Topologie Elémentaire

Topologie Elémentaire
Licence de Mathématiques
Université Lyon 1
Drago³ Iftimie
Wikipédia : Le mot topologie vient de la contraction des noms grecs topos et logos qui signient
respectivement lieu et étude . Littéralement, la topologie signie l' étude du lieu . Elle
s'intéresse donc à dénir ce qu'est un lieu (appelé aussi espace ) et quelles peuvent en être les
propriétés. 1
Table des matières
1 Espaces métriques
3
2 Norme, espaces vectoriels normés
5
3 Ensembles ouverts, fermés
6
4 Adhérence, intérieur, extérieur, frontière
8
5 Limites et continuité
9
6 Applications linéaires continues
9
7 Espaces complets
10
8 Espaces de Banach
13
9 Rudiments de compacité
14
10 Point xe des applications contractantes
16
11 Dimension nie : équivalence des normes et compacité
17
12 Connexité, connexité par arcs
18
13 Exponentielle d'un endomorphisme
21
2
1 Espaces métriques
Dénition.
pour tout
X un
x, y, z ∈ X :
Soit
ensemble. Une distance sur
X
est une application
d : X ×X → R
vériant
i) (d(x, y) = 0) ⇔ (x = y) ;
ii) d(y, x) = d(x, y) (symétrie) ;
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire).
Un espace métrique est un couple
(X, d)
où
X
d
est un ensemble et
est une distance sur
X.
Voici quelques propriétés de la distance.
Proposition 1.
Une distance
d
X
sur un ensemble
vérie :
a) La distance est toujours positive ou nulle :
∀x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0.
b) La distance entre les distances est plus petite que la distance :
∀x, y, z ∈ X, |d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z).
Démonstration. a) En utilisant successivement i), iii) et ii) on obtient pour
x, y ∈ X
0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y).
x, y, z ∈ X : d(x, z)−d(x, y) ≤ d(y, z). Par symétrie et en utilisant
d(x, y) − d(x, z) ≤ d(z, y) = d(y, z). On en déduit |d(x, z) − d(x, y)| ≤ d(y, z).
b) En utilisant iii) on obtient pour
ii), on a aussi :
Exemples d'espaces métriques :
•
•
La droite réelle munie de la valeur absolue :
(R, d)
d(x, y) = |x − y|.
(Rn , d2 ) où
où
L'espace euclidien muni de la distance euclidienne :
v
u n
uX
d2 (x, y) = t (xi − yi )2 .
i=1
Boules
Dénition.
Soit
(X, d)
un espace métrique, soit
(resp. boule fermée) de centre
x
et de rayon
resp.
Pour
0 < r < r0
les inclusions
r
x∈X
et soit
r ∈ R∗+ .
On appelle boule ouverte
l'ensemble
B(x, r) = {y ∈ X, d(x, y) < r}
Bf (x, r) = {y ∈ X, d(x, y) ≤ r}.
B(x, r) ⊂ Bf (x, r) ⊂ B(x, r0 )
sont des conséquences directes de
la dénition. Dans les exemples ci-dessous on peut voir que ces inclusions sont souvent strictes mais
pas toujours.
3
Parties bornées, fonctions bornées
Dénition.
boule fermée
(X, d) un espace métrique. On
Bf (x0 , r) telle que A ⊂ Bf (x0 , r),
Soit
dit qu'une partie
A
de
X
est bornée s'il existe une
∀x ∈ A, d(x0 , x) ≤ r.
Compte tenu de la remarque ci-dessus sur les inclusions des boules, il est clair que l'on peut
remplacer l' adjectif fermée par ouverte. De plus l'inégalité triangulaire entraîne que le caractère
0
0
0
borné de A ne dépend pas du choix de x0 (avec un x0 il sut de remplacer r par r = r + d(x0 , x0 )).
Dénition.
X un ensemble et (Y, d) un espace métrique.
fonction f : X → Y est bornée si son image f (X) est bornée.
de F (X; Y ) des fonctions bornées.
Soit
Autres exemples d'espaces métriques.
Si
X
est un ensemble on dit qu'une
On note
Fb (X; Y )
le sous-ensemble
Les exemples classiques d'espaces métriques sont les
espaces normés qui seront dénis et étudiés plus loin. Voici maintenant deux exemples d'espaces
métriques qui ne sont pas normés.
•
Distance triviale : Sur un ensemble
X
quelconque on peut mettre la distance triviale donnée
par
∀x, y ∈ X,
d(x, y) =
0
1
si
x=y
sinon.
B(x, 21 ) = {x} = Bf (x, 12 ) = B(x, 1) tandis que Bf (x, 1) = X est diérent
{x} = B(x, 1) si X a au moins 2 éléments.
• Soit (X, d) un espace métrique et une application ϕ : R+ → R+ croissante sous-additive et
s'annulant qu'en 0 :
Dans ce cas on a
(ϕ(u) = 0) ⇔ (u = 0)
∀u, v ∈ R+ , ϕ(u) ≤ ϕ(u + v)
≤
croissante
ϕ ◦ d est
u
.
ϕ(u) = 1+u
Alors
et
une distance sur
X.
de
ne
ϕ(u) + ϕ(v)
sous−additive
Deux cas particuliers sont intéressants :
ϕ(u) = min{1, u}
cours 1
cours 2
Distance entre deux parties, diamètre
Dénition.
et
B
Soit
(X, d)
un espace métrique, et
A, B
deux parties de
X
on appelle distance entre
A
la quantité
d(A, B) = inf{d(x, y), x ∈ A, y ∈ B}.
On appelle diamètre d'une partie
A
de
X
et on note
Diam(A)
la quantité
Diam(A) = sup{d(x, y), x ∈ A, y ∈ A}.
Exemple.
A ∩ B 6= ∅ alors d(A, B) = 0 tandis que A peut très bien être diérent de B . On peut
également avoir d(A, B) = 0 avec A et B disjoints comme le montre l'exemple suivant : A = {0} ⊂ R
1
et B = {
, n ∈ N}. Ainsi la distance entre les parties ne dénit pas vraiment une distance sur
n+1
P(R) (ou P(X) en général). Il s'agit donc d'un abus de notation et il faut bien interpréter d(A, B)
comme l'inmum de la distance entre les points de A et de B .
On vérie immédiatement qu'une partie A de X est bornée si et seulement si son diamètre est
Si
ni.
4
2 Norme, espaces vectoriels normés
Un exemple important d'espace métrique sur lequel nous reviendrons plus loin est le cas des
espaces vectoriels normés.
Dénition. On appelle norme sur E une application de E dans R+ habituellement notée k k vériant
pour tout
x, y ∈ E
et tout
λ∈R
i) kλxk = |λ| kxk (homogénéité),
ii) (kxk = 0) ⇒ (x = 0),
iii) kx + yk ≤ kxk + kyk (inégalité triangulaire).
Un espace vectoriel normé est un couple
norme sur
(E, k k)
où
E
est un espace vectoriel réel et
kk
est une
E.
La proposition suivante précise en quel sens les espaces vectoriels normés sont des espaces métriques. Il s'ensuit que toutes les propriétés des distances données plus haut ont une traduction en
terme de norme dans les espaces vectoriels normés (En particulier, comme pour les distances il n'est
pas nécessaire de supposer la norme positive ou nulle ; c'est une conséquence des axiomes i), ii) et
iii)).
Proposition 2.
Si
une distance sur
E.
(E, k k)
est un espace vectoriel normé alors la quantité
d(x, y) = kx − yk
dénit
λ = 0 et ii) pour la norme k k entraîne la
propriété i) de la distance d. La propriété i) avec λ = −1 pour la norme entraîne la propriété ii) pour
Démonstration. Il est clair que les hypothèses i) avec
la distance. L'inégalité triangulaire suit immédiatement.
