Chapitre 0 Partie Algèbre Rédaction et

Chapitre
0
Partie Algèbre
Rédaction et raisonnements
vv Objectifs vv
Ce chapitre regroupe les différents points de vocabulaire, notations et raisonnement nécessaires aux étudiants pour la conception et la rédaction efficace
d’une démonstration mathématique :
û Rappeler les règles de base de la «logique» mathématique.
û Rappeler les raisonnements de base utilisés en mathématiques.
û Quelques conseils de rédaction .
û Rappeler les propriétés des symboles Sigma et Pi.
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2015-2016
1 - Quelques conseils pour aborder une classe MPSI .
1.1 - Motivation .
Une classe préparatoire est toujours un moment fort du cursus scolaire. Elle permet la préparation aux concours
et l’acquisition des compétences nécessaires à une poursuite d’études dans une Grande École ou dans l’enseignement supérieur. Le cadre des classes préparatoires est conçu pour vous aider à atteindre vos objectifs et à
surmonter les difficultés inhérentes à l’entrée dans l’enseignement supérieur.
1.2 - Organisation .
Une trentaine d’heures de cours par semaine, des cours à comprendre et à apprendre, des colles (interrogation
orales), des devoirs surveillés, des TP...la quantité de travail demandée est importante, mais reste raisonnable
avec une bonne organisation. L’encadrement, le soutien des professeurs, de la vie scolaire et le contrôle continu
vous aideront à assurer un travail régulier
Organisez votre travail, répartissez le de façon homogène, évitez les « coups de collier» sans lendemain, afin
d’être efficace toute la semaine. Les temps de cours, de travaux dirigés et de TP, pour être fructueux, doivent être
préparés et suivis avec attention et de façon active.
La répartition de votre travail ne doit pas négliger les matières considérées à tort comme « secondaires»(langues
étrangères, français....) qui vous permettront de faire la difference aux concours : 1 point de moyenne aux concours
peut représenter jusqu’à 500 places dans le classement. Répartissez votre temps selon vos points forts et vos lacunes.
1.3 - Confiance.
Ayez confiance en vous : la selection des dossiers, faire à l’entrée en classe préparatoire, et les besoins actuels
de la société en ingénieurs et en cadres commerciaux sont tels que tout élève entrant en prépa peut assurément
intégrer une grande école s’il en a la volonté. Les concours consistent plus en une répartition des candidats sur
les différentes écoles qu’en une selection par elimination. Cela ne s’appliquent s’applique qu’aux élèves faisant
preuve du plus grand sérieux et de la plus grande régularité dans leur travail.
Corrélativement, faites confiance à vos professeurs : leur seule préoccupation est d’amener chacun à son meilleur
niveau. Suivrez leurs conseils, ils seront toujours disponibles pour vous guider dans votre orientation et dans
votre travail.
les barèmes d’évaluations, les notations, ne sont pas fondées sur la même échelle que pour une classe préparant
à un examen. L’appréciation des résultats scolaires demande une relecture dans l’esprit des concours : la sacrosainte moyenne à 10/20 n’a guère de sens ...Là encore, soyez confiants dans vos professeurs.
Ne jouez pas la compétition au sein de votre classe : elle est sterile et ridicule. la compétition aura lieu aux
concours, à l’échelle nationale et de façon impersonnelle. Au contraire, une classe soudée fournira un cadre
motivant et stimulant pour chacun. Travaillez en groupes, échangez vos idées sur le cours, les devoirs.Vous
retrouverez cette pratique dans les Grandes Écoles.
Profitez de vos jours de congé. La détente fait partie de travail : elle permet d’être plus efficace et d’éviter le
surmenage. Profitez aussi de vos vacances. Avant d’entrer en prépa : lisez, faites des séjours linguistiques... et
reposez-vos pour attaquer l’année en pleine forme.
2 - Propositions logiques.
2.1 - Négation, conjonction et disjonction.
On appelle proposition un énoncé mathématique qui peut être vrai ou faux.
Exemples : 1. «1 + 1 = 2» est une proposition vraie.
2. «7 est un entier pair» est une proposition fausse.
Remarque : Quand on demande par exemple dans une question de montrer que la suite (un ) est croissante,
on demande en fait de montrer que la proposition « la suite (un ) est croissante » est vraie.
Quand on suppose par exemple dans une démonstration que l’entier k est pair, on suppose en
fait que la proposition « k est pair » est vraie.
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Définition 2.1. Négation
A une proposition P, on peut associer sa négation notée k P qui est vraie si P est fausse et fausse si P est
vraie.
