Propositions et prédicats - Math

BTS-SIO
Propositions et prédicats
1
introduction
Définition :
Une proposition est un énoncé mathématiques qui peut être démontré comme vrai ou faux, il a valeur de
vérité. La logique en mathématique permet d’établir des règles de calculs sur les propositions.
Exercice-Exemple :
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
1. Soit n un entier, le carré de n + 1 est impair.
2. Le carré d’un nombre x supérieur ou égal à 2 est supérieur à 4.
3. Si le carré d’un nombre x est supérieur ou égal à 4 alors le nombre x est supérieur ou égal à 2.
4. (1, 2 < 1, 3) ou (1, 2 = 1, 3)
2
introduction aux calculs propositionnels
Une proposition peut prendre une valeur f ausse on la notera F ou 0, ou une valeur vraie on la notera V ou 1.
Les nombres 0 et 1 sont utilisés en informatique (ou en électronique fermé ou ouvert), en numération binaire.
Ainsi une proposition peut être associée à une variable a et ou peut alors définir des règles de calculs dans les
sous-sections suivantes.
Définition :
Soient n propositions a1 , a2 , ..., an et P la proposition résultant d’un calcul des n propositions. On établit
alors une table de vérité, un tableau, donnant les 2n résultats possibles, chacune des n propositions ai
prenant la valeur 0 ou 1 :
La dernière colonne du tableau est à déterminée suivant la nature du calcul.
a1
0
0
...
1
a2
0
0
...
1
...
...
...
...
1
an
0
1
...
1
P
–
–
...
–
Exemple :
– n = 2,
a1
0
0
1
1
a2
0
1
0
1
P
–
–
–
–
– n = 3,
a1
0
0
0
0
1
1
1
1
S.Mirbel
a2
0
0
1
1
0
0
1
1
a3
0
1
0
1
0
1
0
1
P
–
–
–
–
–
–
–
–
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2.1
négation
Règle :
La négation d’une proposition a est notée ¬a, elle est f ausse si a est vraie et elle est vraie si a est fausse.
Remarque :
Soit a une proposition, ¬¬a = a.
Table de vérité :
a
0
1
¬a
1
0
Exercice-exemple :
Donner la négation de la proposition ai pour i entier variant de 1 à 4, puis donner la vérité de a et de ¬a.
1. a1 : 2 < 3.
2. a2 : 2 = 4.
3. a3 : 3 est impair.
4. a4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 24.
2.2
conjonction
Règle :
La conjonction de deux propositions a et b est notée a ∧ b, on l’interprète par a et b. La proposition a ∧ b n’est
vraie que si a et b sont vraies.
Table de vérité :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a∧b
0
0
0
1
Exercice-exemple :
Donner vérité de ai ∧ bi pour i entier variant de 1 à 4.
1. a1 : 2 < 3 ; b1 : 2 < 5.
2. a2 : 2 = 4 ; b2 : 2 < 4.
3. a3 : 3 est impair ; b3 : 3 est multiple de 21.
4. a4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 24 ; b4 : le plus grand diviseur de 4 et 6 est 1.
2.3
disjonction
Règle :
La disjonction de deux propositions a et b est notée a ∨ b, on l’interprète par a ou b. La proposition a ∨ b n’est
fausse que si a et b sont fausses.
Table de vérité :
a
0
0
1
1
S.Mirbel
b
0
1
0
1
a∨b
0
1
1
1
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Exercice-exemple :
Donner vérité de ai ∧ bi pour i entier variant de 1 à 4.
1. a1 : 2 < 3 ; b1 : 2 < 5.
2. a2 : 2 = 4 ; b2 : 2 < 4.
3. a3 : 3 est impair ; b3 : 3 est multiple de 21.
4. a4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 24 ; b4 : le plus grand diviseur de 4 et 6 est 1.
2.4
implication
Règle :
La proposition a implique la proposition b est notée a ⇒ b. La proposition a ⇒ b n’est fausse que si a est vraie
et b est fausse.
On décline le langage suivant :
– si a alors b.
– b dès que a.
– a seulement si b.
– Il est suffisant que a pour que b.
– Il est nécessaire que b pour que a.
Table de vérité :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a⇒b
1
1
0
1
Exercice-exemple :
Donner vérité de ai ⇒ bi pour i entier variant de 1 à 5.
1. a1 : 2 < 3 ; b1 : 2 < 5.
2. a2 : 2 = 4 ; b2 : 2 < 4.
3. a3 : 3 est impair ; b3 : 3 n’est pas pair.
4. a4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 12 ; b4 = ¬a4 .
5. a5 = ¬a3 ; b5 = b3 .
Remarques :
Soient deux propositions a et b.
– a ⇒ b ne dépend pas du contenu des propositions a et b, il n’y a pas nécessairement de lien de cause à effet.
– La vérité de b n’a aucune influence lorsque a est fausse.
– Si a est fausse alors quelque soit la vérité de la proposition b, a ⇒ b est vraie. A partir d’une proposition
fausse on construit une implication vraie.
Définitions :
Soient a et b deux propositions.
– La proposition réciproque de la proposition a ⇒ b est b ⇒ a.
– La proposition contraposée de la proposition a ⇒ b est ¬b ⇒ ¬a
Exercice-exemple :
Donner la proposition réciproque, puis la proposition contraposée des implications suivantes :
(x < 2) ⇒ (x < 3).