Exemples d'espaces normés.
a) La valeur absolue (ou le module)
||
est une norme sur
R.
b) La quantité
 p1
n

 P |x |p
i
kxkp =
i=1

 max |x |
i∈{1,...,n}
dénit une norme sur
i
pour
p < +∞
pour
p = +∞.
Rn .
c) La norme
 p1
∞

 P |x |p
pour p < +∞
i
kxkp =
i=0

 sup |x | pour p = +∞.
i
i∈N
sur l'espace des suites
`p
:
`p = {x = (xi )i≥0 ; kxkp < ∞}.
d) Norme de la convergence uniforme sur
Fb (X; R)
: Soit
X
un ensemble on munit
Fb (X; R)
de
la norme
∀f ∈ Fb (X; R), kf k∞ = sup |f (x)|.
x∈X
k k∞ dénie plus haut si X est ni.
Plus généralement, si X est un ensemble et si (E, k k) est un espace vectoriel normé, on
dénir une norme de la convergence uniforme sur Fb (X; E) en posant
Il est clair que cette norme coïncide avec la norme
∀f ∈ Fb (X; E), kf k∞ = sup kf (x)k .
x∈X
5
peut
e) Soit
I
un intervalle fermé bornée de
R.
La quantité
0
C (I, R) 3 f 7→ kf kLp =
Z
p
|f |
p1
I
dénit une norme sur
Proposition 3
a) Pour tout
C 0 (I, R)
I
(= l'ensemble des fonctions continues de
dans
R).
.
(Inégalité de Minkowski)
x, y ∈ Rn
nous avons que
kx + ykp ≤ kxkp + kykp .
b) Soit
I
un intervalle fermé bornée de
R.
Pour tout
f, g ∈ C 0 (I, R)
nous avons que
kf + gkLp ≤ kf kLp + kf kLp .
a).
a, b ∈ R+ et
Démonstration. Voici les étapes de la preuve de la partie
•
On montre dans un premier temps que pour
1
p
+
1
q
=1
on a
1
1
ab ≤ ap + aq .
p
q
x → ex .
(a1 , . . . , an ), (b1 , . . . bn ) ∈ Rn ,
Ceci est une conséquence de la convexité de la fonction
•
Inégalité de Hölder : On montre ensuite que pour
n
X
ai b i ≤
n
X
i=1
! p1
n
X
|ai |p
! 1q
|bi |q
avec
i=1
i=1
1 1
+ = 1.
p q
On commence par montrer cette relation dans le cas particulier où
•
puis on la déduit dans le cas général.
p
p−1
En partant de |ai + bi | ≤ |ai + bi |
(|ai | +
n
R on a
! p1
n
X
|ai + bi |p
≤
b)
Pn
i
|ai |p =
Pn
i=1
|bi |q = 1,
|bi |), on montre enn que pour (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈
n
X
i=1
La preuve de la partie
on a
! p1
|ai |p
n
X
+
i=1
! p1
|bi |p
.
i=1
cours 2
est similaire.
cours 3
3 Ensembles ouverts, fermés
Soit
(X, d)
Dénition.
un espace métrique.
On appelle
ouvert de
(X, d)
toute partie
O
de
X
qui est vide ou qui vérie
∀x ∈ O, ∃r > 0, B(x, r) ⊂ O.
On appelle
voisinage de x dans X , toute partie de X
contenant un ouvert contenant
x.
De manière
équivalente :
V (x) = {V ∈ P(X), ∃r > 0, B(x, r) ⊂ V }.
Proposition 4. L'ensemble des ouverts d'un espace métrique vérie les propriétés suivantes
(O1) Toute réunion d'ouverts est un ouvert,
(O2) Une intersection nie d'ouverts est un ouvert,
6
(O3) X
∅
et
sont des ouverts.
Les trois propriétés ci-dessus dénissent ce qu'on appelle une topologie. Les espaces topologiques
généraux ne seront cependant pas étudiés dans ce cours. On se contentera des espaces normés, et
dans une moindre mesure des espaces métriques.
Proposition 5.
Une boule ouverte est un ensemble ouvert.
Démonstration. Soit B(x0 , r0 ) une boule ouverte de (X, d). Soit x ∈ B(x0 , r0 ). On a d(x0 , x) < r0 et
r0 −d(x0 ,x)
. Alors la boule B(x, ρ) est incluse dans B(x0 , r0 ). En eet pour y ∈ B(x, ρ) on
on pose ρ =
2
a
d(x0 , y) ≤ d(x0 , x) + d(x, y) < d(x0 , x) +
Corollaire.
Un ouvert de
Démonstration. Soit
O
(X, d)
Dénition.
On appelle
est une union quelconque de boules ouvertes.
(X, d). Pour
O = ∪x∈O B(x, rx ).
un ouvert de
(Dénition 3). On en déduit
r0 + d(x0 , x)
r0 − d(x0 , x)
=
< r0 .
2
2
fermé toute partie de X
tout
x ∈ O,
il existe
rx > 0
tel que
B(x, rx ) ⊂ O
dont le complémentaire est un ouvert.
On déduit de (O1)(O2) et (O3) par passage au complémentaire les propriétés :
Proposition 6. La famille de tous les fermés vérie
(F1) Toute intersection de fermés est un fermé.
(F2) Une réunion nie de fermés est un fermé.
(F3) ∅ et X sont des fermés.
Proposition 7.
Dans un espace métrique
(X, d),
toute boule fermée est un fermé.
Bf (x0 , r0 ) une boule fermée de (X, d). Il s'agit de montrer que {X Bf (x0 , r0 ) est
d(x0 ,x)−r0
un ouvert. Soit x 6∈ Bf (x0 , r0 ). On a d(x0 , x) > r0 et on pose ρ =
. Alors la boule B(x, ρ)
2
est incluse dans {X Bf (x0 , r0 ). En eet pour y ∈ B(x, ρ) on a
Démonstration. Soit
d(x0 , x) − d(x0 , y) ≤ |d(x0 , x) − d(x0 , y)| ≤ d(x, y) < ρ =
d'où l'on tire
d(x, x0 ) − r0
2
d(x0 , x) + r0
d(x0 , x) − r0
= d(x0 , x) −
< d(x0 , y).
2
2
dit explicitement y ∈ {X B(x0 , r0 ).
r0 <
Cette dernière inégalité
Exemples.
a) Dans
R
les intervalles fermés
b) Les intervalles
[a, +∞[
c) Les intervalles
[a, b[
et
[a, b], −∞ < a ≤ b < +∞
] − ∞, b], a, b ∈ R
sont fermés.
sont aussi des fermés dans
ne sont ni ouverts ni fermés.
7
R.
4 Adhérence, intérieur, extérieur, frontière
Dénition. Soit A une partie de X et soit x un élément de X . On dit que
• x est adhérent à A si tout voisinage V de x dans X contient un point de A.
• x est un point d'accumulation de A si tout voisinage V de x dans X contient
A diérent de x.
• x est un point isolé de A s'il existe un voisinage V de x tel que V ∩ A = {x}.
• x est intérieur à A si A est un voisinage de x dans X , A ∈ V (x).
• On appelle adhérence de A et on note A l'ensemble de tous les points adhérents
◦
•
•
•
un point de
à
A.
intérieur de A, et on note A, l'ensemble des points intérieurs à A.
frontière de A F r(A) = A ∩ {X A.
L'ensemble A est dit dense dans X si A = X .
On appelle
On appelle
Proposition 8.
Soit
a) L'adhérence
seulement si
(X, d)
A de A
A = A.
un espace métrique et
A
une partie de
X
est le plus petit fermé de
contenant
X.
A.
L'ensemble
A
est fermé si et
◦
b) L'intérieur de
A
est le plus grand ouvert contenu dans
A, A =
∪
O ouvert, O⊂A
O.
L'ensemble
A
◦
est ouvert si et seulement si
A = A.
◦
c) On a
F r(A) = A \ A.