Définition 2.2. Conjonction
A deux propositions P et Q, on peut associer la conjonction de P et Q notée ( P et Q) qui est vraie si les
deux propositions P et Q sont vraies et fausse si l’une au moins des deux propositions P ou Q est fausse.
Définition 2.3. Disjonction
A deux propositions P et Q, on peut associer la disjonction ( P ou Q) qui est vraie si l’une au moins des
deux propositions P ou Q est vraie et fausse si les deux propositions P et Q sont fausses.
Remarque : Le «ou» considéré ici est un «ou» non exclusif. La proposition ( P ou Q) est vraie si l’une au moins
des deux propositions P ou Q est vraie et non si exactement une des propositions est vraie.
2.2 - Implication et équivalence.
Définition 2.4. Implication
A deux propositions P et Q, on peut associer la proposition P =⇒ Q qui est vraie si P est fausse ou si P
est vraie et Q fausse et fausse si P est vraie et Q fausse.
Exemple : Soient a et b deux réels. Alors a = b =⇒ a2 = b2 est vraie mais a2 = b2 =⇒ a = b est fausse.
Remarques : 1. La notation logique P =⇒ Q correspond en français à la phrase «si P alors Q».
2. On voit en particulier que si P est fausse, P =⇒ Q est toujours vraie que Q soit vraie ou
fausse, ce qui pourrait se traduire de la sorte : à partir d’un point de départ faux, on peut
prouver n’importe quoi !
Définition 2.5. Equivalence
A deux propositions P et Q, on peut associer la proposition P ⇐⇒ Q qui est vraie si P et Q sont vraies ou
si P et Q sont fausses et qui est fausse sinon.
Exemple : Soient a et b deux réels. Alors a = b ⇐⇒ ea = eb .
Remarques : 1. La notation logique P ⇐⇒ Q correspond en français à la phrase «P si et seulement si Q».
2. C’est cette notion d’équivalence qu’on utilise notamment quand on résout des équations.
3. Soient P et Q deux propositions.
(a) On dit que Q est une condition nécessaire pour avoir P si, dès que P est vraie alors nécessairement forcément Q est vraie. Autrement dit P =⇒ Q.
(b) On dit que Q est une condition suffisante pour avoir P s’il suffit que Q soit vraie pour
que P soit vraie. Autrement dit Q =⇒ P.
(c) On dit que Q est une condition nécessaire et suffisante pour avoir P quand P est vraie si et
seulement si Q est vraie. Autrement dit P ⇐⇒ Q.
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Exercice .1.
Soit x ∈ R. La proposition «x > 1» est-elle une condition nécessaire de la proposition «x2 + x + 2 > 3» ?
Même question avec suffisante.
2.3 - Tables de vérité.
Une table de vérité donne la véracité d’une proposition dépendant de deux propositions P et Q (ou plus) en
fonction de la véracité de P et Q. Pour montrer que deux propositions dépendant des mêmes propositions P et
Q sont équivalentes, il suffit de prouver qu’elles ont les mêmes tables de vérité.
Exemple : On donne ici la table de vérités des connecteurs logiques :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P et Q
V
F
F
F
P ou Q
V
V
V
F
P =⇒ Q
V
F
V
V
P ⇐⇒ Q
V
F
F
V
Exercice .2.
1. Montrer que ( P =⇒ Q) ⇐⇒ ((k P ou Q).
2. Montrer que ( P ⇐⇒ Q) ⇐⇒ (( P =⇒ Q)et( Q =⇒ P)).
Proposition 2.1. Règles de calcul propositionnel
Soient P et Q deux propositions logiques. Alors on a :
→ k( P et Q) ⇐⇒ ((k P) ou (kQ)).
→ k( P ou Q) ⇐⇒ ((k P) et (kQ)).
→ k( P =⇒ Q) ⇐⇒ ( P et (kQ)).
Exemple : Soient P la proposition «Il y a de la fumée» et Q la proposition «Il y a du feu». Le célèbre proverbe
«Il n’y a pas de fumée sans feu» se traduit par P =⇒ Q. Sa négation est «Il y a de la fumée et il
n’y a pas de feu» qui se traduit par P et (kQ).
2.4 - Quantificateurs.
→ Le symbole ∀ signifie «pour tout», «quelque soit».
→ Le symbole ∃ signifie «il existe».
→ Le symbole ∃! signifie «il existe un unique».
On peut construire des propositions logiques (vraies ou fausses) à l’aide de ces quantificateurs.
