Devoir Commun de Mathématiques - Classes de Seconde

Devoir Commun de Mathématiques - Classes de Seconde - Lycée Saint-Exupéry
CORRECTION
Correction ex 1: (sur 8 points)
1) a) On a
b) i)
c)
x-2=0 ou x+1=0 x=2 ou x=-1
<=>
Les antécédents de 0 par f sont donc -1 et 2.

d)


 x = 0 ou x=1
Les antécédents de -2 par f sont donc 0 et 1.
e) On a
Donc le point A(1;2) n’appartient pas à la courbe représentative de f.
Donc le point
appartient à la courbe représentative de f.
2) a) S= [-6 ; -5,1 [ U ] -0,7 ; 3,5
b)
x
signe de g(x)
-6
+
0
0
-
3
0
4
+
c)
x
Variations
de g(x)
-6
0
-3
3
1,5
4
2
-1
1
Correction ex 2 : (sur 8 points)
1)
 1 

;
 –2 
2 
 
0
 xB – xA

 yB – yA
 xC – xD

 yC – yD






 2–(– 1) 


 –1–(–3) 
3
 
2
 3–(–3) 


 4–0 
6
 
4
2)
3
6
x’y – xy’ = 3  4 – 6  2 = 12 – 12 = 0
2
4
Donc les vecteurs
et
sont colinéaires, donc les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
3) a) BD =
(xD – xB )2 + (yD – yB)2 =
(–3–2)2 + (0–(–1))2 =
BC =
(xC – xB )2 + (yC – yB)2 =
(3–2)2 + (4–(–1))2 =
(–5)2 + 12= 25 + 1 = 26
12 + 52 = 1 + 25 =
26
b) Donc BD = BC = 26 d’où le triangle BCD est isocèle en B.
4) Cherchons les coordonnées de
 xQ – xB 
 xQ – 2 




 yQ – yB 
 yQ – (–1) 
 xQ – 2 = 9
=3
 

 yQ + 1 = 6
et de 3
:
 xQ – 2 
9

 et 3
 
6
 yQ + 1 
 xQ = 11

donc Q (11 ; 5).
 yQ = 5
Correction Ex3 (sur 9,5 points)
Le tableau est complété comme ci-après :
Temps de trajet
[ 0 ;5 [
[ 5;10 [
[ 10 ;15 [
[ 15 ;20 [
[ 20 ;25 [
[ 25 ;30 [
Nombre d'élèves
3
7
4
16
8
2
Fréquence en %
7,5
17,5
10
40
20
5
Fréquence cumulée
croissante en %
7,5
25
35
75
95
100
2
1) Voir tableau ci-dessus.
2) L
est
=15,625.
15,625 min = 15 min + 0,625 min = 15 minutes 37,5 secondes, soit environ 15 minutes et 38 secondes en moyenne de trajet.
3) La courbe des fréquences cumulées croissantes est la suivante.
4) En déduire :
a/ le pourcentage d'élèves
18% environ
b/ La moitié des élèves ont plus de 17 minutes de trajet environ.
Partie B :
1) L’étendue de la série est 28 – 1 = 27 minutes
2) L’effectif total est 40.
40
=10. Pour Q1, on prend la 10ième valeur qui est 8 minutes.
4
3×
40
=30. Pour Q3, on prend la 30ième valeur qui est 19 minutes.
4
Pour la médiane, 40 étant un nombre pair, on prend la demi-somme de la 20ième et 21ième valeur : c’est
15+18
= 16,5 minutes, soit 16 min 30s.
2
3
Correction Ex4 (sur 6,5 points)
1)

 AB  et  SG  sont non coplanaires,
 BS  et  SG  sont sécants en S ,
 ABS  et  BGS  sont sécants suivant  BS  ,
 SI  et  ACG  sont sécants en I .
a.
I est le milieu de  AC  , soit AI 



2)
1
3
AC  cm. Dans le triangle ABI rectangle en A , d'après le
2
2
2
45
45 3 5
3
théorème de Pythagore : BI  AB  AI  3    
, soit BI 
cm.

4
4
2
2
2
b. On a BG 
2
2
2
2 3 5
BI  
 5 cm.
3
3 2
2
Dans le triangle BSG rectangle en G , d'après le
2
théorème de Pythagore : BS 2  SG 2  GB2 , soit SG 2  BS 2  GB 2  32  5  4 , d'où SG  2
cm
AB  AC 3  3 9

 cm2 , h  SG  2 cm , le
2
2
2
1
1 9
volume du tétraèdre SABC vaut V  S ABC  h    2  3 cm3 .
3
3 2
c. 3)
En posant S ABC  aire du triangle ABC 
Correction Ex5 (sur 8 points)
Partie A
1/ On obtient le tableau suivant:
Valeur de a
2
Valeur de b
-120
Valeur de c
600
2/ c = -5b = -5(-10a – 100) = (-5)(-10)a + (-5)(-100) = 50a +500
Partie B
1) Expression de f(x) en fonction de x :
2)
f est une fonction affine donc f(x) = a x + b
Calcul de a :
a=
Calcul de b :
f(10) = 1000  50  10 + b = 1000  b = 1000 − 500  b = 500
Donc
2)
=
= 50
f(x) = 50 x + 500
x
y
0
500
2
600
4
3)
a) Résolution graphique :
f(x) > g(x) lorsque x  [0 ; 7,2[ ( ou f(x) est supérieur à g(x) lorsque x est inférieur à 7,2 environ.)
b) Le coût des réparations du forfait A en fonction du nombre x de réparation est f(x) = 50 x + 500. Le coût des
réparations du forfait B en fonction du nombre x de réparation est g(x) = 120x.
D’après la question 3)a), le forfait A est plus coûteux, donc moins avantageux, que le forfait B lorsque le nombre de
réparations (nombre entier) est compris entre 0 et 7.
5