◦
_
◦
De plus
(A, F r(A), {X A)
Démonstration. Partie a). On écrit la dénition de
forme une partition de
A
X.
de façon ensembliste et on passe au complé-
mentaire
A = {x ∈ X, ∀V ∈ V (x), A ∩ V 6= ∅} = {X {x ∈ X, ∃V ∈ V (x), A ∩ V = ∅}.
En utilisant la dénition des voisinages, on obtient
A = {X {x ∈ X ∃O ouvert, A ∩ O = ∅} = {X
Ainsi
∩
A=
O ouvert, O∩A=∅
{X O =
∩
F fermée, A⊂F
F
∪
O .
O ouvert, O∩A=∅
est le plus petit fermé contenant
A.
Partie b). Il sut d'écrire la dénition de l'intérieur de façon ensembliste et d'utiliser la dénition
des voisinages
◦
A = {x ∈ A, A ∈ V (x)} = {x ∈ A, ∃O ∈ O, x ∈ O ⊂ A} =
Pour une partie
A
◦
de
X on
{X A = {X
∪
O ouvert, O∈A
O.
écrit
∪
O ouvert, O∈A
O
=
∩
O ouvert, O∈A
{X O =
∩
F fermé, {X A⊂F
F = {X A.
La deuxième égalité s'obtient par passage au complémentaire.
Partie c). Pour une partie
A
de
X
on a
◦
◦
F r(A) = A ∩ {X A = A ∩ {X A = A \ A.
◦
_
◦
Ainsi
(A, F r(A))
forme une partition de
A
tandis que
8
(A, {X A = {X A)
est une partition de
X.
Exemples.
a) Dans
R
adhérent à
adhérent à
b) Dans
R
1
A = { n+1
, n ∈ N}.
on considère l'ensemble
Le point
A mais n'est pas point d'accumulation. Le
A. C'est un point d'accumulation de A.
point
0
muni de la distance usuelle, l'ensemble des rationnels
dense dans
1
est un point isolé de A, il est
2
n'appartient pas à A mais il est
Q
et des irrationnels
R\Q
est
R.
c) Sur un ensemble
X
non vide muni de la distance triviale (distance discrète). On a
◦
B(x, 1) = {x} = {x},
On voit en particulier que si
rayon
1
Bf (x, 1) = X,
X
a au moins
n'est pas la boule fermée de rayon
B(x, 1) = {x}
et
F r(B(x, 1)) = ∅.
2 éléments alors l'adhérence de la boule ouverte de
1. Cela ne peut pas arriver dans un espace normé
ou l'adhérence de la boule ouverte est toujours la boule fermée.
5 Limites et continuité
Dénition.
(X, d) un espace métrique. Soit (xn )n∈N une suite d'éléments de X et soit x ∈ X .
On dit que la suite (xn )n∈N tend vers x, et on note xn → x, quand n tend vers l'inni si d(xn , x) → 0
quand n → ∞. De manière équivalente,
Soit
∀ε > 0,
∃Nε ∈ N,
∀n ≥ Nε ,
d(xn , x) ≤ ε.
Remarque. Dans R, la convergence dénie ci-dessus coïncide avec la convergence usuelle.
Dénition. Soient (X, d) et (X 0 , d0 ) deux espaces métriques et f : X → X 0 une application.
•
On dit que
f
b
admet la limite
au point
a,
et on note
lim f (x) = b
x→a
si
xn → a
entraîne que
f (xn ) → b.
•
On dit que
f
•
On dit que
f
Proposition 9.
Alors
f
lim f (x) = f (a).
x→a
est continue (sur X ) si f est continue en tout point.
est continue en
Soient
(X, d)
et
a
si
(X 0 , d0 )
deux espaces métriques et
cours 3
f : X → X0
une application.
est continue si et seulement si l'image inverse d'un ouvert et un ouvert. Ou encore si et
seulement si l'image inverse d'un fermé est un fermé.
6 Applications linéaires continues
Proposition 10. Soit (E, k kE ) et (F, k kF ) deux espaces vectoriels normés. Une application linéaire
f :E→F
est continue si et seulement si il existe une constante
M >0
telle que
∀x ∈ E, kf (x)kF ≤ M kxkE .
⇒ Si f est une application linéaire continue de E dans F , il existe ρ > 0 tel que la
−1
boule fermée de E , Bf,E (0, ρ), soit incluse dans f
(Bf,F (0, 1)). Pour x ∈ E \ {0}, le vecteur kxkρ x
E
appartient à Bf,E (0, ρ) d'où
ρ
ρ
≤ 1.
kf (x)kF = f
x
kxk
kxk
Démonstration.
E
M=
1
.
ρ
Si on a la constante
M
Il sut de prendre
⇐
E
F
alors on a
∀x, y ∈ E, kf (y) − f (x)kF = kf (y − x)kF ≤ M ky − xkE
et l'application linéaire
Remarque.
f
est Lipschitzienne.
Toute application linéaire continue
f :E→F
9
est Lipschitzienne.
cours 4
Exemples.
C 0 ([0, 1]; R)
a) Si on munit
de la norme
kf k∞ = sup |f |,
alors la forme linéaire
f → f (1/2)
est
[0,1]
continue.
b) Même exemple mais en remplaçant la norme
linéaire
f → f (1/2)
k · k∞
par la norme
kf k1 =
R1
0
|f (t)| dt.
La forme
n'est pas continue.
Voici une application à l'équivalence des normes.
Dénition (équivalence).
•
•
•
0
Deux distances d, d sur un même ensemble X sont dites métriquement équivalentes s'il existe
0
C, C > 0 tels que Cd(x, x0 ) ≤ d0 (x, x0 ) ≤ C 0 d(x, x0 ) pour tout x, x0 ∈ X .
0
Deux distances d, d sur un même ensemble X sont dites topologiquement équivalentes si les
ouverts associés sont les mêmes.
0
Deux normes k · k, k · k sur un même espace vectoriel X sont dites équivalentes s'il existe
C, C 0 > 0 tels que Ckxk ≤ kxk0 ≤ C 0 kxk pour tout x ∈ X .
Comme pour les distances, on pourrait dénir la notion de normes topologiquement équivalentes.
Il se trouve que cette notion n'apporte rien de nouveau par rapport à la notion d'équivalence dénie
ci-dessus.
Proposition 11.
Deux normes sur un espace vectoriel
E
dénissent les mêmes ouverts si et seule-
ment si elles sont équivalentes.
Démonstration. Deux normes sont topologiquement équivalentes si l'application
Mais comme
Id
Id
est bicontinue.
est linéaire cela entraîne qu'elle est bilipschitzienne et donc que les normes sont
équivalentes.
Dénition. Les normes k kE et k kF étant xées, on note L (E; F ) l'espace des applications linéaires
0
continues de E dans F . On appelle dual topologique de E et on note E = L (E; R) l'espace des
formes linéaires continues sur
Proposition 12.
E.
La quantité
kf k = sup
x6=0
est une norme sur
kf (x)kF
= sup kf (x)kF = inf{M ; ∀x ∈ E, kf (x)kF ≤ M kxkE }
kxkE
kxkE =1
L (E; F ).
cours 4
On termine avec une estimation de la norme de la composée de deux applications linéaire continues.
Proposition 13.
f ∈ L (E; F )
et
(E, k kE ), (F, k kF ) et (G, k kG ) sont trois espaces vectoriels normés alors pour
g ∈ L (F ; G) la composée g ◦ f appartient à L (E; G) et on a kg ◦ f k ≤ kgk kf k.
Si
Démonstration. Il est clair que la composée
g◦f
est linéaire et continue. De plus pour
x∈E
on a
kg ◦ f (x)kG = kg [f (x)]kG ≤ kgk kf (x)kF ≤ kgk kf k kxkE ,
d'où la majoration de la norme de
g ◦ f.
7 Espaces complets
Jusqu'à présent on pouvait parler de la convergence d'une suite seulement quand on connaissait
a priori la limite. La complétude qui est une notion métrique permet de prédire l'existence d'une
limite à partir de propriétés de la suite.