Exemples : 1. «∀ x ∈ R, x2 > 0» est une proposition vraie,
2. «∃n ∈ N, n < 0» est fausse,
3. «∀r ∈ Q, ∃ p ∈ N, pr ∈ Z» est vraie,
4. «∃n ∈ N, ∀ x ∈ R, x 6 n» est fausse.
5. Soient f et g deux fonctions de R dans R. Alors f = g ⇐⇒ ∀ x ∈ R, f ( x) = g( x).
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Remarque : Ordre des quantificateurs .
L’ordre des quantificateurs est important : on ne peut pas permuter un ∀ et un ∃ sans changer
le sens de la proposition. Par contre, on peut changer l’ordre de plusieurs ∀ qui se suivent ou de
plusieurs ∃ qui se suivent.
Exemple : On se convaincra de la pertinence de la remarque précédente en comparant les deux propositions suivantes (on note H l’ensemble des hommes et F celui des femmes) :
∀h ∈ H, ∃ f ∈ F, f est la mère de h
autrement dit «tout homme à une mère» et
∃ f ∈ F, ∀h ∈ H, f est la mère de h
autrement dit «il existe une mère de tous les hommes».
Exercice .3.
Traduire en toutes lettres les huit propositions suivantes lorsque x désigne un individu, y un film et que
p( x, y) est la proposition « L’individu x a vu le film y ».
1. ∀ x, ∀ y, p( x, y) ;
2. ∃ x, ∀ y, p( x, y) ;
3. ∃ y, ∀ x, p( x, y) ;
4. ∀ x, ∃ y, p( x, y) ;
5. ∃ x, ∃ y, p( x, y) ;
6. ∃ y, ∃ x, p( x, y) ;
7. ∀ y, ∃ x, p( x, y).
Exercice .4.
Soit f une fonction de R dans R. Écrire à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :
1. f est l’application nulle.
2. f ne s’annule pas sur R.
3. f n’est pas la fonction
nulle.
4. f s’annule sur R.
5. f est une fonction affine.
Remarque : Négation d’une proposition avec quantificateurs .
Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on change les ∀ en ∃ et réciproquement.
La négation de ∀ x, ∃ y, P ( x, y) est ∃ x, ∀ y, kP ( x, y).
Exemple : La négation de la proposition «tous les chats sont gris» n’est pas la proposition «aucun chat n’est
gris» mais la proposition «il existe un chat qui n’est pas gris». En effet, si x désigne un chat, la
proposition de départ peut s’écrire ∀ x, x est gris. Sa négation est donc ∃ x, x n’est pas gris.
En pratique
i) Quand on demande de prouver une proposition du type « ∀ x ∈ A, P ( x) », la
rédaction commence toujours par « Soit x ∈ A ».
ii) Quand on demande de prouver une proposition du type « ∃ x ∈ A, P ( x) », il suffit
de trouver un x dans A tel que P ( x) est vraie.
Exemple : Pour prouver que ∀ x, y ∈ R, ∃ z ∈ R, z > x + y, on commence la rédaction de la manière
suivante : «Soient x, y ∈ R». Maintenant que x et y sont fixés, il suffit de trouver z supérieur
à x + y. Ici, nous avons le choix. On achève la démonstration de la manière suivante : «Posons
z = x + y + 1. Alors z > x + y». Et c’est terminé !
3 - Raisonnement et rédaction.
La première règle de rédaction, c’est que tout objet dont on parle doit être introduit . En français, si vous dites :
« Elle me les a donné hier » sans avoir précisé auparavant qui sont «elle» et «les», personne ne vous comprendra.
En mathématiques c’est pareil : vous devez présenter tout ce dont vous parlez. Par exemple : un calcul de dérivée
ne doit jamais ressembler à « f 0 x) = . . .» mais se présenter proprement avec un x parfaitement introduit : « Pour
tout x ∈ . . . : f 0 ( x) = . . ..
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3.1 - Introduire une variable, Montrer une proposition universelle.
On introduit souvent des variables en Mathématiques parce qu’on a souvent à prouver des propositions de
type : «∀ x ∈ E : P ( x)»
Quand on veut montrer que : «∀ x ∈ E : P ( x)», on écrit sans réfléchir :
Soit x ∈ E, montrons P ( x).
o
..
Preuve de P ( x) .
.
L’essentiel dans cet encadré et dans les suivants , c’est la distinction «réfléchir/ ne pas réfléchir». Les modèles
de rédactions proposés ici doivent devenir des réflexes. Vous ne pourrez pas vous en sortir en Mathématiques
tant que cela ne sera pas le cas.
