Diffusion thermique

1
Diffusion thermique
• Définition Diffusion (= conduction) thermique = transfert d’énergie dans un support matériel sans mouvement macroscopique,
mettant en jeu des chocs (fluides) ou vibrations (solides) des particules du support. Origine : inhomogénéité du champ de température
⇒ l’énergie est transportée des régions chaudes vers les régions froides (cf. 2nd principe).
−
→
• Vecteur densité de flux de chaleur L’expérience montre qu’on peut définir un vecteur densité de flux de chaleur jQ (J·m−1 ·s−1 )
−
→→
→
tel que la chaleur δ 2 Q traversant un élément de surface orienté −
n dS entre t et t + dt vaut δ 2 Q = j .−
n dS dt
Q

→
→
δ Q comptée positivement si elle traverse −
n dS dans le sens positif défini par −
n dS, et comptée négativement sinon ! −→ la diffusion
thermique est un phénomène directif.
2
• Flux thermique élémentaire à travers un élément de surface
• Flux thermique à travers une surface S

φ=
Z
S
dφ =
Z
S
dφ =
δ2Q
=
dt
Z
δ2Q −
→→
= jQ .−
n dS
dt
S
−
→→
−
→
jQ .−
n dS (en W, donc || jQ || en W·m−2 ).
φ est une puissance (thermique) !
• Chaleur reçue par un élément de volume Un volume élémentaire dτ reçoit pendant le temps dt le transfert thermique élémentaire

−
→
δ 2 Q = −div jQ dτ dt
Il s’agit d’une quantité reçue par le système (donc avec une normale entrante).
ZZ
−→ →
−
−
Démonstration : Pour un volume V , δQ = dt
jQ .−
n dSint où →
n dSint est la normale entrante opposée à la normale sortante →
n dSext . En utilisant Ostrogradski :
Σ
ZZ
ZZZ
−→ →
−→
δQ = −dt
jQ .−
n dSext = −dt
div jQ dτ , d’où si V = dτ , la chaleur reçue est un δ2 Q et le résultat.
Σ
V
• Équilibre thermodynamique local Soit un élément de volume dτ mésoscopique (i.e. de dimension faible devant les échelle macroscopiques mais suffisamment grande pour qu’il contienne un nombre suffisant de particules pour constituer un système thermodynamique : ≈ 1µm dans les CNTP) centré en M et à chaque instant infiniment près d’un état d’équilibre thermodynamique ⇒ on peut
définir T (M, t) et u(M, t). On dit qu’on est à l’équilibre thermodynamique local (ATTENTION ! local ⇒ T et u dépendent du point
M !).
Dans la suite, on considère toujours un volume élémentaire dτ mésoscopique infiniment proche d’un état d’équilibre thermodynamique,
de façon à pouvoir définir à chaque instant t et en chaque point M des champs scalaires thermodynamiques tels la température T (M, t)
et l’énergie interne massique u(M, t). On parle d’équilibre thermodynamique local pour signifier que ces champs peuvent effectivement
dépendre du point M . Le modèle de l’ETL est adapté aux systèmes hors équilibre mais tout de même très proches d’un état d’équilibre.
• Bilan d’énergie local Sous les hypothèses rayonnement et convection négligeables, absence de sources d’énergie interne on a
∂T
−
→
par application du premier principe : div jQ + µcv
=0
∂t
−
→
Cette équation permet de déterminer la température T connaissant le vecteur jQ , ce qui relève de la loi de Fourier.
Démonstration : On considère un élément de volume fermé dτ centré en un point M , et non soumis à un phénomène de convection. Cela implique notamment pour dτ
que : a) sa variation d’énergie cinétique macroscopique est nulle ; b) son volume ne varie pas, donc le travail des forces de pression est nul ; c) il ne se déplace pas entre
les instants t et t + dt.
−→
dτ reçoit par diffusion thermique le transfert thermique élémentaire δ2 Q = −div jQ dτ dt (on néglige toute autre chaleur reçue). Par ailleurs, sa variation d’énergie
interne se réduit à d2 U = dU (M, t + dt) − dU (M, t) = dm(u(M, t + dt) − u(M, t)) = µdτ (u(M, t, +dt) − u(M, t)) où u est l’énergie interne massique
∂T
∂T
et dm = µdτ est la masse de dτ . Or de l’expression de la variation élémentaire d’énergie interne massique du = cv dT = cv
dt + cv
dM , on déduit (au
∂t
∂M
∂T
∂T
2
premier ordre et vu que le point M est constant) u(M, t + dt) − u(M, t) = cv
dt d’où d U = µcv
dtdτ .