10
cours 5
Suites de Cauchy
Dénition.
On dit qu'une suite
(xn )n∈N
d'un espace métrique
(X, d)
est
de Cauchy si elle vérie
∀ε > 0, ∃Nε ∈ N, ∀m, n ≥ Nε , d(xm , xn ) ≤ ε.
Autrement dit
lim d(xn , xm ) = 0.
m,n→∞
Voici quelques propriétés des suites de Cauchy.
Proposition 14.
Une suite de Cauchy est toujours bornée.
Démonstration. Il existe
d(xn , xN1 ) ≤ 1
N1
et en posant
∀m, n ≥ N1 , d(xm , xn ) ≤ 1.
M = maxk<N1 d(xk , xN1 ) :
tel que :
En particulier on a pour
n ≥ N1 ,
∀n ∈ N, d(xn , xN1 ) ≤ max{M, 1}.
L'argument suivant est très commode.
Proposition 15.
Toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente converge.
(xn )n∈N une suite de Cauchy de (X, d) telle que limk→∞ xnk = l ∈ X .
Nε ∈ N et kε ∈ N tels que
ε
ε et
∀k ≥ kε , d(xnk , l) ≤
.
∀m, n ≥ Nε , d(xm , xn ) ≤
2
2
Démonstration. Soit
ε>0
il existe
On prend
Nε0 = max{Nε , nkε }
et on a pour
Pour
n ≥ Nε0
d(xn , l) ≤ d(xn , xnkε ) + d(xnkε , l) ≤ ε.
Ainsi
limn→∞ xn = l.
Proposition 16.
Toute suite convergente est de Cauchy.
(xn )n∈N une suite de (X, d) telle
d(xn , l) ≤ 2ε pour n ≥ Nε . On a alors
Démonstration. Soit
Nε ∈ N
tel que
que
limn→∞ xn = l ∈ X .
Pour
ε>0
il existe
∀m, n ≥ Nε , d(xm , xn ) ≤ d(xm , l) + d(l, xn ) ≤ ε
et la suite est de Cauchy.
Un espace métrique complet est un espace métrique ou la réciproque est vraie.
Dénition.
On dit que l'espace métrique
(X, d)
est
complet si toute suite de Cauchy converge.
Exemples.
a)
R est complet. En eet, soit (xn )n∈N une suite de Cauchy de R. Elle est bornée : ∀n ∈ N, |xn | ≤
M . On peut donc extraire une sous-suite qui converge dans R (puisque [−M, M ] est compact).
Mais alors la Proposition 15 donne la convergence de toute la suite. On peut aussi faire une
démonstration sans utiliser l'argument de compacité et en revenant à la propriété de la borne
supérieure de
R.
Il sut pour cela de montrer que les suites
yn = inf p≥n xp
et
zn = supp≥n xp
sont des suites adjacentes.
b)
Rn
est complet. Résulte de la complétude de
11
R
en raisonnant composante par composante.
c)
Q n'est pas complet. On peut approcher un irrationnel r ∈ R \ Q par une suite de rationnels
xn = pqnn . La suite (xn )n∈N est de Cauchy dans R et donc dans Q. Elle ne converge pas dans Q
puisque r 6∈ Q.
C 0 ([0, 1]; R)
muni de la
est un espace métrique complet, alors
Fb (X; X 0 )
d) Voici maintenant un exemple d'espace normé qui n'est pas complet :
1
norme L .
Un autre exemple est donné par la proposition suivante.
Théorème 17.
muni de la
X est un
distance d∞ de la
Si
Démonstration. Soit
(fn )n∈N
ensemble et
(X 0 , d0 )
convergence uniforme est complet.
une suite de Cauchy de
(Fb (X; X 0 ), d∞ )
:
∀ε > 0, ∃Nε ∈ N, ∀m, n ≥ Nε , sup d0 (fn (x), fm (x)) ≤ ε.
x∈X
x ∈ X , la suite (fn (x))n∈N est de Cauchy dans (X 0 , d0 ) qui est complet et admet
0
donc une limite dans X que l'on note f (x).
0
On a ainsi déni une fonction f : X → X . Vérions qu'elle est bornée sur X . Il existe N1 ∈ N tel
0
que d∞ (fN1 , fn ) ≤ 1 pour tout entier n ≥ N1 . On a alors pour y0 ∈ X (on note également y0 la
0
fonction constante X → X associée)
En particulier pour
∀x ∈ X, ∀n ≥ N1 , d0 (y0 , fn (x)) ≤ d0 (y0 , fN1 (x)) + 1 ≤ d∞ (y0 , fN1 ) + 1
et en prenant la limite
n→∞
(pour
x∈X
xé) on obtient
∀x ∈ X, d0 (y0 , f (x)) ≤ d∞ (y0 , fN1 ) + 1
et
f ∈ Fb (X; X 0 ).
(fn )n∈N converge vers f dans Fb (X; X 0 ) pour la distance de la convergence
ε > 0 et x ∈ X , on a l'inégalité d0 (fn (x), fm (x)) ≤ ε pour m, n ≥ Nε . On prend
x ∈ X xé et on obtient
Vérions enn que la suite
uniforme
la limite
d∞ . Pour
m→∞à
∀x ∈ X, ∀n ≥ Nε , d0 (fn (x), f (x)) ≤ ε,
ne dépend pas de x,
0
et la suite (fn )n∈N converge dans (Fb (X; X ), d∞ ).
ce qui s'écrit aussi, puisque
Remarque.
Nε
d∞ (fn , f ) ≤ ε.
Ainsi on a
limn→∞ d∞ (fn , f ) = 0
La démonstration ci-dessus procède d'une méthode assez générale pour établir la com-
plétude d'un espace métrique : 1) Identier une limite possible pour la suite de Cauchy (souvent en
utilisant un résultat de complétude connu et en faisant intervenir une distance mieux connue) ; 2)
Vérier que l'éventuelle limite est bien dans l'ensemble 3) Vérier que la suite converge bien vers
cette limite pour la distance de départ. Pour 2) et 3) il faut bien faire attention aux dépendances par
rapport à
ε
(et
x ∈ X
pour des espaces de fonctions) et travailler avec des inégalités larges (plus
cours 5
facile pour passer à la limite).
cours 6
Propriétés des espaces complets
Dénition.
(X, d) un espace métrique. Un sous espace de (X, d) est un sous-ensemble A ⊂ X
muni de la distance d (ou plutôt de sa restriction à A×A). Un sous espace A de (X, d) est dit complet
lorsque (A, d) est un espace métrique complet. De manière équivalente, le sous-espace A est complet
si et seulement si toute suite de Cauchy avec des éléments de A converge vers un élément de A.
Soit
Proposition 18.
Soit
(X, d)
un espace métrique.
12
a) Tout sous-espace complet est fermé.
b) Si
(X, d)
est complet, alors les sous-espaces complets sont les fermés.
c) Une intersection quelconque de sous-espaces complets est complète.
d) Une union nie de sous-espaces complets de
e) Si
(X, d)
est complet et si
(Fn )
F
est complète.
est une suite décroissante de fermés non vides de
diamètres tendent vers 0, l'intersection des
Démonstration. a) Soit
(X, d)
(Fn )
X
dont les
contient un point et un seul.
(X, d).
(F, d), c'est
une partie d'un espace métrique complet
⇐ Supposons F fermé. Si (xn )n∈N est une suite de Cauchy de
une suite de Cauchy de
(X, d). Elle admet donc une limite dans X . Mais comme F est fermé cette limite appartient à F .
⇒ Supposons (F, d) complet. Si une suite (xn )n∈N de F admet une limite l ∈ X , alors elle est de
Cauchy dans (X, d) et donc dans (F, d). Comme (F, d) est complet elle converge dans F et comme
(X, d) est séparé cela entraîne l ∈ F . F est fermé.
b) L'intersection ∩i∈I Fi est une intersection de fermés donc un fermé de l'espace complet (Fi0 , d).