Exemple : Montrer que : ∀ x ∈ R :
x2
x
1
6 .
+1
2
3.2 - Donner un nom à un objet, Montrer l’existence d’un objet.
Admettons qu’on soit
√ amené dans une preuve à répéter de nombreuses fois une quantité un peu compliquée ,
2
arctan(e ) − 346
. Il est naturel alors de vouloir résumer cette expression par un petit nom plus simple,
disons
ln(e3 − 1) + sin(4)
√
arctan(e2 ) − 346
disons K. Pour donner le nom K à la quantité
, on écrit :
ln(e3 − 1) + sin(4)
√
√
arctan(e2 ) − 346
arctan(e2 ) − 346
«Posons K =
. . .» ou bien « Notons K le réel
. . .»
ln(e3 − 1) + sin(4)
ln(e3 − 1) + sin(4)
Cette rédaction de «Posons/ Notons» est employée souvent pour montrer une proposition existentielle.
Quand on veut montrer que : «∃ x ∈ E : P ( x)» et qu’on a déjà en tête un exemple
d’objet x ∈ E qui a la propriété P , on écrit sans réfléchir :
Posons x = . . ., vérifions
o que P ( x).
..
Vérification que x satisfait la propriété P .
.
La difficulté, bien sûr, ne consiste souvent pas à vérifier que x a la propriété P , mais à avoir l’idée d’un tel objet
x. Il n’existe pas de règle générale pour avoir des idées.
Exemple : Montrer que : ∀ x, y ∈ R, ∃ z ∈ R : z > x + y.
3.3 - Montrer une disjonction, une implication ou une équivalence.
On rappelle que les proposition «P ou Q» et «k P =⇒ Q» sont équivalentes.
Montrer «P ou Q»
Quand on veut montrer que «P ou Q» est vraie , on procède souvent ainsi :
Supposons P est fausse, montrons que
o Q est vraie.
..
Preuve de Q .
.
Exemple : Montrer que : ∀ x ∈ R, | x| > 1 ou | x − 2| > 1.
Montrer «P =⇒ Q»
Quand on veut montrer que «P =⇒ Q» est vraie , on écrit sans réfléchir :
Supposons P est vraie, montrons queoQ est vraie.
..
Preuve de Q .
.
Exemple : Montrer que : ∀ x ∈ [0, 1], x − x2 ∈ N =⇒ x ∈ {0, 1} .
On rappelle que les propositions «k( P =⇒ Q)» et «P et kQ» sont équivalentes. En particulier, les proposition
«k(∀ x ∈ E : P ( x) =⇒ Q( x))» et «∃ x ∈ E / P ( x) et kQ( x)» sont équivalentes.
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Quand on veut montrer que «P =⇒ Q» est fausse , on écrit sans réfléchir :
Montrons que P est vraie .
o
..
Preuve de P .
.
Montrons que Q est fausse.
..
.
o
Preuve que Q est fausse .
Exemple : Il est faux que : ∀ x, y ∈ R, x 6 y =⇒ sin( x) 6 sin( y) .
Montrer «P ⇐⇒ Q»
Quand on veut montrer que «P ⇐⇒ Q» est vraie , deux possibilités :
— soit on raisonne par double implication :
⇒) Supposons P est vraie . Montrons que
o Q est vraie.
..
Preuve de Q .
.
⇐) Réciproquement,supposons Q est vraie
o . Montrons que P est vraie.
..
Preuve de P .
.
— soit on raisonne directement par équivalence (successive) en changeant peu à
peu P en Q.
P ⇐⇒ . . . ⇐⇒ . . . ⇐⇒ Q.
Exemple : Montrer que : ∀ x, y ∈ R, x2 + y2 = 0 ⇐⇒ x = y = 0 .
3.4 - Montrer l’unicité d’un objet.
Le raisonnement suivant n’est pas le seul raisonnement possible pour montrer l’unicité d’un objet.
Quand on veut montrer qu’un ensemble E contient au plus un élément vérifiant
une propriété P , on peut procéder ainsi :
Soient x, x0 ∈ E. On suppose que xoet x0 vérifient P . Montrons que x = x0 .
..
Preuve que x = x0 .
.
Exemple : Montrer que : ∃!x ∈ R, x2 = 1 .
3.5 - Montrer une inclusion ou une égalité d’ensembles.
Montrer «E ⊆ F»
Quand on veut montrer que «E ⊆ F» est vraie , on écrit sans réfléchir :
Soit x ∈ E. Montrons que x ∈ F o
..
