Convergence Dominée

Lycée Berthollet, 2014/2015
http://mpberthollet.wordpress.com
MP
Résumé 09 : Convergence Dominée
§ 2. Paramètre continu.— On peut décliner un version non discrèteZde ce théorème, i.e pour les fonctions définies par une intégrale de type x 7−→
Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C.
....................................Z
......................................Z...............................................................................................................................................
1
fn (x)dx =
lim
n→+∞
I
lim fn (x)dx
I n→+∞
§ 1. Paramètre discret.— Tout ce chapitre repose sur le théorème suivant,
dont la preuve ne figure pas au programme :
Théorème 1.1 (Convergence dominée)
fn (t)dt −−−−−→
n→+∞
I
Vous devez vous convaincre que c’est exactement le même que le précédent, afin
qu’il ne nécessite aucun effort supplémentaire de votre part pour le retenir :
R
Théorème 1.2 (Convergence dominée pour I f (x, t)dt)
¯ et f : (x, t) ∈ J × I 7−→ f (x, t) ∈ C. Si
Soient I et J deux intervalles, x0 ∈ I,
I pour tout x ∈ J, fx : t ∈ I 7−→ f (x, t) est continue par morceaux.
I pour tout t ∈ I, f (x, t) −−−−→ f (t).
x→x0
Soit I un intervalle. Si
I (fn )n∈N est une suite de fonctions de I dans C continues par morceaux.
I fn n∈N converge simplement sur I vers une fonction f .
0
(I, R) intégrable sur I telle que pour tout
I il existe une fonction ϕ ∈ Cm
n ∈Z N, |fn | 6 ϕ,
Z
alors
f (x, t)dt.
I
0
(I, R) intégrable sur I telle que pour tout
I il existe une fonction ϕ ∈ Cm
x ∈Z J, |fx | 6 ϕ,
Z
f (x, t)dt −−−−→
alors
I
x→x0
f (t)dt.
I
f (t)dt.
I
R EMARQUES :
1. L’hypothèse de domination est indispensable :
2
−nt
n te
Z
−−−−−→ 0 sur R+ mais
n→+∞
0
+∞
n2 te−nt dt −−−−−→ 1.
n→+∞
2. ϕ doit être à la fois intégrable et indépendante de n. La difficulté est souvent
de parvenir à déterminer cette fonction ϕ. ϕ(t) = supn∈N |fn (t)| est un bon
candidat, mais on peut avoir des difficultés à en trouver une expression, et donc
à déterminer sa régularité et son intégrabilité. Voyons quelques cas :
I Si pour tout n, 0 6 fn 6 fn+1 , on pourra prendre ϕ = f , car alors f =
supn fn .
I De la même manière, si 0 6 fn+1 6 fn , on pourra prendre ϕ = f1 .
I On pourra enfin essayer de fixer t et d’étudier la fonction x 7−→ fx (t) pour
déterminer sa borne supérieure.
Résumé N °9 : Convergence dominée
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Z X
+∞
+∞ Z
X
2
fn (t)dt =
fn (t)dt.
I n=0
I
n=0
A ce stade de l’année, nous n’utiliserons que les deux développements en séries de fonctions
suivants :
I Pour tout complexe z, ez =
+∞
X
zn
n!
n>1
.
d’appliquer le théorème de convergence dominée aux suites partielles :
n=0
Théorème 2.2 (Convergence dominée pour les séries)
+∞
I Pour tout complexe z de module < 1,
X
1
=
zn .
1−z
n=0
Nous allons ici particulariser la question de la section précédente au cas où les Sn sont des sommes
Pn
partielles de séries de fonctions, i.e où Sn =
f =
+∞
X
k=1
fk et
Z X
n
I k=0
fk =
n Z
X
k=0
k=0
fk . Dans ce cas, le limite simple de Sn s’écrit
fk est une série numérique. On cherche ainsi des hypothèses qui
I
permettent d’intervertir les symboles
Théorème 2.1 (Interversion
+∞
X
Ce théorème, d’application aisée, contient une hypothèse forte (le troiZ 1X
+∞
(−1)n
sième) : il est muet par exemple sur une intégrale comme
dt car
0 n=1 t + n
Z
X 1 (−1)n t + n dt diverge. Nous avons dans ce cas comme recours la possibilité
0
Z
et
.
k=0
I
P+∞
et
k=0
R
I
)
Soit I un intervalle. SI
I Pour
P tout n ∈ N, fn est continue par morceaux et intégrable sur I,
I
n>0 fn converge simplement sur I vers une fonction f continue par
morceaux sur I , P
R I la série numérique n>0 I fn (t)dt converge,
Z X
+∞
+∞ Z
X
alors f est intégrable sur I, et
fn (t)dt =
fn (t)dt.
I n=0
n=0
I
Soit (fn ) une suite de fonctions définies sur I et ∀n ∈ N, Sn =
n
X
fk . Si
k=0
I P
Pour tout n ∈ N, fn est continue par morceaux,
I
fn converge simplement sur I vers une fonction S continue par morceaux sur I,
I Il existe ϕ : I → R+ continue par morceaux et intégrable sur I telle que
pour tout n ∈ N, |Sn | 6 ϕ,
alors
I S et tous les fn sont intégrables sur I, et
I
Z X
+∞
+∞ Z
X
fn (t)dt =
fn (t)dt.
I n=0
n=0
I
R EMARQUES :
1. La majoration de (Sn ) par une fonction indépendante de n et intégrable peut être
remplacée par une majoration des restes (Rn ) par une fonction indépendante de
n et intégrable. C’est absolument équivalent car Sn + Rn = S.
2. La difficulté provient à nouveau de la majoration, car elle nécessite une expression
des sommes partielles (ou des restes partiels), et nous l’avons rarement, si ce n’est
lorsque la série est géométrique ou alternée (sous réserve qu’elle vérifie le critère
de Leibnitz). C’est le cas dans l’exemple précédent, où la série étant alternée et
1
vérifiant le critère de Leibniz, |Rn (t)| 6 n+1+t
6 1 qui est intégrable sur [0, 1].
Résumé N °9 : Convergence dominée
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