C'est un complet.
(Ai )i∈{1,...,N } une famille nie de parties complètes de (X, d). Si (xn )n∈N est une suite de
Cauchy de (X, d), il existe i0 ∈ {1, . . . , N } et une sous-suite (xnk )k∈N telle que xnk ∈ Ai0 pour tout
k ∈ N. Dans ce cas la sous-suite (xnk )k∈N est une suite de Cauchy de (Ai0 , d) qui est complet. On a
c) Soit
trouvé une sous-suite convergente et on conclut avec la Proposition 15.
Corollaire.
0 0
Si (X, d) est un espace métrique et (X , d ) est un espace métrique complet, l'espace
0
0
Cb (X; X ) des fonctions continues bornées de X dans X 0 muni de la distance d∞ de la convergence
uniforme est complet.
Démonstration. Il sut de montrer que
(Fb (X; X 0 ), d∞ ).
Cb0 (X; X 0 ) est une partie fermée de l'espace métrique complet
8 Espaces de Banach
Dénition.
On appelle
espace de Banach un espace vectoriel normé complet.
Exemples.
(X, d) est un espace métrique et (E, k kE ) est un espace de Banach alors les espaces
Fb (X; X 0 ) et Cb0 (X; X 0 ) munis de la norme de la convergence uniforme kf k∞ = supx∈X kf (x)kE
a) Si
sont des espaces de Banach.
b) L'espace
C 0 ([0, 1]; R)
muni de
c) L'espace
C ([0, 1]; R)
muni de la norme
0
k k∞
est un espace de Banach.
k k1
n'est pas un espace de Banach.
La complétude d'un espace vectoriel normé est très utile pour étudier la convergence des séries.
Dénition. Dans un espace vectoriel normé (E, k kEP
) on dit qu'une série
convergente (ou normalement convergente) si n∈N kxn kE < +∞.
P
n∈N
xn
est
absolument
Dans la dénition ci-dessus on ne dit pas que la série converge mais que la série des normes
converge. La convergence de la série est éventuellement une conséquence du
Théorème 19. Un espace vectoriel normé (E, k kE ) est un espace de Banach si et seulement si toute
série absolument convergente converge dans
E,
!
X
kxn kE < ∞
!
⇒
n∈N
X
n∈N
13
xn ∈ E
.
⇒
Démonstration.
∞.
P (E, k kE ) complet. Soit (xn )n∈N une suite de E telle que
SN = n≤N xn vérient pour M ≥ N
Supposons
Alors les sommes
kSM
P
n∈N
kxn kE <
M
M
X
X
xn ≤
kxn kE .
− SN kE = n=N +1
n=N +1
E
(SN )N ∈N de Cauchy dans (E, k k) et donc converge.
Supposons que toute série absolument convergente converge. Soit
Ainsi, la suite
⇐
(xn )n∈N
une suite de Cauchy
−k
de (E, k kE ). On peut extraire une sous-suite (xnk )k∈N telle que : ∀k ∈ N, xnk+1 − xnk ≤ 2
(il
P
sut de prendre nk = N2−k ). On pose alors uk = xnk+1 − xnk pour k ∈ N et la série
u est
k∈N
Pkk
absolument convergente donc converge dans (E, k kE ) par hypothèse. Or on a xnk+1 − xn0 =
j=0 uj
et on en déduit que la sous-suite (xnk )k∈N converge dans (E, k kE ). Avec la Proposition 15 on obtient
P
limn→∞ xn = xn0 + k∈N uk .
Prolongement
Dénition.
f : (X, d) → (X 0 , d0 ) est dite uniformément
d(x, y) < δ implique d0 (f (x), f (y)) < ε.
Une fonction entre deux espaces métriques
continue si pour tout
Théorème 20
ε>0
il existe
δ>0
tel que
.
(Théorème de prolongement)
(X, d), (X 0 , d0 ) deux espaces métriques, avec (X 0 , d0 ) complet et soit Y ⊂ X . Si une ap0
plication f : Y → X est uniformément continue et si Y est dense dans X , alors f admet un
0
unique prolongement par continuité f : X → X .
a) Soit
(E, k kE )
(F, k kF )
D est un
sous-espace vectoriel dense de E , toute application linéaire continue (D, k kE ) → (F, k kF ) se
prolonge en une application linéaire continue de (E, k kE ) dans (F, k kF ).
b) Si
est un espace vectoriel normé,
Démonstration. a) Il faut d'abord montrer que pour tout
est un espace de Banach et si
x∈X
la limite
lim
y→x
existe dans
X 0 . Comme
y∈Y
lim yn = x ∈ X . Une
n→∞
telle suite est nécessairement de Cauchy dans (X, d) et donc dans(Y, d). Comme f est uniformément
0 0
continue, la suite image (f (yn ))n∈N est de Cauchy dans (X , d ) qui est complet. Par conséquent cette
0 0
suite image (f (yn ))n∈N converge dans (X , d ) et ce pour toute suite (yn )n∈N de Y convergeant vers
(X, d) est un espace métrique on peut utiliser les suites (yn )n∈N
x.
de
Y
telles que
Il n'est pas dicile de s'assurer de l'indépendance de la limite par rapport au choix de la suite et
de conclure que la limite
lim f (y)
y→x
existe.
y∈Y
b) On sait que les applications linéaires continues sont nécessairement Lipschitziennes et donc
uniformément continues. Il sut donc d'appliquer la première partie du théorème.
cours 6
cours 7
9 Rudiments de compacité
Le terme de compacité évoque une idée de petitesse. Ainsi dans un ensemble compact, il n'est
pas possible de mettre une innité de points sans qu'ils s'accumulent quelque part. On verra aussi
n
que les parties compactes de R sont les parties fermées bornées. En fait de petitesse, les compacts
sont dénis par une propriété de nitude topologique. L'importance de la notion de compacité vient
du fait qu'elle permet de ramener des problèmes de complexité apparemment innie à l'étude d'un
nombre ni de cas.
Dénition.
Soit
(X, d)
un espace métrique et
A⊂X
14
une partie de
X.
•
•
A
On dit que
dans
A
est un ensemble compact si toute suite de
(la limite appartient à
On dit que
A
A
admet une sous-suite convergente
A).
est un ensemble relativement compact si son adhérence est compacte. De manière
équivalente (cf proposition ci-dessous),
A
est relativement compact si toute suite de
une sous-suite convergente (vers une limite qui n'est pas forcément dans
A
admet
A).
En fait, la dénition classique d'un ensemble compact fait appel à la propriété de Borel-Lebesgue
qui dit que de tout recouvrement d'ouverts on peut extraire un sous-recouvrement ni. Dans le cas
des espaces métriques, la dénition ci-dessus est équivalente et bien plus aisée à manipuler.
Proposition 21.
(X, d)
Soit
un espace métrique et
si et seulement si toute suite de
forcément dans
A
A⊂X
une partie de
X.
On a que
A
est compact
admet une sous-suite convergente (vers une limite qui n'est pas
A).
Voici quelques propriétés des compacts.
Proposition 22.
Soit
(X, d)
un espace métrique.
a) Tout ensemble compact est borné, fermé et complet.
b) Une union nie de compacts est un compact.
c) Une intersection arbitraire de compacts est un compact.
d) Si l'espace entier
X
est compact, alors les parties compactes de
e) Toute suite décroissante de compacts non vides,
X
sont les fermés.
(Kn )n∈N , Kn+1 ⊂ Kn , Kn 6= ∅,
a une intersec-
tion non vide.
Exemples.
a) L'ensemble vide
∅
est compact.
b) Tout ensemble ni est compact.
c) Dans
R,
les ensembles compacts sont les ensembles fermés et bornés.
d) Dans
Q,
l'ensemble
{q ∈ Q ; 2 ≤ q 2 ≤ 3} est
l'espace C [0, 1]; C muni
e) La sphère unité de
2iπnt
la suite fn (t) = e
)
f ) Dans
`2
l'ensemble
{x = (xn ) ∈ `2 ; |xn | ≤
1
n
fermé et borné mais non compact.
de la norme
∀n}
k · k∞
n'est pas compacte. (Prendre
est compact.
