Z
Z
1
1
−εt2 itx b
e
e f (t) −−−→
eitx fb(t)dt
ε→0 2π R
2π R
Remarquons à présent à présent que pour tout x ∈ R on a :
Z Z
Z
Z
2
2
|eit(x−y) e−εt f (y)|dydt ≤
e−εt dt |f (y)|dy < ∞
R
R
R
R
De fait, par théorème de Fubini–Tonelli on a :
Z
Z Z
2
2
1
1
eitx−εt fb(t)dt =
eit(x−y) e−εt f (y)dydt
2π R
2π R R
Z Z
2
1
=
eit(x−y) e−εt f (y)|dtdy
2π R R
Z
Z
2
1
f (y) eit(x−y) e−εt dtdy
=
2π R
R
√ Z
2
1 π
√
=
f (y)e(y−x) /4ε dy (cf. infra)
2π ε R
Z
√
√
2
1
e−y f (x + 2 εy)dy via y 7→ x + 2 εy)
= √
π R
Une nouvelle application du théorème de convergence dominée nous indique que :
Z
Z
√
√
2
−y 2
e−y dyf (x) = πf (x)
e f (x + 2 εy)dy −−−→
R
ε→0
D’où le résultat via la relation ( 1 ).
1
R
(1)
Détails supplémentaires :
– Ce développement est trop court en l’état, il sera donc nécessaire de l’allonger le moins
artificiellement possible. Le jour de mon oral d’agrégation, j’ai proposé en première partie la
démonstration du fait que si f ∈ S(R) alors fb ∈ S(R). On pourrait aussi inclure le calcul de
l’intégrale de Gauss "généralisée" (cf. infra, ou alors la version avec prolongement analytique).
Tous ces "petits" résultats se trouvent dans [QZ07] dans un voisinage de la page 330.
R
2
– Il nous reste à justifier le calcul de R eit(x−y) e−εt dt. Posons :
Z
2
I(x) =
e−itx e−εt dt
R
2
Alors comme la fonction (x, t) 7→ e−itx e−εt est C 1 selon sa première variable, intégrable selon
2
sa deuxième et que sa dérivée "en x" est dominée par t 7→ te−εt qui est intégrable on a, par
théorème de dérivation sous le signe intégral que I est de classe C 1 et que :
Z
d −itx −εt2
(e
e
)dt
I ′ (x) =
dx
R
Z
2
= (−it)e−itx e−εt dt
R
Z
2
i
d
=−
e−itx (e−εt )dt
2ε R
dt
Z
i
d −itx −εt2
=
(e
)e
dt en intégrant par parties
2ε R dt
Z
2
i
=
(−ix)e−itx e−εt dt
2ε R
x
= I(x)
2ε
De fait I(x) = I(0)e(x/2ε)/2 . Or :
Z
2
e−εt dt
R
Z
2
1
t
= √
e−t dt via t 7→ √
ε R
ε
√
π
= √
ε
I(0) =
D’où :
Z
R
e
it(x−y) −εt2
e
√
2
π
dt = I(y − x) = √ e(y−x) /4ε
ε
Références
[QZ07] Hervé Queffélec and Claude Zuily. Éléments d’analyse pour l’agrégation (3e édition). Dunod, 2007.
2