IUTB GMP Semestre 1 TD de Mathématiques Module F115

IUTB GMP Semestre 1
T.D. de Mathématiques Module F115
Statistiques 2
1. La variale aléatoire X suit la loi normale N (12; 4). Calculer :
P (X ≤ 15),
P (X ≥ 18),
P (X ≥ 7),
P (X ≤ 9),
P (8 ≤ X ≤ 17).
2. Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle
est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre 21, 9 et 22, 1 mm. On
suppose que sur l’ensemble de la production le diamètre extérieur des rondelles
est une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne m = 22 mm et
d’écart type σ = 0, 05 mm. Quelle est la probabilité qu’une pièce soit refusée?
3. Le nombre de clients d’un magasin suit chaque samedi une loi normale N (350; 30).
Quelle est la probabilité pour qu’il y ait un samedi donné : plus de 400 clients?
moins de 300 clients? entre 320 et 380 clients?
4. Dans un pays d’Afrique, 15% de la population est atteinte du virus du sida. Une
campagne de dépistage est mise en place sur un échantillon de 500 personnes
prises au hasard dans la population. On suppose que l’effectif de la population
est très grand et que les risques d’erreurs du test sont négligeables. On admet
que la probabilité qu’un test réalisé sur une personne prise au hasard dans la
population soit positif est de 0, 15. On appelle X la variable aléatoire qui prend
pour valeur le nombre de tests positifs sur les 500 effectués.
Calculer la loi de X, son espérance et son écart type. Par quelle loi normale peuton approcher cette loi? En utilisant cette loi normale, calculer la probabilité
que plus de 80 tests soient positifs.
5. Une entreprise fabrique des pièces pour l’industrie automobile. Après une
réorganisation de l’atelier, le taux de pièces défectueuses est tombé à 1%. Calculer la probabilité d’avoir entre 5 et 15 pièces défectueuses sur un lot de 1000.
6. Une compagnie aérienne pratiquant le surbooking réserve 225 billets pour un
avion de 220 places. On suppose que la probabilité pour qu’un passager ne se
présente pas est de 2%. Quelle est la propabilité que certains passagers présents
ne puissent embarquer?
7. Une entreprise d’édition a retenu la technique du placard publicitaire vantant
quelques articles sans en donner le prix, invitant le lecteur à recevoir à domicile
gratuitement et sans engagement de sa part des documents le renseignant de
façon détaillé. L’expérience montre que le client qui se manifeste a une chance
sur cinq de passer commande. En utilisant une approximation appropriée, calculer la propabilité d’observer plus de 120 commandes (resp. exactement 110
commandes) lorsque l’on envoie 500 articles de renseignements.
8. La demande de fabrication d’une pièce X à une entreprise suit une loi normale.
Elle a une probabilité 0, 1 d’être inférieure à 15000, et une probabilité 0, 1 d’être
supérieure à 25000. Déterminer les paramètres de la loi normale. La marge sur
une pièce est de 10 euros, les charges fixes mensuelles de l’entreprise sont de
175000 euros. Déterminer la loi de probabilité suivie par le résultat mensuel
de l’entreprise. En déduire la probabilité que le seuil de rentabilité mensuel
soit atteint. Quelle est la probabilité que le seuil de rentabilité trimestriel soit
atteint?
9. L’entreprise X fabrique pour la société Y une pièce Z caractérisée par son
diamètre. La société Y ne veut la pièce que si le diamètre est compris entre 10, 31
et 10, 67 mm. L’entreprise X produit des pièces Z dont le diamètre peut être
considéré comme une variable aléatoire de loi N (10, 48; 0, 1). Chaque semaine,
elle livre 10000 pièces Z à la société Y , étant entendu que le paiement est
subordonné aux contraintes fixées sinon les pièces sont inutilisables et perdues
pour les deux sociétés. La pièce Z coûte à la production 50 euros, elle est vendue
60 euros.
Calculer le bénéfice hebdomadaire réalisé par l’entreprise X. Même question si,
après réglage, X a réduit à 0, 09 l’écart type du diamètre des pièces.
10. Un restaurant d’entreprise assure deux services successifs pour le déjeuner de
1000 employés. Ceux-ci choisissent chaque jour un des deux services. On admet
qu’un employé choisit le premier service avec une probabilité 3/4, et que les choix
sont indépendants les uns des autres. Quel nombre minimum de places doit avoir
à sa disposition le restaurant pour que la probabilité de ne pas accepter tous
les employés soit inférieure à 0, 01?