Fonctions continues et compacts
Théorème 23.
a) L'image d'un compact par une application continue est un ensemble compact.
b) Toute fonction continue sur un espace compact à valeurs dans
R est bornée et atteint ses bornes
supérieure et inférieure.
Il est bien sûr faux de dire que l'image réciproque d'un compact par une application continue est
un compact. Par exemple l'image réciproque de [0, 1] par la projection sur l'axe des abscisses dans
R2 est [0, 1] × R qui n'est pas compact. En revanche, c'est toujours un fermé. Le fait que l'image
réciproque d'un compact soit un compact est une propriété que l'on rencontre ; les applications qui
la vérie sont dites propres. Nous n'utiliserons pas cette notion dans la suite.
Compact et uniforme continuité
Théorème 24. (Heine) Toute application continue sur un compact est uniformément continue. Plus
(X, d) et (X 0 , d0 ) sont deux espaces
f : X → X 0 est uniformément continue.
précisément, si
continue
métriques avec
(X, d)
compact, toute application
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15
10 Point xe des applications contractantes
Théorème 25 (Picard). Soit (X, d) un espace métrique complet. Si l'application f : X → X
application contractante
est une
∃α < 1 ∀x, y ∈ X, d (f (y), f (x)) ≤ α d(y, x)
x ∈ X , f (x) = x. De
géométriquement vers x
alors elle admet un unique point xe
xn+1 = f (xn )
et
x0 ∈ X
converge
plus toute suite récurrente donnée par
∀n ∈ N, d(xn , x) ≤ d(x0 , x)αn .
Démonstration. 1) Unicité : Supposons que
x1 , x2 ∈ x
soient deux points xes de
f.
On a alors
d(x1 , x2 ) = d(f (x2 ), f (x1 )) ≤ αd(x2 , x1 ).
L'inégalité
(1 − α)d(x1 , x2 ) ≤ 0
avec
α<1
entraîne
x2 = x1 .
x par une méthode d'approximation successive. On considère une
xn+1 = f (xn ) avec x0 ∈ X . Pour m, n ∈ N on a en supposant n ≥ m
2) Existence : On va construire
suite récurrente donnée par
d(xn , xm ) ≤
n
X
n−1
X
d (xk+1 , xk ) =
d f k (x1 ), f k (x0 ) .
k=m
k=m
α < 1 donne
d f k (x1 ), f k (x0 ) ≤ αd f k−1 (x1 ) , f k−1 (x0 ) ≤ αk d(x1 , x0 )
La propriété de contraction avec
puis
d(xn , xm ) ≤
n−1
X
αk d(x1 , x0 ) ≤
k=m
αm
d(x1 , x0 ).
1−α
ln((1−α)ε/d(x0 ,x1 ))
Pour ε > 0, on prend Nε >
et on a pour m, n ≥ ε, d(xm , xn ) ≤ ε. La suite (xn )n∈N
ln(α)
est de Cauchy dans (X, d). Elle admet une limite x ∈ X qui doit vérier puisque f est continue
f (x) = x.
3) Convergence géométrique : Pour une suite récurrente donnée par
xn+1 = f (xn )
et
x0 ∈ X
on a
∀n ∈ N, d(xn , x) = d [f n (x0 ), f n (x)] ≤ αn d(x0 , x)
et la convergence vers
Exemple.
x
est géométrique de raison
Solution du système d'équations
α.
sin(x + y) = 3x, cos(x − y) = 3y .
Autres versions du théorème de Picard
Théorème 26 (Point xe à paramètre).
métrique. Si l'application
par rapport à
λ
(X, d)
f = f (x, λ) : X × Y → X
Soit
un espace métrique complet et
(Y, d0 )
un espace
est une application contractante uniformément
:
∃α < 1 ∀x, y ∈ X, λ ∈ Y
alors son unique point xe
Y 3 λ 7→ xλ ∈ X
xλ , f (xλ , λ) = xλ
d (f (y, λ), f (x, λ)) ≤ α d(y, x)
dépend continûment de
est continue.
16
λ. Plus précisément, l'application
Exemple.
La solution du système d'équations
dépend continûment de
sin(x + y) = 3x + 2 − 2λ, cos(x − y) = 3y + 2λ − 1
λ.
Théorème 27 (Version faible du théorème de Picard).
Soit
X→X
tel
une application. On suppose qu'il existe
N ∈N
(X, d) un espace métrique complet et f :
N
que f
= f ◦ f ◦ · · · ◦ f est contractante.
|
{z
}
N f ois
f admet un unique
x0 ∈ X converge vers x.
Alors
point xe
x ∈ X
et toute suite récurrente donnée par
xn+1 = f (xn )
et
cours 8
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11 Dimension nie : équivalence des normes et compacité
Les espaces normés de dimension nie ont un certain nombre de propriétés qui les distinguent
des autres espaces normés. Nous les étudions dans cette partie.
Une caractérisation utile de la compacité en dimension nie est donnée par le théorème de BolzanoWeierstrass qui arme que les compacts en dimension nie sont les ensembles fermés et bornés.
Commençons par le cas de la dimension 1.
Théorème 28
.
(Heine-Borel-Lebesgue)
Tout intervalle fermé borné de
R, [a, b], a, b ∈ R,
est com-
pact.
Démonstration. Soit
(xn )n∈N
une suite de
[a, b],
on va extraire une sous-suite convergente par une
méthode de dichotomie. On construit la suite de couple
• a0 = a et b0 = b
k
. Si il existe
• On pose ck = ak +b
2
ak+1 = ak et bk+1 = ck . Sinon on
un nombre inni d'indices
n
par récurrence :
tels que
ak+1 = ck et bk+1 = bk .
(ak )k∈N et (bk )k∈N telles que
xn ∈ [ak , ck ]
on prend
prend
On a formé ainsi deux suites adjacentes
xnk ∈ [ak , bk ].
((ak , bk ))k∈N
pour tout
k ∈ N
il existe
Une conséquence de la propriété de la borne supérieure est que deux suites adjacentes
convergent et ont même limite. Cette limite est aussi limite de la sous-suite
(xnk )k∈N .
Comme on l'a déjà vu dans les exemples d'ensembles compacts, le théorème précédent implique
le corollaire suivant :
Corollaire.
Dans
(Rn , k · k∞ ),
les ensembles compacts sont les ensembles fermés et bornés.
Voici enn le théorème principal de cette partie.
Théorème 29.
Soit
(E, k · k)
un espace vectoriel normé de dimension nie. Alors
a) Toutes les normes sont équivalentes.
b)
E
est complet.
c) Tout sous-espace vectoriel est fermé.
d) (Bolzano-Weierstrass) Les ensembles compacts de
E
sont les ensembles fermés et bornés.
e) Toute application linéaire à valeurs dans un autre espace normé (pas forcément de dimension
nie) est continue.
E = Rn . Soit N (x) = kxk. On montre dans un premier
n
temps que l'application N est continue de (R , k · k∞ ) à valeurs dans R. On remarque ensuite que
n
la sphère unité de (R , k · k∞ ) est compacte, donc N est bornée sur cette sphère unité et atteint ses
bornes. Cela exprime le fait que la norme N est équivalente à la norme k · k∞ .
n
b) Evident car (R , k · k∞ ) est complet.
Démonstration. a) On peut supposer que
c) Evident car tout sous-espace vectoriel est de dimension nie, donc complet, donc fermé.
d) Evident par équivalence des normes car les suites convergentes, les ensembles fermés et les
ensembles bornés sont les mêmes pour deux normes équivalentes.