∂t
∂t
∂T
−→
Par application du premier principe, on déduit que µcv
dtdτ = −div jQ dτ dt, et le résultat en simplifiant par dτ dt.
∂t
NB : 1) pas de convection ⇒ le système fermé ne se déforme pas, et le travail des forces de pression est nul. 2) S’il y avait convection, il y aurait chaleur reçue par effet
de viscosité.
• Loi de Fourier – Dans les conditions usuelles de la diffusion thermique (i.e. échelle spatiale δ ≫ 1 µm et temporelle τ ≫ 1 ns), on
−
→
−
→ T avec λ coefficient positif caractéristique du milieu = conductivité thermique en W·K−1 ·m−1 .
a : j = −λ −
grad
Q
→
−
→ T.−
→
En conséquence, le transfert thermique qui traverse la surface dS (orientée par −
n dS) pendant dt vaut δ 2 Q = −λ −
grad
n dSdt. On
−
→
peut dire aussi que cette quantité est le transfert thermique qui traverse dS dans le sens de la normale n .
– Ordre de grandeur de λ : 400 W.K−1 .m−1 pour les bons conducteurs thermiques comme le cuivre ; 1 W·K−1 ·m−1 pour l’eau, le verre,
la pierre, le ciment ; 10−2 W·K−1 ·m−1 pour l’air et les gaz dans les conditions usuelles.
NB : 1) Le flux thermique va des zones chaudes vers les zones froides : cf. le signe moins “-”. 2) et le flux est nul si température uniforme. Tout cela est conforme à
dT
dT
−
→ T et →
−
l’expérience. 3) Lorsque la surface dS est une isotherme, les vecteurs −
grad
n sont colinéaires, et dans ce cas jQ = −λ
ou δ2 Q = −λ
dSdt.
dx
dx
2
• Limitations de la loi de Fourier Loi phénoménologique → domaine de validité limité ! La loi relie de manière linéaire et instan→
−
→ T ) du phénomène de diffusion à son effet (l’existence de −
tanée la cause (le −
grad
jQ ).
Linéarité → peut être remise en cause si le gradient de T est trop élevé, i.e. si échelle spatiale δ caractéristique des variations de T (M, t)
devient trop faible.
L’instantanéité de la réponse peut être remise en cause si l’échelle temporelle τ caractéristique des variations de T (M, t) devenait trop
faible. (Dans les gaz, τ doit être ≫ à la durée moyenne entre deux chocs.)
−
→
• Équation de la chaleur (cas λ constant) Équation bilan (permet de décrire l’évolution du champ de température pour un flux jQ
−
→
donné) + loi de Fourier (fournit jQ pour un champ de température donné) = équation de la chaleur (pilote l’évolution du champ de
∂T
λ
= Dth ∆T avec Dth =
température) :
(diffusivité thermique en m2 ·s−1 : Dth ≈ 10−5 m2 ·s−1 dans les gaz).
∂t
µcv

Ceci est valable pour un milieu homogène dont la conductivité ne dépend pas de T .
P
∂T
S’il y a une source interne de puissance volumique P , alors l’équation s’écrit Dth ∆T +
=
λ
∂t
∂T
→
−
−
→ ) = ∆ : div −
−
−
→ T ) + µc ∂T = −λ∆T + µc ∂T .
Démonstration : On suppose que λ est constante et on utilise div (grad
jQ + µcv
= div (−λgrad
v
v
∂t
∂t
∂t
• Caractères généraux de l’équation de la chaleur (i) Comportement par renversement du temps : La diffusion thermique est un
phénomène irréversible.
p
(ii) Lien entre les échelles caractéristiques : l’équation de la chaleur impose en ordre de grandeur : δ ≈ Dth τ ⇒ dissymétrie espace
et temps (trait important des phénomènes diffusifs). Les phénomènes diffusifs ne sont efficaces qu’à petite échelle spatiale.
Ex : pour homogénéiser la température d’un solide de Dth = 10−4 m2 ·s−1 , il faut 1 seconde si δ = 1 cm et 3 heures si δ = 1 m !