11. Dans un atelier de fabrication de chaussures, on prélève un échantillon de 200
chaussures dans lequel on trouve 5% de rebut. Est-ce une bonne estimation du
pourcentage de rebut dans l’ensemble de la fabrication de cet atelier, cela pour
un seuil de 32%?
12. Un grand magasin fait un sondage pour savoir si les clients sont favorables à la
vente à crédit. Sur 150 personnes interrogées, 45 le sont. En vous plaçant au
seuil de 5%, donner les limites de confiance de ce résultat.
13. Un fabricant affirme qu’au moins 95% de sa livraison est conforme. L’examen
d’un échantillon de taille 200 a donné 18 objets défectueux. Peut-on croire
l’affirmation du fabricant au seuil de 5%? de 1%?
Corrections
1. Soit T = (X − 12)/4, T suit N (0; 1) et P (X ≤ 15) = P (T ≤ 0, 75) ' 0, 7734;
P (X ≥ 18) = P (T ≥ 1, 5) = 1 − Π(1, 5) ' 0, 0668; P (X ≥ 7) = P (T ≥ −1, 25) = P (T ≤ 1, 25) ' 0, 8944;
P (X ≤ 9) = P (T ≤ −0, 75) = 1 − Π(0, 75) ' 0, 2266; P (8 ≤ X ≤ 17) = Π(1, 25) − (1 − Π(1)) ' 0, 7357.
2. Soit T = (X − 22)/0, 05, T suit N (0; 1) et P (21, 9 ≤ X ≤ 22, 1) = P (−2 ≤ T ≤ 2) =
2Π(2) − 1 ' 0, 9544, donc la proba qu’une pièce soit refusée' 1 − 0, 9544 = 0, 0456.
3. Soit T = (X −350)/30, T suit N (0; 1) et P (X ≥ 400) = P (T ≥ 1, 67) = 1−Π(1, 67) ' 0, 0475;
P (X ≤ 300) = P (T ≤ −1, 67) = 1 − Π(1, 67) ' 0, 0475; P (320 ≤ X ≤ 380) = P (−1 ≤ T ≥
1) = 2Π(1) − 1 ' 0, 6826.
4. X suit binomiale B(500;
√ 0, 15). Comme 500 > 20 et 500 ∗ 0, 15 ∗ 0, 85 > 20, X peut être
approchée par N (75; 63, 75) ' N (75; 7, 98). On pose T = (X − 75)/7, 98 qui suit N (0; 1)
alors P (X ≥ 80) = P (T ≥ 0, 62) = 1 − Π(0, 62) ' 0, 2676.
5. X suit B(1000; 0, 01) donc P (X = k) = 1000
0, 01k 0, 991000−k et P (5 ≤ X ≤ 15) =
k
P15
k=5 P (X = k) trop
√ pénible à calculer. On approche donc par la loi N (m; σ) où m = 1000 ∗
0, 01 = 10 et σ = 1000 ∗ 0, 01 ∗ 0, 99 ' 3, 1 (possible car 1000 > 20 et 1000∗0, 01∗0, 99 > 20).
On pose alors T = (X − m)/σ et
P (5 ≤ X ≤ 15) ' P (−1, 61 ≤ T ≤ 1, 61) = Π(1, 61) − (1 − Π(1, 61)) ' 0, 8926.
6. X VA modélisant le nombre de passagers ne se présentant
pas parmi les 225. Alors X
√
suit B(225; 0, 02), que l’on approche par N (225 ∗ 0, 02; 225 ∗ 0, 02 ∗ 0, 98) ' N (4, 5; 6, 64)
(car 225 > 20 et 225 ∗ 0, 02 ∗ 0, 98 = 44, 1 > 20). T = (X − 4, 5)/6, 64 suit N (0; 1) donc
P (X < 5) ' P (T < 0, 08) ' 0, 5319.
7. X VA modélisant le nombre de commandes à l’issue de 500 demandes
suit B(500; 0, 2).
√
Comme 500√> 20 et 500 ∗ 0, 2 ∗ 0, 8 > 20, on approche par N (100; 80) et on pose T =
(X − 100)/ 80 qui suit N (0; 1). Donc P (X ≥ 120) ' P (T ≥ 2, 23)
23) ' 0, 0125.
=1101 − Π(2,
390
Avec la loi binomiale (sinon ça vaut 0), on a P (X = 110) = 500
0,
2
0,
8
'
0, 0234.