17
Exemples.
a) En dimension innie, une application linéaire n'est pas forcément continue. Par exemple, l'opérateur de dérivation est linéaire mais non continu sur l'espace des polynômes muni de la norme
k · k∞ .
b) En dimension innie, les ensembles fermés bornés ne sont pas forcément compacts. Par exemple,
0
int
dans C [0, 2π]; C) muni de la norme k·k∞ la sphère unité n'est pas compacte (la suite fn (t) = e
ne peut pas avoir de sous-suite convergente).
Proposition 30. Soit (E, k·k) un espace normé (pas forcément de dimension nie). Tout sous-espace
de dimension nie est fermé et complet.
Démonstration. Tout sous-espace de dimension nie est complet par le théorème précédent. Il est
aussi fermé car tout ensemble complet est fermé.
Le théorème suivant montre la réciproque du théorème de Bolzano-Weierstrass.
Théorème 31 (Riesz).
Soit
(E, k · k)
un espace normé (pas forcément de dimension nie). La boule
unité fermée est compacte si et seulement si
E
est de dimension nie.
Démonstration. ⇐ Déjà fait.
"⇒ On note B = Bf (0, 1). Si B est compacte, il existe n ∈ N, x1 , . . . , xn ∈ B tels que B ⊂
∪ni=1 B(xi , 21 ). On note F = Vect (xi , 1 ≤ i ≤ n) l'espace vectoriel engendré par ces xi . C'est un
sous-espace de dimension nie donc un fermé de E . De plus l'inclusion précédente donne
1
1
B⊂F+ B⊂F+
2
2
1
1
F+ B =F+ B
2
4
B ⊂ F + 21n B pour tout n ∈ N. Autrement dit si x ∈ B on peut trouver xn ∈ F tel
1
que d(x, xn ) = kx − xn k ≤ n . On a donc d(x, F ) = 0 ce qui entraîne x ∈ F et, puisque F est fermé,
2
x ∈ F . Dans ce cas E tout entier est inclus dans F qui est de dimension nie.
et par récurrence
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12 Connexité, connexité par arcs
D'un point de vue intuitif, un espace connexe est un espace fait d'un seul morceau.
Dénition.
Soit
(X, d)
un espace métrique.
A de X est dite connexe si l'implication suivante est vraie :
A ⊂ O1 ∪ O2 avec O1 et O2 ouverts disjoints =⇒ A ⊂ O1 ou A ⊂ O2 .
a) Une partie
b) On appelle
telle que
chemin
γ(0) = x
et
c) On dit qu'une partie
ou
arc joignant x ∈ X à y ∈ X toute application continue de γ : [0, 1] → X
γ(1) = y .
A
de
X
est
connexe par arcs si deux points quelconques de A peuvent
être reliés par un chemin.
La notion la plus importante est celle de connexité. La connexité par arcs est secondaire, elle est
simplement plus facile à montrer dans des situations pratiques et elle implique la connexité (comme
on le verra plus loin). On peut donc voir la connexité par arcs comme une méthode pratique pour
montrer qu'un certain ensemble est connexe. Par ailleurs, la plupart des énoncés ci-dessous concernent
la connexité et non la connexité par arcs.
Remarque.
L'espace entier
X
fermés à la fois, à l'exception de
métrique
(A, dA×A )
est connexe si et seulement s'il n'y a pas d'ensembles ouverts et
∅
et
X.
La partie
est connexe.
18
A
de
X
est connexe si et seulement si l'espace
Exemples.
√
√
O1 =] − ∞, 2[ et O2 =] 2, +∞[
sans être inclus dans l'un des deux. L'ensemble des rationnels Q n'est pas connexe.
Avec le même découpage on voit aussi que [0, 1] ∪ [2, 3] n'est pas connexe.
a) L'ensemble
b)
Q
est inclus dans l'union des ouverts disjoints
En utilisant le résultat ci-dessous, il susait de dire que ce ne sont pas des intervalles.
Théorème 32.
Les parties connexes de
R
sont les intervalles.
R sont nécessairement des intervalles : Soit A une partie
connexe de R. Soit x, y ∈ A et soit z ∈ R tels que x < z < y . Si z 6∈ A alors O1 =] − ∞, z[ et
O2 =]z, +∞[ sont deux ouverts disjoints de R tels que A ⊂ O1 ∪ O2 . On a alors A ⊂ O1 ce qui
contredit y ∈ A ou A ⊂ O2 ce qui contredit x ∈ A. Par conséquent z ∈ A. On en déduit
Démonstration. a) Les parties connexes de
∀x, y ∈ A, {z ∈ R, min{x, y} ≤ z ≤ max{x, y}} ⊂ A.
La partie connexe
A
est un intervalle.
R sont connexes : Supposons que pour un intervalle I de R il existe deux ouverts
O1 et O2 de R tels que I ⊂ O1 ∪ O2 . Supposons I ∩ O2 6= ∅ montrons qu'alors I ⊂ O2 et
I ∩ O1 = ∅. Soit x ∈ I ∩ O2 , on considère ωx = I ∩ O1 ∩] − ∞, x[. C'est un ouvert de I .
Par l'absurde supposons ωx non vide. Il admet alors une borne supérieure (R satisfait la propriété
de la borne supérieure) que l'on note a. Cette borne supérieure a est inférieure ou égale à x et majore
les éléments de ωx . Comme ωx ⊂ I , x ∈ I et comme I est un intervalle, on a nécessairement a ∈ I .
Mais alors a ∈ I ∩ O2 . En eet, dans le cas contraire les relations a ∈ O1 ∩ I et a ≤ x avec x ∈ O2
entraînent a ∈ ωx . Comme ωx est un ouvert de I , il existe un ε > 0 tel que ]a − ε, a + ε[∩I ⊂ ωx .
L'intervalle I contient a et x > a + . Par conséquent a + ε/2 appartient à ωx et cela contredit la
0
0
0
dénition de a. Maintenant, si a ∈ O2 , comme O2 est un ouvert, il existe ε > 0 tel que ]a − ε , a + ε [⊂
O2 . Comme O1 et O2 sont disjoints, on obtient ]a−ε0 , a+ε0 [∩ωx = ∅ ce qui est contraire à la dénition
de a. En conclusion ωx doit être vide.
De la même manière en travaillant avec la borne inférieure, on montre que O1 ∩ I∩]x, +∞[ doit
être vide. On a donc O1 ∩ I = ∅ et I ⊂ O2 .
b) Les intervalles de
disjoints
Fonctions continues et connexité
Théorème 33 (Théorème des valeurs intermédiaires).
a) L'image d'un connexe par une application continue est connexe.
b) Si
f ∈ C 0 (X; R)
et
A⊂X
connexe, alors
f (X)
est un intervalle.
(X, d) et (X 0 , d0 ) deux espaces métriques, (X, d) connexe et soit f ∈ C 0 (X, X 0 ).
0
0
Supposons que f (X) ne soit pas connexe. Alors il existe deux ouverts non vides disjoints O1 et O2
0
0
tels que f (X) ⊂ O1 ∪ O2 sans que f (X) soit contenu dans l'un d'eux. Comme f est continue, cela
−1
entraîne que (f
(O10 ), f −1 (O20 )) est un partition non triviale de X , ce qui contredit la connexité de
X.
Démonstration. Soit
Le résultat suivant donne une caractérisation de la connexité en terme de continuité.
Proposition 34.
de
X
dans
{0, 1}
Un espace métrique
(X, d)
est connexe si et seulement si toute fonction continue
est constante.
{0, 1} pris comme partie de R a pour distance la distance discrète.
(X, T ) est connexe et si f : X → {0, 1} est continue alors le couple (f −1 ({0}) , f −1 ({1})) est
−1
une partition d'ouverts de X . Donc ou bien f
({0}) = X et f ≡ 0 ou bien f −1 ({1}) = X et f ≡ 1.
⇐ Supposons que toute application continue f : X → {0, 1} est constante. Si (A, {X A) est une
partition d'ouverts alors la fonction caractéristique 1A est continue sur X . Par hypothèse, elle est
donc constante et A = X ou A = ∅. X est connexe.