Preuve que x ∈ F .
.
Exemple : Montrer que : { x ∈ R / ∃ y ∈ R+ / x > y} ⊆ R+ .
Montrer «E = F»
Quand on veut montrer que «E = F» est vraie , deux possibilités :
— soit on raisonne par double inclusion :
⇒) Soit x ∈ E . Montrons que x ∈ F. o
..
Preuve que x ∈ F .
.
⇐) Réciproquement,soit x ∈ F . Montrons
que x ∈ E.
o
..
Preuve que x ∈ E .
.
— soit on raisonne directement par équivalence (successive) en changeant peu à
peu P en Q.
Pour tout x : x ∈ E ⇐⇒ . . . ⇐⇒ . . . ⇐⇒ x ∈ F.
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Exemple : Montrer que : R− = { x ∈ R / ∀ y ∈ R+ , x 6 y} .
3.6 - Le raisonnement par l’absurde.
Raisonner par l’absurde c’est un peu prêcher le faux pour savoir le vrai. Le principe est simple : si d’une
proposition on arrive à tirer une contradiction alors cette proposition de départ est fausse.
Quand on veut montrer qu’une proposition P est vraie, on peut raisonner par l’absurde de la manière suivante :
On suppose que P est fausse.
o
..
Obtention d’une contradiction .
.
Contradiction (Absurde). Par conséquent p est vraie.
Exemples : 1. Montrer que tout entier est pair ou impair, mais pas les deux.
√
2. Montrer que
2 est irrationnel.
3.7 - Le raisonnement par analyse-synthèse.
Quand on veut déterminer l’ensemble des éléments d’un ensemble E qui satisfont
une propriété P , on raisonne souvent par analyse-synthèse de la manière suivante :
• Analyse : Soit x ∈ E. On suppose
o que x vérifie P .
..
On cherche les têtes possibles de x .
.
• Synthèse : Posons x = . . . (têtes possibles de x). Vérifions que x ∈ E et que P ( x)
est vraie.
o
..
Vérification que x ∈ E et satisfait P .
.
Exemple : Montrer que f : x 7−→ 1 − x est la seule fonction pour laquelle on a :
∀ x, y ∈ R : f ( x − f ( y)) = 2 − x − y
.
4 - Principe de récurrence.
4.1 - Parties de N.
Définition 4.1. Ordre dans N
On définit dans N la relation d’ordre "6" par : Pour tout m et n de N, m 6 n si et seulement si il existe p
de N tel que : n = m + p.
Cette une relation d’ordre est totale sur N : Pour tout m et n de N on a : m 6 n ou n 6 m.
Proposition 4.1.
→ 0 est le minimum de N.
→ Toute partie non vide de N possède un plus petit élément .
Définition 4.2.
On dit qu’une partie non vide A de Z est :
◦ majorée (dans Z) s’il existe M dans Z tel que : ∀ x ∈ A : x 6 M.
◦ minorée (dans Z) s’il existe m dans Z tel que : ∀ x ∈ A : x > m.
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Théorème 4.1.
• Toute partie non vide majorée de N possède un plus grand élément
• Toute partie non vide minorée de Z possède un plus petit élément
• Toute partie non vide majorée de Z possède un plus grand élément.
Proposition 4.2. Division euclidienne dans N
Soit (m, n) dans N × N∗ , Il existe un unique couple (q, r) de N2 tel que : m = nq + r et 0 6 r < n .
Proposition 4.3. Axiome de récurrence
Soit A une partie de N telle que : 0 ∈ A et ∀n ∈ N. (n ∈ A) =⇒ (n + 1 ∈ A). Alors A = N.
4.2 - Raisonnements par récurrence.
Proposition 4.4. Récurrence simple
Soit n0 ∈ N et P (n) une assertion qui dépend d’un entier n > n0 . Si :
• P (n0 ) est vraie (Initialisation de la récurrence).
• Pour tout entier n > n0 , si P (n) est vraie, alors P (n + 1) est vraie (Hérédité).
Alors : Pour tout entier n > n0 : P (n) est vraie.
Rédaction
Quand on veut montrer par récurrence que : ∀n > i, Pn , on rédige ainsi :
• Vérification que Pi est vraie.
• Soit n > i. On suppose queo Pn est vraie. Montrons que Pn+1 est vraie.
..
Preuve que Pn+1 est vraie .
.
• D’après le principe de récurrence, on a alors pour tout n > i, Pn est vraie.
Exemple : Soit (un )n>5 une suite géométrique de raison q et de premier terme u5 = a ∈ R. Montrer que
pour tout n > 5 on a : un = a × qn−5 .