De plus, les phénomènes diffusifs non entretenus s’étouffent au cours du temps.
(iii) Linéarité : l’EC est linéaire ⇒ superposition des solutions.
(iv) Conditions initiales et conditions aux limites : elles sont nécessaires pour résoudre l’EC. Il faut distinguer : 1) les conditions initiales : T (M, t = 0) en tout point du volume étudié à l’instant initial. 2) Des conditions aux limites : T (M, t) en tout point de la surface
étudiée à tout instant.
• Analogie avec la conduction électrique en régime stationnaire
→→
−
→→
−
→ T ↔ −−
−
→ V . (ii) Effet : δ 2 Q = −
1. Grandeurs correspondantes : (i) Cause : −−
grad
grad
jQ .−
n dSdt ↔ δ 2 q = j .−
n dSdt. (iii) Loi
∂T
−
→
−
→
−
→
−
→ ∂ρ
−
−
→
−
−
→
phénoménologique : jQ = −λgrad T ↔ j = −σ grad V . (iv) : Équation bilan : div jQ + µcv
= 0 ↔ div j +
= 0. (v)
∂t
∂t
Grandeur : i ↔ φ et V ↔ T .
−
→
−
→
−
→ −
→
2. Loi des noeuds : régime stationnaire ⇒ les équations bilans se simplifient en : div j = 0 et div jQ = 0 ⇒ j et jQ à flux
conservatif ⇒ loi des noeuds pour φ, i.e. le flux thermique a même valeur à travers toutes les sections d’un même tube de
courant et la somme des flux thermiques sortant d’un nœud est nulle.
3. Résistance et conductance thermique : la loi de Fourier a même forme que la loi d’ohm ⇒ on peut définir la résistance thermique
−
→
Rth et la conductance thermique Gth par d’un tube de courant jQ entre deux sections S1 (T1 ) et S2 (T2 ) par : T1 − T2 = Rth φ
soit φ = Gth (T1 − T2 ) .
• Calcul de la résistance thermique d’un cylindre en régime stationnaire Soit un cylindre de longueur L et section S calorifugé sur
L
λS
⇐⇒ Gth =
.
λS
L
Le formalisme étant le même, on admet que les résistances (resp. les conductances) thermiques s’ajoutent en série (resp. en parallèle).
les bords, conductivité λ, T (x = 0) = T1 et T (x = L) = T2 . Alors Rth =
∂jQ
−→
−→
→
−
Démo. : Régime stationnaire ⇒ flux conservatif (div jQ = 0). Or, problème à une dimension : jQ = jQ (x) i et donc 0 =
, et donc jQ = cte. On utilise la loi de
∂x
ZZ
∂T
λS
−→→
Fourier et on intègre entre x = 0 et x = L : −λ
= jQ ⇒ −λ(T2 − T1 ) = jQ L. D’où le flux thermique : φ =
jQ −
n dS = jQ S =
(T1 − T2 ), et on en
∂x
L
déduit Rth .
−
→
NB : Régime stationnaire ⇒ φ et j Q sont constants !
3
• Cas de la géométrie cylindrique en régime stationnaire : température, résistance, flux Soit un conducteur cylindrique de rayon
intérieur r1 et de rayon extérieur r2 , de hauteur h. La partie intérieure est maintenue à T1 et la température extérieure à T2 . On se place
r2
ln
r1
T2 − T1
r
T2 − T1
r
T1 − T2
= T2 + ln
φ = λ2πh Rth =
en régime stationnaire. Alors T (r) = T1 + ln
r2
r2
r2
r
r
2πλh
1
2
ln r1
ln r1
ln r1
Démonstration : (i) Température La géométrie impose que la température est radiale et ne dépend que de r. Pour l’obtenir, on va résoudre l’équation de la chaleur
d2 T
1 dT
en coordonnées cylindriques et régime stationnaire. On a donc ∆T =
+
= 0. En intégrant deux fois il vient T (r) = A ln r + B. On détermine les
dr 2
r dr
T2 − T1
T2 − T1
, puis B = T1 −
, d’où la température
constantes A et B en écrivant les conditions aux limites en r1 et r2 : Ti = A ln ri + B. Il vient A =
ln rr2
ln rr2
1
1
T2 − T1
r
ln
T (r) =
+ Ti avec i = 1 ou 2.
ri
ln rr2
1
dT
T1 − T2
(ii) Flux thermique On a φ(r) = −λ2πrh
, d’où en dérivant le résultat obtenu ci-dessus pour la température, il vient φ(r) = λ2πh . On obtient bien un
dr
ln r2
r1
flux constant (i.e. indépendant de r), ce qui est conforme aux conclusions du régime stationnaire.