Démonstration. L'ensemble
⇒
Si
19
Autres propriétés des connexes
Théorème 35.
Soit
a) Toute famille
(X, d)
(Ai )i∈I
un espace métrique.
de parties connexes ayant deux à deux une intersection non vide a une
réunion connexe.
b) L'adhérence d'un ensemble connexe est connexe.
i, j ∈ I , Ai ∩Aj 6= ∅.
O1 et O2 tels que A = ∪i∈I Ai ⊂ O1 ∪ O2 . Pour un i0 ∈ I
xé, Ai0 est connexe et inclus dans A ⊂ O1 ∪ O2 . Cela entraîne Ai0 ⊂ O1 ou Ai0 ⊂ O2 . Si Ai0 ⊂ O1 ,
l'hypothèse Ai ∩ Ai0 6= ∅ entraîne Ai ∩ O1 6= ∅ tandis que la connexité de Ai donne Ai ⊂ O1 , ce pour
tout i ∈ I . On en déduit A ⊂ O1 , l'autre possibilité Ai0 ⊂ O2 donnant A ⊂ O2 . En conclusion, A est
Démonstration. a) Soit
(Ai )i∈I
une famille de parties connexes telle que pour tout
Supposons qu'il existe deux ouverts disjoints
connexe.
f ∈ C 0 (A; {0, 1}). Comme A est connexe et f est continue sur A on a A ⊂ f −1 ({0}) ou
A ⊂ f ({1}) d'après la Proposition 34. Comme f −1 ({0}) ou f −1 ({1}) sont fermés, on doit avoir
A = f −1 ({0}) ou f −1 ({1}) et f est constante.
b) Soit
−1
Remarque.
i0 ∈ I
On peut aaiblir l'hypothèse sur les intersections en supposant simplement que pour un
Ai0 ∩ Ai 6= ∅
on a
Proposition 36.
pour tout
i ∈ I.
Un espace métrique connexe par arcs est connexe.
Démonstration. Soit
(X, d)
un espace métrique connexe par arcs et soit
X = ∪ {y} =
y∈X
x∈X
xé. On peut écrire
∪
γ ([0, 1]) .
γ ∈ C 0 ([0, 1]; X)
γ(0) = x
γ ∈ C 0 ([0, 1]; X) l'image γ ([0, 1]) de l'intervalle [0, 1] est connexe. Comme dans l'union
tous les chemins considérés contiennent le point x, l'union qui vaut X est connexe.
Or pour tout
ci-dessus
Exemples.
a) Dans
b)
R
et
Rn
n
R
toutes les parties convexes sont connexes.
(avec
n > 1)
c) Le cercle unité
S1
de
ne sont pas homéomorphes.
C
n'est pas homéomorphe à un segment de
Une application du théorème 35 est que pour tout point
de
X
contenant
x
x,
R.
l'union de toutes les parties connexes
est connexe. C'est le plus grand connexe contenant
x.
Dénition. Soit (X, d) un espace métrique. Pour tout point x de X ,
connexe de x et on note C(x) le plus grand connexe contenant x :
C(x) =
∪
x∈C⊂X
C
composante
C.
connexe
Avec cette notation il est clair que deux points
seulement si
on appelle
x
et
y
appartiennent à un même connexe si et
C(x) = C(y).
Proposition 37.
C(x) = C(y) est
connexes de X . Ainsi
La relation "appartenir à un même connexe" qui se traduit par
un relation d'équivalence dont les classes d'équivalence sont les composantes
les composantes connexes de
X
forment une partition de
X.
D'un point de vue intuitif, les composantes connexes de
X.
20
X
sont les morceaux d'un seul tenant de
Exemples.
a) Les composantes connexes de
b) L'ensemble
X = [0, 1]∪]2, 3]
sont
[0, 1]
et
]2, 3].
Hom([−1, 1]) des homéomorphismes de [−1, 1] muni de la distance de la convergence
uniforme a deux composantes connexes.
c) Les composantes connexes de
N
sont les singletons.
Proposition 38. Les composantes connexes d'un espace métrique quelconque (X, d) sont des fermés.
Démonstration. L'adhérence d'une composante connexe est un connexe. Comme la composante
connexe est le plus grand connexe, son adhérence doit être elle-même. Donc la composante connexe
est un fermé.
Remarque.
On peut dénir une relation d'équivalence "appartenir au même connexe par arcs" et
dénir des composantes connexes par arcs. Elles sont plus petites que les composantes connexes et
ne sont pas nécessairement fermées comme le montre l'exemple ci-dessous. C'est une notion qui n'a
pas beaucoup d'intérêt.
On a vu que la connexité implique la connexité par arcs. La réciproque est fausse comme l'exemple
ci-dessous le montre. Cependant, pour les ouverts dans un espace normé la réciproque est vraie comme
la proposition ci-dessous le montre.
Exemple.
Dans
R2 , l'ensemble (x, sin
1
x
), x > 0 est connexe par arcs donc connexe. Son adhé-
rence qui est
{(x, sin (1/x)), x > 0} ∪ ({0} × [−1, 1])
est connexe mais n'est pas connexe par arcs.
Proposition 39.
alors
A
Soit
(X, k · k)
un espace normé et
A
une partie de
X.
Si
A
est ouvert et connexe,
cours 10
est connexe par arcs.
cours 11
13 Exponentielle d'un endomorphisme
Dans toute cette partie
Dénition.
nentielle de
Soit
f
(E, k · k)
f ∈ L (E)
désigne un espace de Banach.
(une application linéaire et continue de
par
ef = exp(f ) =
dans
E ).
On dénit l'expo-
∞
X
fn
n=0
où
E
n!
fn = f ◦ f ◦ · · · ◦ f.
|
{z
}
nf ois
L'existence de l'exponentielle d'un endomorphisme est assurée par le théorème suivant.
Théorème 40.
a)
exp(f )
f ∈ L (E).
Soit
Alors
est toujours bien dénie (c'est-à-dire que la série qui le dénit est toujours convergente)
et appartient à
L (E).
De plus,
k exp(f )k ≤ exp(kf k).
b) L'exponentielle est invariante par changement de base. Plus précisément, si
−1
bijective et si g
∈ L (E) alors exp(g −1 f g) = exp(f ).
c) L'application
d) Si
g ∈ L (E)
L (E) 3 f 7→ exp(f ) ∈ L (E)
et
f ◦g =g◦f
alors
est continue.
exp(f + g) = exp(f ) exp(g).
21
g ∈ L (E)
est
e)
exp(f )
est bijective d'inverse
exp(−f ).
En dimension nie, chaque endomorphisme s'identie à une matrice. L'invariance par changement
de base de l'exponentielle permet ainsi de dénir l'exponentielle d'une matrice
eA = exp(A) =
∞
X
An
n=0
n!
A ∈ Mn (R)
:
.
Exemples.
a) Si
A2 = A
b) Si
A = Diag[a1 , a2 , . . . , an ]
alors
exp(A) = In + (e − 1)A.
alors
exp(A) = Diag[exp(a1 ), exp(a2 ), . . . , exp(an )].
c) Matrices diagonalisables.
d) Matrices nilpotentes.
e) Somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente qui commutent (décomposition
de Dunford).
f ) Pour une matrice générale, utiliser la forme de Jordan.
Voici enn trois propriétés des exponentielles matricielles.
Proposition 41.
Soit
a) Nous avons que
b) Si
A
det(exp(A)) = exp(Tr(A)).
est antisymétrique, alors
c) L'application
Application.
donnée par
A ∈ Mn (R).
x(t)
exp(A)
est une matrice orthogonale directe.
R 3 t 7→ exp(tA) ∈ Mn (R)
est dérivable de dérivée
A exp(tA).
La solution du système d'équations diérentielles ordinaires
= e(t−t0 )A x0 .
22
x0 = Ax, x(t0 ) = x0
est