Extrait du Bac - Complexes et calcul d`aire - Math-Question
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Extrait du Bac - Complexes et calcul d`aire - Math-Question
The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . Dans l’ensemble C I des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument . 2 1° _ Montrer que (1 + i)6 est un imaginaire pur. 2° _ On considère l’équation (E) : z² = – 8i. ) _ Déduire de 1° une solution de l’équation (E). ) _ L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique. 3° _ Déduire également de 1° une solution de l’équation (E’) : z3 = – 8i. 2 . 3 ) _ Déterminer l’affixe b du point B, image de A par r, ainsi que l’affixe c du point C, image de B par r. 4° _ On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle ) _ Montrer que b et c sont solutions de (E’). 5° ) _ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormale direct, (O ; u , v ) (unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C. ) _ Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ? ) _ déterminer le centre de gravité de cette figure. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 1/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . La courbe donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f Log x définie sur ]0, + [ par : f(x) = + 1 – x. x y 0.2 A o H G0.8 0.4 C 1.2 1.6 2 2.4 x F E -0.2 D -0.4 B -0.6 -0.8 -1 -1.2 1° ) _ Étudier les variations de la fonction f pour tout x strictement positif. ) _ En déduire les coordonnées du point de d’ordonnée maximale. 2° _ on note A() l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où désigne un réel de l’intervalle +0, 1* ( est l’abscisse du point A sur la figure). ) _ Exprimer A() en fonction de . La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 2/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . ) _ Calculer la limite de A() lorsque tend vers 0. Donner une interprétation graphique de cette limite. 3° _ On définit une suite (un) n IN n IN, un + 1 = Log un un par son premier terme u0 élément de [1 ; 2] et + 1. ) _ Démontrer, que x [1, 2], la double inégalité : 0 Log x x 1. ) _ Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , un [1, 2]. 4° _ En remarquant que, pour tout entier naturel n, un + 1 = f(un) + un, déterminer le sens de variation de la suite (un) 5° ) _ Montrer que la suite (un) n IN n IN est convergente. On note ℓ sa limite. ) _ Déterminer la valeur exacte de ℓ. On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormal (O; i ; j ), la courbe représentative de la fonction f dérivable sur IR, solution de l’équation différentielle (E ) : y’ + y = 0 et telle que f(0) = e. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 3/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . 1° _ Déterminer f(x) pour tout x réel. 2° _ Soit t un réel donné de l’intervalle *1, e]. Résoudre dans IR l’équation e 1 – x = t d’inconnue x. y o x 3° _ Soit A le point d’abscisse 0 et B le point d’abscisse 1 de la courbe. On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe des coordonnées de l’arc de courbe AB comme représenté ci-dessous. On note V son volume. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 4/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . e On admet que V = 1 (1 – Log t)²dt. Calculer V. 1° _ Soit Z = (1 + i)6 Nous avons : 1 + i = soit 1 + i = i3/2 2 2 2 + i 2 2 2 cos + i sin donc 1 + i = 4 4 On en déduit que: Z = Or e 2 d’où 1 + i = ( 2e i /4 2e 6 ) d’où Z = i /4 ( 2) 6 e i6/4 = 8 e i3/2 = cos + + i sin + = – cos – sin = – i donc Z = – 8i. 2 2 2 2 La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 5/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . 2° _ Soit (E) l’équation z² = – 8i. ) _ Puisque [(1 + i)3] 2 = – 8i on en déduit que (1 + i)3 = 2 2e i3/4 est une solution de (E). ) _ Nous avons : z² – [(1 + i)3] 2 = 0 (z – (1 + i)3)(z z est solution de (E) si et seulement si, z = (1 + i)3 On a : – (1 + i)3 = – 2 2e [(1 + i)3] 2 [ – (1 + i)3 = – 2 ou z = – (1 + i)3. 3 3 2 cos + i sin 4 4 2 2 donc – (1 + i)3 = 2 – 2i. 2 – + i 2 2 D’où : – (1 + i)3 = – 2 3° _ i3/4 + (1 + i)3) = 0 2 = (1 + i) ] 3 = – 8i donc une solution de l’équation (E’) : z3 = – 8i est (1 + i)² = 2i, car – 8i = (2i) 3 4° _ Soit A le point d’affixe 2i et r la rotation de centre O et d’angle 2 . 3 ) _ r associe à tout point M d’affixe z le point M’ d’affixe z ’ définie par : 1 z ’ = e i2/3z z ’ = – + i 2 car e i2/3 = cos 3 z, 2 cos ( – ) = – cos 2 2 + i sin = – cos + sin en effet, 3 3 3 3 sin ( – ) = sin La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 6/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . On en déduit que le B image de A par r admet pour affixe b avec : 1 b = – + i 2 3 (2i) car z = 2i, soit donc b = – i – 2 3. Le point C, image de B par r admet pour affixe c donnée par : 1 c = – + i 2 donc c = 3 (– i – 2 3) = 1 – (1 + i 2 3 )i (1 + i 3) = 1 i (1 – 3 – 2i 2 3) 3 – i. 3 1 – i 5/6 ) _ Nous avons : b = 2 – – i = 2 e 2 2 3 3 ( d’où b = 2 e – i 5/6 3 ) = 8 e – i5 /2 donc b = – 8i. 3 b est solution de (E’). 3 – i /6 – i /2 1 D’autre part, c = 2 – i = 2 e d’où c3 = 8 e donc c3 = – 8i. 2 2 Cela montre que c est solution de (E’). 5° ) _ Nous avons : La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 7/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . AB = – Par ailleurs, 3 – i – 2i = AC = 3 – i – 2i = BC = –( 3– i + 3+ 9 = 2 3 – 3i = 3 3 + 9=2 3 3 + i) BC = 2 3. Puisque le triangle ABC a ses trois côtés de même longueur, on en déduit que ABC est un triangle équilatéral. ) _ Le centre de gravité G du triangle ABC admet pour affixe : g = donc g = 2i – 3 – i + 3 3 –i a+b+c 3 = 0. Le centre de gravité du triangle ABC est O. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 8/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . 1° ) La fonction x Log x x de fonctions dérivables et avec x 0 est dérivable sur ]0, + [ comme quotient x 1 – x est également dérivable sur le même référentiel donc f est dérivable sur ]0, + [ et x ]0, + [ f’(x) = 1 1 – Log x x 2 x 2 ( 1 f’(x) = f’(x) = – 2(x x – 1 2 x 2x on alors x ]0, + [, x) Log x – x = x x – 1) + Log x x 2 – Log x – 2x 2x , posons N(x) = – 2 (x f’(x) = Puisque, x ]0, + [ , 2x sur ]0, + [. – 1 N(x) 2x x x x x – 1) + Log x . x > 0, on en déduit que f’(x) est du signe d N(x) ) _ N(1) = – (2(1 – 1) + Log 1) donc N(1) = 0. Pour tout x ]0, 1[, on a x < 1 et x < 1. Par conséquent, pour tout x ]0, 1[, x x < 1, soit x ]0, 1[, x x – 1 < 0 soit La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 9/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . 2 (x x – 1) < 0. Puisque l’on a aussi, x ]0, 1[, Log x < 0, on en déduit que x ]0, 1[, 2 (x x – 1) + Log x < 0 – 2 (x x – 1) + Log x > 0. Ainsi, x ]0, 1[ , N(x) > 0. x ]1, + [, x x > 1 x x – 1 > 0 et 2 (x x – 1) > 0 par ailleurs x ]1, + [ , Log x > 0. On en déduit que, pour tout x ]1 ; + [, 2 (x – 2 (x x – 1) + Log x > 0 d’où x – 1) + Log x < 0 soit N(x) < 0. ) _ Nous avons montré que f’(x) est du signe de N(x) sur ]0, + [. Il en résulte que x ]0, 1[ , f’(x) > 0 et x ]1, + [ , f’(x) < 0 en fin f’(1) = 0. f est strictement croissante sur ]0, 1[ et strictement décroissante sur [1, + [. Le maximum de f est atteint en x = 1 et : f(1) = Log 1 + 1 – 1 = 0. 