(iii) Résitance thermique On peut soit utiliser les deux résultats précédents et la relation T1 − T2 = Rth φ, ou faire un calcul direct. en effet, le flux est constant, donc en
dT ]
dT
φ dr
intégrant sur un cylindre de rayon r (entre r1 et r2 ) l’expression φ = −λ2πrh
, on obtient φ = −λ2πrh
, soit dT = −
. On intègre entre r1 et r2 ,
dr
dr
λ2πh r
r2
ln r
φ
r2
1
il vient T2 − T1 = −
ln
. Or par définition, φ = Rth (T1 − T2 ), d’où Rth =
.
λ2πh
r1
2πλh
T1 − T2
dT
T1 − T2
= λ2πh
.
= −λ2πrh
D’où le flux φ = −λ2πrh
r1
dr
r ln
r ln r2
r2
r1
• Équation de la chaleur (cas général : aucune hypothèse sur λ) Système : volume V limité par une surface Σ d’un corps de masse
volumique ρ, capacité calorifique massique à volume constant cv et conductivité thermique λ. L’équation vérifiée par la température T
−
−
→ λ.−
−
→ T
λ
grad
grad
P
∂T
est (en posant Dth =
) Dth ∆T +
+
=
µcv
λ
λ
∂t
Démonstration : On la refait dans le cas général sans utiliser les résultats obtenus précédemment (chaleur reçue par un volume pour Q1 , bilan local...) :
1. Quantité de chaleur Q1 entrant dans V pendant dt. Pour un élément de surface dS, le transfert thermique qui pénètre dans V par dS vaut d’après la loi de Fourier
−
→ T.→
−
2
δZZ
Q = λ−
grad
n dSdt (le signe moins est compensé par le signe moins de la normale
sortante). D’où le transfert thermique total qui pénètre dans V : Q1 =
ZZZ
−
−
→
→
−
−
→ T )dτ dt.
λgrad T. n dSdt. En utilisant Ostrogradsky (normale sortante) il vient : Q1 =
div (λ−
grad
Σ
V
2. Quantité de chaleur Q2 créée dans V par source interne. Soit P le flux de chaleur créé par unité de volume (ou : puissance volumique) dans V, alors Q2 =
ZZZ
P (x, y, z)dτ dt.
V
∂T
3. Quantité de chaleur Q3 nécessaire à la variation de température de V. D’après les principes de la calorimétrie, on a δ2 Q3 = µdτ cv dT = µdτ
dt (car les autres
∂t
ZZZ
∂T
variables restent constantes), d’où Q3 =
µcv
dτ dt.
∂t
V
−
→ T ) + P (x, y, z) = µc ∂T . En développant la
4. Bilan énergétique. On a bien entendu Q1 + Q2 = Q3 vrai pour tout volume V et tout instant t, d’où div (λ−
grad
v
∂t
∂T
−
−
→
−
−
→
−
−
→
divergence il vient : λdiv (grad T ) + grad λ.grad T + P = µcv
, d’où le résultat en divisant par µcv et introduisant Dth .