110
8. Soit X VA modélisant la demande mensuelle, suivant N (m; σ) donc T = (X − m)/σ suit
N (0; 1). On a P (T < (15000 − m)/σ) = 0, 1 ' Π(−1, 28) donc 15000 − m ' −1, 28σ. De
même 25000 − m ' 1, 28σ, donc m ' 20000 et σ ' 3906, 25.
Soit RM VA modélisant le résultat mensuel, on a RM = 10X − 175000 et donc E(RM ) =
10E(X) − 175000 = 25000 et σ(RM ) = 10σ = 39062, 5. RM suit N (25000; 39062, 5).
Rentabilité : P (RM ≥ 0) = P (X ≥ 17500) ' P (T ≥ −0, 64) = P (T ≤ 0, 64) ' 0, 7389.
Soit RT VA modélisant le résultat trimestriel, on a RT = RM1 + RM2 + RM3 où RMi VA
du résultat du ième
p mois, donc RMi suit N (25000; 39062, 5) et RT suit N (75000; σ(RT )).
On a σ(RT ) = 3 ∗ (39062, 5)2 ' 67658, 2. RT suit donc N (75000; 67658, 2) et la proba
d’atteindre le seuil de rentabilité est P (RT ≥ 0) ' P ((RT − 75000)/67658, 2 ≥ −1, 11) =
Π(1, 11) ' 0, 8665.
9. U VA modélisant le diamètre de la pièce Z suit N (10, 48; 0, 1), donc U ∗ = (U −10, 48)/0, 1 suit
N (0; 1) et la proba qu’une pièce Z de X soit acceptée par Y vaut P (10, 31 ≤ U ≤ 10, 67) =
P (−1, 7 ≤ U ∗ ≤ 1, 9) ' 0, 9267.
Fabrication hebdomadaire de 10000 pièces Z par X : la loi de V (nombre de pièces hebdmodaires acceptées par Y sur les 10000) est B(10000; 0, 9267). La VA B = 60V − 50 ∗ 10000
du bénéfice hebdomadaire a une espérance E(B) = 60E(V ) − 500000 ' 60 ∗ 10000 ∗ 0, 9267 −
500000 = 56020 euros.
Après correction, on obtient E(B) ' 71920.
10. X VA modélisant le nombre de personnes se présentant au premier service suit B(1000; 0, 75).
Comme 1000 > 20 et 1000 ∗ 0, 75 ∗ 0, 25 > 20, on approche par N (750; 13, 7), et on pose
T = (X − 750)/13, 7 qui suit approximativement N (0; 1). Soit k le nombre cherché. On veut
P (X > k) < 0, 01 donc P (T ≤ (k − 750)/13, 7) ≥ 0, 99 ' Π(2, 33), c’est-à-dire par croissance
k − 750 > 2, 33 ∗ 13, 7 et donc k ≥ 782.
11. On veut pour α = 32% :
!
p − 0, 05
P p
< tα > 1 − α = 0, 68 ⇒ 2Π(tα ) − 1 > 0, 68 ⇒ tα > 0, 99
0, 05 ∗ 0, 95/200 donc −0, 99 <
p − 0, 05
< 0, 99 ⇒ 3, 5% < p < 6, 5%.
0, 015
12. On veut pour α = 5% :
!
p − 45/150 P p
< tα > 1 − α = 0, 95 ⇒ 2Π(tα ) − 1 > 0, 95 ⇒ tα > 1, 96
0, 3 ∗ 0, 7/150 donc −1, 96 <
p − 0, 3
< 1, 96 ⇒ 0, 227 < p < 0, 373.
0, 037
13. On veut pour α = 5% :
!
p − 18/200
P p
< tα > 1 − α = 0, 95 ⇒ 2Π(tα ) − 1 > 0, 95 ⇒ tα > 1, 96
0, 09 ∗ 0, 91/200 p − 0, 09
< 1, 96 ⇒ 0, 05 < p < 0, 13, et on veut pour α = 1% :
0, 02
!
p − 18/200
p
< tα > 1 − α = 0, 99 ⇒ 2Π(tα ) − 1 > 0, 99 ⇒ tα > 2, 58
0, 09 ∗ 0, 91/200 donc −1, 96 <
P
donc −2, 58 <
p − 0, 09
< 2, 58 ⇒ 0, 04 < p < 0, 14.
0, 02