Proposition 4.5. Récurrence double
Soit n0 ∈ N et P (n) une assertion qui dépend d’un entier n > n0 . Si :
• P (n0 ) et P (n0 + 1) sont vraies.
• Pour tout entier n > n0 , si P (n) et P (n + 1) sont vraies alors P (n + 2) est vraie.
Alors : Pour tout entier n > n0 : P (n) est vraie.
Rédaction
Quand on veut montrer par récurrence que : ∀n > i, Pn , on rédige ainsi :
• Vérification que Pi et Pi+1 sont vraies.
• Soit n > i. On suppose que Pn et Pn+1 sont vraies. Montrons que Pn+2 est
vraie.
o
..
Preuve que Pn+2 est vraie .
.
• D’après le principe de récurrence, on a alors pour tout n > i, Pn est vraie.
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Exemple : (un )n>0 la suite réelle définie par : u0 = −1, u1 = 5 et ∀n > 0 : un+2 = 3.un+1 − 2.un . Montrer
que pour tout n > 0 on a : un = 6.2n − 7.
Proposition 4.6. Récurrence forte
Soit n0 ∈ N et P (n) une assertion qui dépend d’un entier n > n0 . Si :
• P (n0 ) est vraie
• Pour tout entier n > n0 , si P (n0 ),P (n0 + 1),...,et P (n) sont vraies alors P (n + 1) est vraie.
Alors : Pour tout entier n > n0 : P (n) est vraie.
Exemple : Voir les exercices.
Proposition 4.7. Récurrence finie
Soit n0 , n1 ∈ N telle que n0 6 n1 et P (n) une assertion qui dépend d’un entier n0 6 n 6 n1 . Si :
• P (n0 ) est vraie.
• Pour tout entier n0 6 n < n1 , si P (n) est vraie. alors P (n + 1) est vraie.
Alors : Pour tout entier n0 6 n 6 n1 : P (n) est vraie.
Exemple : Voir fiche des exercices.
4.3 - Exercices d’applications.
Exercice .5.
Démontrer, par récurrence, que 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisible par 111 pour tout n ∈ N.
Exercice .6.
n
Montrer , par récurrence, que :
∑k=
k=1
n
n(n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
et ∑ k2 =
pour tout n ∈ N∗
2
6
k=1
Exercice .7.
Soit la suite ( xn )n∈N définie par x0 = 4 et xn+1 =
1. Montrer que : ∀n ∈ N
xn > 3.
2x2n − 3
.
xn + 2
3
x n + 1 − 3 > ( x n − 3 ).
n 2
3
3. Montrer que : ∀n ∈ N xn >
+ 3.
2
4. La suite ( xn )n∈N est-elle convergente ?
2. Montrer que : ∀n ∈ N
Exercice .8.
Soit une application f : N → N vérifiant, pour tout n ∈ N : f (n + 1) > f ( f (n)).
1. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence : pour tout p ∈ N, n > p ⇒ f (n) > p.
2. En déduire que f est strictement croissante (i.e f (n + 1) > f (n) pour tout entier n ∈ N).
3. En déduire f = IdN .
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Exercice .9.
4n
Montrer, par récurrence, que : ∀n > 1, √ 6
2 n
2n
2n + 2
4n + 2 2n
. Prouver d’abord :
=
.
n
n+1
n+1 n
Exercice .10.
Démontrer que, si P0 est vraie, et que pour tout entier naturel n : Pn ⇒ ( P2n et P2n+1 ), alors Pn est vraie
pour tout entier naturel n.
(On pourra considérer l’hypothèse Hn : "P0 , P1 , . . . , P2n sont vraies ")
Exercice .11.
n
On veut démontrer, par récurrence, que pour tout entier n > 2, la somme Sn =
1
est le quotient d’un
k
k=1
∑
nombre impair par un nombre pair.
Posons donc l’hypothèse Hn : «Sn est le quotient d’un nombre impair par un nombre pair».
n
1
1
1. En remarquant S2n = ∑
+ Sn , prouver l’implication Hn ⇒ H2n pour n > 1.
2k − 1 2
k=1
1
, prouver l’implication Hn ⇒ H2n+1 pour n > 1.
2. En remarquant S2n+1 = S2n +
2n + 1
3. Ainsi, on a prouvé, pour tout n > 1, l’implication Hn ⇒ ( H2n et H2n+1 ).
Montrer que, pour tout n > 1, Hn est vraie.
4. Sn peut-il être entier ?
Exercice .12.