∂t
−
→ T =
• Équation de la chaleur en coordonnées cylindriques Le gradient s’écrit −
grad
∂T 1 ∂T ∂T
,
,
∂r r ∂θ ∂z
et le laplacien ∆T =
r,θ,z
∂2T
1 ∂T
1 ∂ 2T
∂2T
∂T
−
−
→
+
+ 2
+
. Si la température n’est fonction que de r, les expressions se réduisent à grad T =
, 0, 0
∂r2
r ∂r
r ∂ϕ2
∂z 2
∂r
r,θ,z

1
∂T
∂2T
1 ∂T
( il s’agit bien d’une dérivée partielle car T dépend aussi a priori du temps...), et ∆T =
r
=
+
r
∂r
∂r2
r ∂r
On peut retrouver directement l’équation de la chaleur dans ce système de coordonnées. Soit
une tranche de cylindre d’axe (Oz), de
∂T 2
rayon r et de hauteur h. Le transfert thermique entrant dans le cylindre vaut δ Qr = −λ
2πrhdt, et le transfert thermique sortant
∂r r
∂T du cylindre r + dr vaut δ 2 Qr+ dr = −λ
2π(r + dr)hdt. D’où le transfert thermique pénétrant dans le volume formé par
∂r r+ dr
2
∂ T
1 ∂T
le cylindre élémentaire résultant a : δ 2 Qr − δ 2 Qr+ dr = λ2πrh
+
drdt, et on reconnaı̂t le laplacien en coordonnées
∂r2
r ∂t
∂T
dt,
cylindriques : δ 2 Qr − δ 2 Qr+ dr = λ2πrh∆T drdt. Ce transfert thermique a pour effet d’élever la température de µcv 2πrh dr
∂t
∂T
∂T
d’où en simplifiant : λ∆T = µcv
, soit Dth ∆T =
∂t
∂t
"
#
2
∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂ T
1 ∂T
a. Car (r + dr)
−r
=r
−
+
dr = r
+
dr.
∂r r+ dr
∂r r
∂r r+ dr
∂r r
∂r r+ dr
∂r 2
r ∂r
4
−
→ T =
• Équation de la chaleur en coordonnées sphériques Le gradient s’écrit −
grad
−
→ T =
n’est fonction que de r, l’expressions se réduit à −
grad
∂T
, 0, 0
∂r
∂T 1 ∂T
1 ∂T
,
,
∂r r ∂ϕ r sin θ ∂θ
et le laplacien vaut ∆T =
r,ϕ,θ
. Si la température
r,ϕ,θ
1 ∂ 2 (rT )
∂2T
2 ∂T
=
+
r ∂r2
∂r2
r ∂r
• Ondes thermiques On considère un demi-espace x > 0, et on cherche en régime stationnaire des solutions sinusoı̈dales de l’amplitude θ(x) de la température à la profondeur x. Si T0 est la température moyenne uniforme, on cherche donc T en notation complexe de la
d2 θ
iω
forme T (x, t) = T0 + θ(x)eiωt . L’équation de la chaleur devient en complexes : Dth 2 = iωθ, d’équation caractéristique r2 =
dx
Dth
r
r
r
ω
1+i
ω
1+i
2Dth
=
et r2 = −(1 + i)
=
, avec δ =
qui a pour solution r1 = (1 + i)
2Dth
δ
2Dth
δ
ω
r1
r2
On en déduit θ(x) = θ1 e + θ2 e . Or la première partie de la solution tend vers l’infini en module quand x → ∞ (à cause du ex/δ ),
x
x
On a donc une onde thermique atténuée.
donc θ1 = 0, et il vient T (x, t) = T0 + θe− δ cos ωt −
δ
r
r
2Dth
2Dth
La quantité δ =
=
est appelée épaisseur de peau. On a : plus la fréquence de l’onde ↑, plus la pénétration est faible.
ω
2πν
p
√
La vitesse de propagation vaut : v = δω = 2Dth ω = 4πν : plus la fréquence de l’onde ↑, plus sa vitesse ↑.
• Température dans un conducteur électrique cylindrique Soit un fil conducteur de rayon a et section S, parcouru par un courant
continu d’intensité I et plongé dans un thermostat à T1 (air ambiant par exemple). On se place en régime stationnaire. La puissance
d(RI 2 )
I 2 dl
I2
volumique due à l’effet Joule vaut P =
=
=
. En coordonnées cylindriques, l’équation de la chaleur s’écrit
dτ
γS × S dl
γS 2
d2 T
1 dT
P
+
+
= 0 (régime stationnaire).
dr2
r dr
λ
Soit r la distance de l’axe à un point du conducteur en coordonnées cylindriques. On cherche une solution particulière de la forme
P
P
T (r) = αrn . α et n doivent vérifier αn(n − 1)rn−2 + αnrn−2 +
= 0, d’où nécessairement n = 2 et alors α = − .