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2.5
équivalence
Règle :
La proposition a équivaut à la proposition b se note a ⇔ b. La proposition a ⇔ b n’est fausse que si seule une
des deux propositions a ou b est fausse.
On décline le langage suivant :
– si a alors b et réciproquement si b alors a.
– b dès que a et réciproquement a dès que b.
– a seulement et seulement si b.
– Il est suffisant que a pour que b et nécessaire que a pour que b.
– Il est nécessaire que b pour que a et suffisant que b pour que a.
Table de vérité :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a⇔b
1
0
0
1
Exercice-exemple :
Donner la vérité de ai ⇔ bi pour i entier variant de 1 à 5.
1. a1 : 2 < 3 ; b1 : 2 < 5.
2. a2 : 2 = 4 ; b2 : 2 < 4.
3. a3 : 3 est impair ; b3 : 3 n’est pas pair.
4. a4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 12 ; b4 = ¬a4 .
5. a5 = ¬a3 ; b5 = b3 .
Remarques :
Soient deux propositions a et b.
– On retrouve les résultats et les remarques d’une double implication, et a fausse ne peut être équivalente qu’à
une proposition b fausse.
3
Propriétés des opérations sur des propositions
Soient a, b et c trois propositions.
Commutativité :
a∧b⇔b∧a
(1)
a∨b⇔b∨a
(2)
Démonstration :
Compléter la table de vérité :
a
0
0
1
1
S.Mirbel
b
0
1
0
1
a∧b
b∧a
a∨b
b∨a
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Associativité :
(a ∧ b) ∧ c ⇔ a ∧ (b ∧ c)
(3)
(a ∨ b) ∨ c ⇔ a ∨ (b ∨ c)
(4)
Démonstration :
Compléter la table de vérité :
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
a∧b
b∧c
(a ∧ b) ∧ c
a ∧ (b ∧ c)
a∨b
b∨c
(a ∨ b) ∨ c
a ∨ (b ∨ c)
Double distributivité :
a ∨ (b ∧ c) ⇔ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
(5)
a ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
(6)
Démonstration :
Compléter la table de vérité :
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
b∧c
a ∨ (b ∧ c)
a∨b
a∨c
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Éléments neutres :
Soient a une proposition, V une proposition vraie et F une proposition fausse.
a∧V ⇔a
(7)
a∨F ⇔a
(8)
Démonstration :
Il suffit de lire la table de vérité de chacune des deux opérations.
Compléments :
a ∨ ¬a est toujours vraie.
a ∧ ¬a est toujours faux.
Démonstration :
Compléter la table de vérité :
a
0
1
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¬a
a ∨ ¬a
a ∧ ¬a
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Idem potence :
a∨a⇔a
a∧a⇔a
Involution :
¬¬a ⇔ a
Implications et équivalences :
(a ⇒ b) ⇔ (¬a ∨ b)
(9)
(a ⇒ b) ⇔ (¬b ⇒ ¬a)
(10)
(a ⇔ b) ⇔ ((a ⇒ b) ∧ (b ⇒ a))
(11)
Démonstration :
Compléter les tables de vérité :
b
0
1
0
1
¬a
b
0
1
0
1
b
0
1
0
1
a⇒b
¬a
a⇔b
a⇒b
b⇒a
a
0
0
1
1
a
0
0
1
1
a⇒b
a
0
0
1
1
¬b
¬a ∨ b
¬b ⇒ ¬a
((a ⇒ b) ∧ (b ⇒ a))
Lois de Morgan :
¬ (a ∧ b) ⇔ (¬a ∨ ¬b)
(12)
¬ (a ∨ b) ⇔ (¬a ∧ ¬b)
(13)
Démonstration :
Compléter la table de vérité :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a∧b
¬ (a ∧ b)
¬a
¬b
(¬a ∨ ¬b)
¬ (a ∨ b)
(¬a ∧ ¬b)
Conséquence des lois de Morgan :
Le principe de dualité consiste à changer le rôle de ∧ et ∨, les propositions conservent les propriétés de vérité.
Reprenez les opérations et constatez que le principe de dualité fonctionne de la même manière que la
distributivité :
a ∨ (b ∧ c) ⇔ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
a ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
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4
Prédicats
4.1
Introduction
Définition :
Un prédicat est un énoncé qui dépend d’une ou plusieurs variables, il devient une proposition si x prend une
valeur donnée ou un ensemble de valeurs donné.
Exemple :
a(x):”x2 < 4” est un prédicat ;
b(x):”pour tout entier x strictement inférieur à 2, x2 < 4” est une proposition vraie.
4.2
Quantificateur
Symboliques :
– Le quantificateur existentiel est symbolisé par ∃.
– Le quantificateur universel est symbolisé par ∀.
Exemple :
∀x ∈ N, 2x + 1 est impair ; se lit quelque soit x entier, 2x + 1 est impair.
∃x ∈ N, x + 1 = 2 ; se lit il existe x entier tel que x + 1 = 2.
Les deux propositions sont vraies.
4.3
Négation d’une proposition quantifiée
Soit b une proposition,
– a : ∀, b ; ¬a : ∃, ¬b.
– a : ∃, b ; ¬a : ∀, ¬b.
Exercice-exemple :
Donner les négations des propositions ai suivantes, i variant de 1 à 2, et donner la vérité de ces propositions :
1. a1 : ∀x ∈ N, 2x + 1 est impair.
2. a2 : ∃x ∈ N, x + 1 = 2.
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