École Normale Supérieure, École Polytechnique, Paris VI, VII et XI

École Normale Supérieure, École Polytechnique, Paris VI, VII et XI
M2 CFP – Parcours de physique théorique
Examen de Physique Statistique
le 5 janvier 2010
Durée : 3 heures
– Notes de cours et de TD autorisées.
– Faire appel à des résultats déduits en cours, en TD ou dans les Notes
quand cela peut accélérer votre travail.
– Les symboles non définis ont leur signification usuelle.
Données. L’équation de Fokker–Planck
∂P (s, t)
∂
Γ ∂2P
= α sP +
∂t
∂s
2 ∂s2
est équivalente à l’équation de Langevin
ds(t)
= −αs + ξ(t),
dt
hξ(t)ξ(t′ )i = Γδ(t − t′ ).
Les deux ont comme solution stationnaire
α 1/2
αs2
Pst (s) =
exp −
,
πΓ
Γ
dont la variance est hs2 ist = Γ/2α.
1. Un verre de spin
Un modèle de spins en champ moyen, alternative au modèle de Sherrington-Kirkpatrick, est donné par le hamiltonien
H=−
N
1 X
Jij si sj ,
2
i,j=1
où les N spins si prennent leurs valeurs P
dans tout R tout en vérifiant la
2
contrainte dite “sphérique” selon laquelle N
i=1 si = N . On utilisera le raccourci s = {s1 , Rs2 , . . . , sN } pour désigner un état microscopique du système
et la notation Ds pour une intégrale sur tous les spins si assujettis à la
contrainte sphérique. Les couplages Jij sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes de moyenne nulle et de variance J 2 /N . On se propose
1
de déterminer le paramètre d’ordre d’équilibre q en fonction de la température. La moyenne thermique d’une observable X est dénotée par hXi et la
moyenne sur le désordre d’une quantité Y est par Y .
a. Pourquoi est-il nécessaire d’imposer une contrainte sur les si ?
b. Évaluer la moyenne eβJij u pour u quelconque indépendant de Jij .
c. Soit n un entier. Montrer que la fonction de partition Z vérifie

!2 
Z
2J 2 X X
β
sai sbi 
Z n = Ds1 . . . Dsn exp 
4N
i
a,b
d. On introduit n(n − 1)/2 variables d’intégration qab pour a < b gaussiennes de moyenne nulle et de variance 1/N . Montrer que l’on peut récrire
Z n sous la forme
Z Y
dq ab N G({qab })
n
p
Z =
e
,
2π/N
a<b
où G a pour expression
G({q ab }) =
avec ζ =
R
β2J 2n 1 X 2
1
qab +
−
ln ζ
4
2
N
Ds1 . . . Dsn exp βJ
a<b
P
a<b qab
P
a b
i si si
.
e. On met en œuvre une méthode du col et l’on suppose qu’à ce col, les
qab sont égaux à une même valeur q. Montrer que q est solution de l’équation
q = βJ
R
P
a b
Ds1 . . . Dsn s11 s21 eβJq a<b,i si si
P
R
a b
Ds1 . . . Dsn eβJq a<b,i si si
(1)
f. Quel est le sens physique de q ? Justifier que la valeur q = 0 est
solution de l’équation (1).
g. Pourquoi est-ce la limite n → 0 qui nous intéresse ? Montrer qu’il
existe une température Tf telle que si T → Tf− , la solution q de (1) tend
vers 0 comme q ≃ cte × (Tf − T )b . Préciser b. Sans nécessairement la
calculer explicitement, justifier que la constante de proportionnalité reste
finie lorsque n → 0.
2. Réaction–diffusion
On considère des particules d’une espèce unique A sur un réseau de
sites x, y, . . . . Les particules sautent à un taux γ entre sites voisins et sont
2
soumises aux deux réactions
A → 0,
k0
0 → 2A,
k2
étant entendu que la dernière peut avoir lieu sur chaque site quel que soit le
nombre de particules qui y sont déjà présentes.
a. Écrire l’opérateur Ŵ régissant l’évolution de ce système de particules.
b. Introduire des champs φx (t) et φ∗x (t) ≡ 1 + φ̄x (t). Écrire l’action
S[φ, φ̄] correspondante sans vous occuper du terme initial.
c. Montrer (sans trop détailler) que φx (t) obéit à une équation de
Langevin qui se trouve être linéaire,
p
∂φ(x, t)
= γ∆φ − k0 φ + 2k2 + 2k2 η(x, t).
∂t
(2)
Ici ηx (t) est un bruit blanc gaussien d’autocorrélation
d
hηx (t)ηy (t′ )i = δ(t − t′ ) δx,y
.
Les questions d–f concernent le cas particulier de l’équation (2) sur un
“réseau” d’un site unique. Le terme en laplacien est alors absent et on a
φ(t) et η(t) au lieu de φx (t) et de ηx (t).
d. Trouver la solution stationnaire Pst (φ) de l’équation de Langevin
pour φ.
e. Déterminer le nombre moyen de particules hnist et sa variance hn2 ist −
hni2st dans l’état stationnaire.
f. La distribution de n est-elle poissonienne ? Motiver brièvement votre
réponse.