α
4λ
1
P
On cherche la solution générale sous la forme T (r) = − r2 + F (r). La fonction F vérifie alors l’équation F ′′ (r) + F ′ (r) = 0, d’où
4λ
r
Pr2
F (r) = A ln r+B (A et B deux constantes réelles), et T (r) = A ln f +B −
. On a nécessairement A = 0 car la température ne peut
4λ
pas physiquement tendre vers +∞. B est déterminé par la condition aux limites : T (a) = T1 (température à l’extérieur du fil). On trouve
I 2 a2
Pa2
P 2
B = T1 +
, d’où T (r) = T1 +
(a − r2 ) : la température dans le fil est un arc de parabole de sommet T (0) = T1 +
4λ
4λ
4γS 2 λ
et qui vaut T1 en a.
Rayonnement thermique
• Flux d’émission Corps porté à une certaine température ⇒ émission de rayonnement électromagnétique car mouvement accéléré
des porteurs de charges de la matière ⇒ φe = flux surfacique d’émission = puissance émise par unité de surface. ⇒ énergie interne U
est convertie en énergie radiative.
• Flux d’absorption La matière absorbe un rayonnement EM ⇒ mise en mvt des porteurs de charge (conversion inverse de l’émission :
l’énergie EM est transformée en Ec ou Ep microscopique, i.e. en U ) ⇒ flux surfacique absorbé = φa .
• flux réfléchi et diffusé Surface d’un corps ⇒ flux réfléchi si la direction renvoyée obéit aux lois de Descartes, et flux diffusé si
le renvoi se fait dans toutes les directions (NB : dans les 2 cas, sans changement de longueur d’onde) ⇒ flux surfacique réfléchi ou
diffusé φr = flux repartant vers le milieu incident.
• Milieux transparents ou opaques Transparent = transmet intégralement le rayonnement reçu ⇒ ni absorption, ni réflexiondiffusion ⇐⇒ φa = φr = 0. opaque = ne transmet pas le rayonnement reçu qui est donc absorbé et/ou réfléchi-diffusé ⇐⇒ φa
et/ou φr 6= 0.
→
• Flux incident Hypothèses : on considère un corps opaque et on compte tous les flux positivement, i.e. on oriente la normale de −
n dS
dφ
dans le sens du flux considéré. On note ϕ =
les flux surfaciques.
dS

On considère des flux surfaciques en un point : ϕ(M ).
• Flux surfacique incident ϕi = puissance surfacique du rayonnement incident : ϕi = ϕa + ϕr .
5
• Flux surfacique partant
opaque : ϕp = ϕr + ϕe .
Mêmes hypothèses que flux incident ⇒ ϕp = puissance surfacique du rayonnement quittant le corps
• Flux radiatif ϕR = flux partant - flux incident : ϕR = ϕp − ϕi = ϕe − ϕa . Quantité qui mesure le flux global au point considéré
de la frontière ⇒ c’est lui qui intervient dans les bilans d’énergie. Sgn(ϕR ) > 0 si émission > absorption.
• Équilibre radiatif Équilibre radiatif avec le rayonnement environnant si ϕR = 0 ⇒ ϕp = ϕi et ϕe = ϕa .

Equilibre radiatif 6⇒ équilibre thermique.
• Équilibre radiatif et thermique ERT Système étudié (corps opaques) placé dans un milieu transparent (≈ vide) ⇒ vitesse des
ondes EM = c indépendante de ν. Système + rayonnement environnement = par hypothèse système thermodynamique à la température
T + système en équilibre radiatif.
• Densité spectrale du rayonnement ERT (admis)
Le rayonnement ERT a un spectre continu, avec uλ = densité spectrale en
Z ∞
−4
longueur d’onde et la densité d’énergie EM dans l’intervalle [λ, λ + dλ] : du = uλ dλ (uλ en J·m ) ⇒ u =
uλ dλ Il s’agit de
0
densités volumiques : J·m−3 .
NB : on peut aussi définir la densité spectrale en fréquence uν telle que dans [ν, ν + dν] : du = uν dν , d’où u =
uν (ν, T ) =
λ2 u
λ (λ, T )
c
Z
∞
uν dν . La relation entre les deux est :
0
(on différentie ν = c/λ et on identifie les deux densités...).
• Loi de Planck (admis)
uλ (λ, T ) =
rayonnement ERT).
1
8πhc
λ5 e λkhc
BT − 1
= répartition spectrale de rayonnement d’équilibre thermique (⇒
• Densité spectrale des flux incident et partant Comme on est à l’ERT, ϕi = ϕp . On note ϕ0 cette valeur commune. On a dϕ0 =
cuλ (λ, t)
⇒ le rayonnement thermique est aussi bien décrit par la densité spectrale en énergie uλ que
4
par la densité spectrale en flux incident Fλ .