√
√
√
On se propose de montrer que, ∀n ∈ N : ∃ N ∈ N∗ , N tel que : (1 + 2)n = N + N − 1.
1. Trouver N pour n = 1, 2, 3.
√
√
2. Montrer que, ∀n ∈ N : ∃ an , bn ∈ N tels que : (1 + 2)n = an + 2bn .
3. Calculer | a2n − 2b2n |. Déterminer alors N.
Exercice .13.
On peut prouver, à l’aide d’un dénombrement, que le nombre
Pn de partitions d’un ensemble à n éléments
n n
vérifie : P0 = P1 = 1 et, pour tout entier n > 2, Pn+1 = ∑
P.
k k
k=0
1. Calculer P2 , P3 .
2. Montrer, à l’aide d’une récurrence forte, que, pour tout n ∈ N : Pn 6 n!.
3. Redémontrer ce résultat àl’aide
en
d’une récurrence
simple
utilisant le résultat suivant :
n
n
n−1
n−1
=
6n
pour 0 6 k 6 n − 1.
k
n−k
k
k
5 - Calculs algébriques.
5.1 - Le symbole Sigma.
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11
MPSI 2015-2016
Définition 5.1. Symbole ∑
Soient m et n de Z tels que m 6 n et I = {m, m + 1, . . . , n − 1, n}. Pour toute famille finie ( ak )k∈ I de
n
nombres complexes, la somme am + am+1 + . . . + an−1 + an est notée
∑ ak ou ∑
k∈ I
ak ou encore
k=m
∑
ak .
m6k 6n
Remarques :
1. La lettre k peut être remplacée par tout symbole distinct des bornes m et n et ne figurant pas
dans les ak
2. ( ak )m6k6n+1 et (bk )m6k6n+1 deux familles de nombres complexes et α un complexe. Alors
∑ ( ak + bk ) =
k=m
∑
ak +
∑
bk
et
∑
α.ak = α.
ak .
∑
k=m
k=m
k=m
k=m
n
n
n
n
n
Changement d’indice
Le changement d’indice est une opération très courante. Les exemples valent ici mieux qu’un long discours :
n
n+1
1
1
1
1
a) ∑
=
1
+
+
.
.
.
+
=
∑ p2 On a effectué ici le changement d’indice p = k + 1 . Cela
2
2
2
(
k
+
1
)
2
(
n
+
1
)
p=1
k=0
revient à remplacer tous les k de la somme initiale par des p − 1 . Mais il faut aussi changer les bornes. Quand k
varie de 0 à n que fait p = k + 1 ? Il varie de 1 à n + 1.
9
b)
7
∑ (s + 2)s+2 . On a effectué le changement d’indice r = s + 2 Quand r varie de 2
∑ rr = 2 2 + 3 3 + . . . + 9 9 =
r=2
s=0
à 9 , s = r − 2 varie de 0 à 7.
Proposition 5.1. Simplifications télescopiques
n
Soit ( ak )m6k6n+1 une famille de nombres complexes. Alors on a :
∑ ( ak+1 − ak ) = an+1 − am .
k=m
Proposition 5.2. Permutation des Sigmas
Soit ( ai, j )16i, j6n une famille de nombres complexes . On a :
n
∑
ai, j =
n
n
n
∑ ∑ ai, j = ∑ ∑ ai, j
i =1 j=1
16i, j6n
n
∑
j=1 i =1
∑
ai, j =
ij
C=
n
j
∑ ∑ ai, j = ∑ ∑ ai, j
i = 1 j =i
1 6i 6 j 6 n
n−1
1 6i < j 6 n
ai, j =
n
j=1 i =1
n j−1
n
∑ ∑
ai, j =
ij
D=
i = 1 j =i + 1
∑ ∑ ai, j .
j=2 i =1
Exercice .14.
Calculer les sommes suivantes :
A=
∑
ij
B=
16i, j6n
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∑
1 6i 6 j 6 n
∑
1 6i < j 6 n
12
∑
1 6i < j 6 n
i( j − 1)
E=
∑
(i + j )
16i, j6n
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Exercice .15.
1. Soit n un entier tel que n > 1. Simplifier la somme : Sn = 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + n.n!.
n
2. Que valent les sommes : Sn =
∑
k=0
k et
k=0
n
∑ (n − k). Simplifier
k=0
4. Soit Q, une constante. Simplifier
∑ (−1)k (2k + 1) ?