3. Une marche aléatoire
On considère une marche aléatoire unidimensionnelle dans le demi-espace
des sites n = 0, 1, 2, . . .. Les taux de transition Wn′ ,n (pour un saut de n à
n′ ) non nuls sont
Wn+2,n = k2 ,
n = 0, 1, 2, . . . ,
Wn−1,n = nk0 ,
n = 1, 2, . . . .
Cette marche modélise les réactions de l’exercice précédent sur un site unique.
Soit Pn (t) la probabilité de trouver le marcheur au site n à l’instant t.
a. Écrire l’équation maı̂tresse pour Pn (t).
3
b. Les taux donnés ci-dessus obéissent-ils aux relations de bilan détaillé ?
Motiver votre réponse brièvement.
Quand k2 devient grand à k0 fixe, la distribution Pn (t) devient large et
les sauts individuels de n, égaux à −1 ou +2, sont petits à l’échelle de la
distribution. On peut alors transformer l’équation maı̂tresse du a en une
équation de Fokker–Planck. Poser λ = 2k2 /k0 [selon l’exercice précédent on
a λ = hnist ]. Introduire une nouvelle variable ν et une nouvelle fonction
Π(ν, t) en posant
n = λ + λ1/2 ν,
Pn (t) = Π(ν, t),
où λ est supposé ≫ 1 et où l’on anticipe que les fluctuations de n autour de
sa moyenne seront d’ordre λ1/2 .
c. Quels sont les sauts de ν ? Éliminer k2 en faveur de λ et développer
l’équation maı̂tresse pour λ ≫ 1 à k0 fixe. Trouver une équation de Fokker–
Planck pour Π(ν, t).
d. Établir l’équation de Langevin équivalente pour ν(t) et la comparer
à l’équation de Langevin du d–f de l’exercice précédent. Faire tous les
commentaires utiles.
4. Un modèle XY désordonné
On considère un modèle XY à désordre gelé sur un réseau carré en deux
dimensions. Un site du réseau est indiqué par une paire de coordonnées
~r = (x, y), où x et y sont des entiers. Le hamiltonien du modèle est
X
X
H = −J
cos(φx,y − φx−1,y − ǫhx ) − J
cos(φx,y − φx,y−1 − ǫvy ) (3)
x,y
x,y
Ici les variables ǫhx (une pour chaque colonne) et ǫvy (une pour chaque ligne)
représentent le désordre gelé. On les prendra indépendantes et identiquement distribuées selon la loi gaussienne
p(ǫ) = √
1
2πσ 2
e−ǫ
2 /(2σ 2 )
.
a. Faire une figure montrant comment les ǫhx et ǫvy sont associés aux liens
horizontaux et verticaux du réseau.
b. Ce modèle désordonné est-il frustré ? Indiquer quel est son état
fondamental.
c. Du fait du désordre, la fonction de corrélation g(~r) ≡ hcos(φ~r − φ0 )i
est un objet aléatoire. On dénotera par g(~r) sa moyenne sur le désordre.
Calculer g(~r) à la température T = 0. Quel est le comportement de cette
grandeur pour r → ∞ ?
4
d. Par continuité, à quel comportement asymptotique de g(~r) vous
attendez-vous pour une température très faible mais non nulle ? Comparer
celui-ci avec la décroissance aux grands r que vous connaissez dans le modèle
XY pur (= non désordonné).
M. Rubinstein et collaborateurs ont étudié un modèle XY désordonné plus
compliqué que celui de l’équation (3), mais qui a le même comportement
basse température. Pour leur modèle ils ont trouvé dans le plan K −1 y
le diagramme de flot de renormalisation montré sur la figure 1 ci-dessous,
où σ est un paramètre fixe qui, comme avant, caractérise l’importance du
désordre. Les deux constantes K± dépendent de σ selon
π
−1
1 ± (1 − 8σ/π)1/2 ,
=
K±
4
alors que K•−1 est défini par la trajectoire (un peu plus grasse) du flot qui
−1
.
le relie à K+
Figure 1: Flot de renormalisation dans le plan K −1 y d’un modèle XY désordonné
(la ligne verticale indique la limite de validité des équations). Figure d’après M.
Rubinstein, B. Shraiman et D.R. Nelson, Phys. Rev. B 27 (1983) 1800.
e. Décrire qualitativement comment la nature (isolant, conducteur) d’un
système physique (le pointillé sur la figure) change quand sa température
varie de T = 0 à T = ∞. On parle d’un système à transition “réentrante”.
f. Que se passe-t-il quand σ → π/8 ? Faire des hypothèses raisonnables
sur l’évolution du diagramme de flot en fonction de σ. Identifier l’existence
d’une valeur critique σ = σc dans le système physique. L’interpréter.
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