• Remarque : Seuls les flux incident et partant son connus, et sont indépendants de la nature des corps opaques en ERT et équilibre
thermique avec le rayonnement. Par contre, les flux émis et absorbés dépendent eux de la nature des corps opaques !
F (λ, T ) dλ avec : Fλ (λ, T ) =
• Loi du déplacement de Wien F (λ) passe par un maximum pour une longueur d’onde λm qui dépend de la température :
λm T = C ≈ 3.103 µm·K . Ce maximum se déplace vers les courtes longueurs d’ondes lorsque T augmente.
98% de la puissance est émise dans l’intervale 0, 5 < x < 8 où x = λ/λm .
Ex : λm = 10 µm pour T = 300 K : le rayonnement émis par la Terre ou par les êtres humains est situé dans l’infra-rouge ; λm = 0, 6 µm
pour T = 5000 K : cf. soleil...
• Loi de Stefan
les flux surfaciques hémisphériques totaux (sur un élément de paroi soumis à un rayonnement d’équilibre de
4
2π 5 kB
température T ) pour le rayonnement ERT valent ϕ0 = σT 4 avec σ =
= 5, 67 · 10−8 W·m−2 ·K−4 (constante de Stefan).
15h3 c2
Z
4 4 Z
∞
Démonstration : ϕ0 =
0
(cf. tables...) :
Z
∞
0
2πhc2
λ5
dλ
hc
e λkB T
π4
x3
dx =
.
x
e −1
15
. On fait le changement de variable x =
−1
2πkB T
hc
dx
, soit dλ = −hc
: ϕ0 =
λkB T
kB T x2
h3 c2
∞
0
x3
dx, avec
ex − 1
• Corps noir C’est un “absorbeur” intégral, i.e. un corps qui absorbe tout rayonnement thermique incident ∀ λ et ∀ direction
d’incidence. ⇒ ϕi = ϕa et dϕi = dϕa pour tout intervalle spectral [λ, λ + dλ]. D’où : ϕr = dϕr = 0 : le flux réfléchi-diffusé par
un corps noir est nul, et ϕp = ϕe et dϕp = dϕe le flux partant d’un corps noir est d’origine purement émisive : il n’y a pas
de contribution du flux réfléchi ou diffusé.
NB : concept de corps noir = concept idéal. Un corps opaque est considéré comme un corps noir sir le rayonnement ERT pour une fenêtre
spectrale si elle contient le domaine 0, 5 < x < 8 (dans lequel 98% du rayonnement ERT est concentré). Ex : le verre est absorbant pour
le rayonnement ERT terrestre alors qu’il est transparent au rayonnement solaire : cf. serres.
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• Corps noir en équilibre radiatif et thermique
Équilibre radiatif ⇒ ϕR = 0, d’où ϕa = ϕe et dϕa = dϕe : le corps noir
en équilibre radiatif émet tout le rayonnement qu’il absorbe ⇒ dϕa = dϕe = dϕp = dϕe = dϕ0 (il n’y a qu’un seul flux à
considérer !).
Si de plus équilibre thermique à T , alors le rayonnement est le rayonnement ERT : dϕ= dϕe = dϕ0 = Fλ (λ, T ) dλ
et : ϕe = ϕa = σT 4 (Loi de Stefan).
NB : important ! Les lois de Planck, Wien et Stefan sont satisfaites à l’ERT par les rayonnements incident et partant lorsqu’on envisage
un corps opaque quelconque. Pour un corps noir, elles sont satisfaites en plus par les rayonnements absorbés et émis.
• Corps noir en équilibre thermodynamique local (ETL) Pour un corps noir dont la surface est en ETL à T différente de celle de
l’intérieur du corps. Le rayonnement interne émis ne sera pas perçu car il sera entièrement réabsorbé par la surface.
⇒ dϕe = Fλ (λ, T ) dλ et ϕe = σT 4 .
NB : le soleil est proche d’un corps noir à T ≈ 6000 K, la couche superficielle responsable de cette émission est la photosphère. Le
rayonnement interne émis par le cœur du soleil de l’ordre de quelques millions de K est totalement absorbé par la photosphère.