Tn =
et
k=0
n
n
3. Comparer les sommes
n
∑ (2k + 1)
∑
n
k+
k=0
∑ (n − k). Conclusion ?
k=0
!
n
n
k=0
k=0
∑ Qk − Q ∑ Qk
. Conclusion ?
Formules à connaître par coeur
+
+
+
+
+
+
n
Pour tous p, n ∈ N, on appelle coefficient binomial p parmi n , noté
, l’entier naturel :
p


n!
n
si 0 6 p 6 n
=
.
p!(n − p)!

p
0
sinon
n
n
n
n(n + 1)
Pour n > 0 :
= 1 Pour n > 1 :
,
= n, Pour n > 2 :
=
0
2
1
2
n
n
Pour tous entiers n et p avec 0 6 p 6 n, on a :
=
.
p
n−p
n
n−1
n−1
Pour tous entiers n et p avec 1 6 p 6 n − 1, on a :
=
+
.
p
p−1
p
Sous réserve que
définis,
On a les
suivantes
:
ci-dessous
soient
égalités
les coefficients
n−1
n
n
n n−1
n
n
n−p n
.
=
=
=
p+1 p
p p−1
n−p
p
p
p
p+1
Pour tous x et y de C et tout ndeN, on a :
n
n n n
n k n−k
n k
n
n
n
(1 + x) = ∑
2 = ∑
.
( x + y) = ∑
x .y
x
k
k
k
k=0
k=0
k=0
n
+ Pour n > 0 :
∑
k=
k=1
n
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)
et ∑ k2 =
.
2
6
k=1
+ Pour tous n ∈ N et a, b ∈ C on a : an − bn = ( a − b)
n−1
∑ ak bn−1−k .
k=0

 1 − qn+1
si q 6= 1
+ Pour tous n ∈ N et q ∈ C on a : ∑ qk =
.
1−q

k=0
n
si q = 1
n
5.2 - Le symbole Pi .
Définition 5.2. Symbole ∏
Soient m et n de Z tels que m 6 n et I = {m, m + 1, . . . , n − 1, n}. Pour toute famille finie ( ak )k∈ I de
n
nombres complexes, le produit am × am+1 × . . . × an−1 × an est noté ∏ ak ou
k∈ I
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13
∏ ak ou encore ∏
k=m
ak .
m6k 6n
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Remarques : 1. La lettre k peut être remplacée par tout symbole distinct des bornes m et n et ne figurant pas
dans les ak
2. ( ak )m6k6n+1 et (bk )m6k6n+1 deux familles de nombres complexes et α un complexe. Alors
n
n
∏ ( ak × bk ) =
k=m
n
ak ×
∏
k=m
∏
bk
et
k=m
n
n
k=m
k=m
∏ α.ak = α n−m+1 .
∏ ak .
3. Changement d’indice : Voir le cas d’une somme.
Proposition 5.3. Simplifications télescopiques
n
Soit ( ak )m6k6n+1 une famille de nombres complexes. On a :
∏
k=m
ak+1
a
= n+1
ak
am
Proposition 5.4. Permutation des Pi
Soit ( ai, j )16i, j6n une famille de nombres complexes. On a :
n
∏
ai, j =
n
n
∏ ∏ ai, j =
n
∏ ∏ ai, j .
i =1 j=1
16i, j6n
n
∏
j=1 i =1
n−1
ai, j =
∏
ai, j =
n
n
∏ (2k) et
k=1
∏ (2k − 1).
k=1
n
∏ (2k − 1)
2. Simplifier le produit :
k=1
.
n
∏ (2k)
k=1
n
3. Prouver les égalités :
n
∏ (4k − 2) = ∏ (n + k) =
k=1
k=1
(2n)!
.
n!
Exercice .17.
n
n
1
k
.
et
∑ k(k + 1)(k + 2) ∑ (k + 1)! .
k=1
k=1
n
1
2. Simplifier, pour n ≥ 2, la somme Sn = ∑ ln 1 − 2 .
k
k=2
1. Simplifier la somme :
n
3. Calculer Sn =
n
∑∑
k=1 p=1
e2iπ (
k+ p
n )
α +n−1 β+n−1
et Tn =
∑
k=α
∑
p=β
e2iπ (
∏ ∏ ai, j
j=2 i =1
i = 1 j =i + 1
Exercice .16.
1. Simplifier les produits suivants :
∏ ∏ ai, j =
n j−1
n
k+ p
n )
.
n
i = 1 j =i
1 6i 6 j 6 n
∏ ∏
1 6i < j 6 n
ai, j =
n
j
∏ ∏ ai, j .
j=1 i =1
n
i
Fin
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