1 Les coordonnées du point de d’ordonnées maximale sont (1, 0). 2° ) _ Soit A() l’aire du domaine plan délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = et x = 1. Puisque f est négative sur [, 1], on peut affirmer que l’aire A() exprimée en unités d’aire, est donnée par : 1 A() = – f(x) dx Ainsi, La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 10/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . 1 Log x A() = – + 1 – xdx x D’où 1 Log x 1 A() = – dx – (1 – x)dx par linéarité de l’intégrale x 1 Log x A() = – dx x 1 1 – x – x² 2 1 1 1 Log x A() = – dx – 1 – + – ² 2 2 x Donc ² 1 1 Log x A() = – dx – + – . 2 2 x 1 Log x Posons J = dx et calculons J à l’aide d’une intégration par parties en x u(x) = Log x u’(x) = 1 1 x posant : v’(x) = 1 on a J = et les fonctions u(x)v’(x)dx avec x v(x) = 2 x u, v, u’, v’ sont continues sur [, 1]. 1 Par conséquent, J = [u(x)v(x)]1 – u’(x)v(x)dx J = [2 1 1 x Log x] – 2 x dx = 2 Log 1 – 2 Log – [4 1 x] J = – 2 Log – 4 + 4 . La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 11/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . On en déduit que : A() = 2 Log + 4 – 4 A() = 2 Log – 4 ) _ Nous avons : – – ² 7 + + . 2 2 7 7 ² + + = et – 2 2 2 0, > 0 lim ² 1 + – 2 2 Nous avons aussi, pour tout réel > 0, 2 lim 0, > 0 4 = 0 Log = 2 Log ( ) 2 2 Log = 4 Log ( ) Or lim 0, > 0 donc lim 0, > 0 = 0 et lim X 0, X > 0 = 2 Log = 0 par suite lim X Log X = 0 0, > 0 A() = 7 . 2 L’aire du domaine délimité par , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1 est égale 3° _ Soit (un) n IN 7 unités d’aire. 2 la suite définie par u0 [1 , 2] n IN, u n+1 = Log un un + 1 La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 12/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . ) _ x [1, 2], on a Log x 0 et En outre, pour tout x [1, 2], x 0, par conséquent, x [1, 2], x 1 1 x Log x x 0. 1 et Log x 1, puisque, x [1, 2], on a x < e. Il en résulte que pour tout x [1, 2], Log x x 1. Il s’ensuit que, pour tout x [1 ; 2] 0 . ) _ Nous avons u0 [1, 2]. Hypothèse de récurrence, on suppose n IN, on a un [1, 2]. Nous avons un + 1 = Log un un + 1. Or nous avons montré à la question précédente que, pour tout x [1, 2], 0 Log x x 1. Puisque un [1, 2], nous en déduisons que 0 d’où 1 Log un un Log un un 1 + 1 2 et 1 un + 1 2, ce qui montrer que un + 1 [1, 2]. Ainsi, pour tout n [1, 2], un [1, 2]. 4° _ un + 1 = Log un un + 1 – un + un = f(un) + un d’où n IN, un + 1 – un = f(un) La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 13/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . Or nous avons montré que, x ]0, + [, f(x) < 0, on en déduit que, pour tout n IN, un + 1 – un < 0 donc un + 1 < un ce qui montre que la suite (un) est décroissante. 5° ) _ (un) est décroissante et minorée par 1 (puisque, pour tout n IN, un [1, 2], donc (un) est décroissante. ) _ Soit ℓ sa limite. Puisque un + 1 = f(un) + un , il en résulte que car lim n + f(un) = f(ℓ) ( continuité de f lim n + un + 1 = f(ℓ ) + ℓ sur [1, 2]). Le principe d’unicité de la limite permet d’affirmer que ℓ = f(ℓ) + ℓ soit f(ℓ) = 0 et nous avons montré dans la question 1° que l’unique solution de l’équation f(x) = 0 est x = 1. On en déduit que ℓ = 1. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 14/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . y’ + y = 0 1° _ Soit (E ) l’équation différentielle y(0) = e dy y = – dx soit Log = – x Log e y y’ + y = 0 y’ = – y donc les fonctions g solutions de (E ) sont définies, pour tout x IR, par : g(x) = e – x où IR. est déterminée à partir des conditions initiales : g(0) = e e 0 = e d’où = e. donc la solution f de (E ) est la solution définie, pour tout x IR, par : f(x) = e e – x soit, f(x) = e 1 – x. 2° _ Soit t [1, e], f(x) = t e 1 – x = t Log (e 1 – x ) = Log t 1 – x = Log t x = 1 – Log t. L’ensemble des solutions de l’équation e 1 – x = t est {1 – Log t}. 3° _ Soit A et B les points de la courbe représentative de f d’abscisse respectives 0 et 1. Le volume V du solide obtenu par rotation autour de l’axe des ordonnées de e l’arc de courbe AB est donné par V = 1 (1 – Log t)²dt. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 15/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . u(t) = (1 – Logt)² Posons, t [1, e], dv(t) dt = dt Nous avons, t [1, e], du(t) 1 = 2 (1 – Logt) – dt t v(t) = t Et les fonctions u, v, u’, v’ sont continues sur [1, e]. e Par suite, V = [u(t)v(t)] e – 1 v(t)du(t) 1 e e V = [t (1 – Log t)²] + 2 1 (1 – Logt)dt 1 c’est-à-dire : e e V = e(1 – Log e)² – (1 – Log 1) + 2 1 dt – 2 1 Log t dt ( ) e V = – 1 + 2[t]1e – 2 1 Log t dt V = (– 1 + 2 V = e e – 2 – 2 1 Log t dt ) (– 3 + 2 e e – 2 1 Log t dt . ) e Calculons J = 1 Log t dt à l’aide d’une intégration par partie en posant t [1, e], u1(t) = Log t dv1(t) dt = dt du’1 = 1 dt t dv1(t) = t La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 16/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . Les fonctions u1, v1, u’1, v’ J = [u1(t) v1(t)]1 J = [t Log t] e 1 e 1 étant continues sur [1, e], on en déduit que : – e v1(t)d u’1(t) 1 e 1 – t dt = 1 t e Log e – Log 1 – [t] 1 e = e – e + 1; J = 1. On en déduit que : V = ( – 3 + 2e – 2) = (2e – 5). On ne saurait clore le chapitre de construction de IR sans méditer sur la question suivante : les réels ne seraient-ils pas un peu < « irréels » ? Il ne s’agit pas seulement d’un propos « d’après Chateau d’Yquem » comme, certains collègues et néanmoins amis pourraient le penser, mais d’une remarque liée au fait qu’on ne connaît aucun phénomène physique représenté par IR, même pas<. Le temps, sur la nature duquel on ne sait rien et que l’on admet pouvoir représenter par IR. Quant à dire que 2, ou , < existent, oui, ils existent dans IR que l’on a construit, mais qu’est ce qu’un carré « physique » ? Et si la matière est corpusculaire, (à caractère fini) quelle est la réalité de sa diagonale ? Ce propos, amusant, est d’autant plus intéressant que par contre, les complexes, construits à partir de IR ne sont pas, eux, si complexes que cela, et que beaucoup de situations sont plus claires dans C I que dans IR, (en classes préparatoires, on le constate dans les réductions des endomorphismes en dimension finie, dans les problèmes d’analycité des fonctions<), comme vous le verrez, si d’aventure, vous osez franchir ce pas. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 17/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . Les nombres Complexes Dans chacun des cas suivants, résoudre dans C I l’équation f(z) = 0, sachant qu’elle admet une solution réelle. 1 _ f(z) = iz3 + (2i – 1)z² – (i + 4)z + 3(2i – 1). Soit r un réel. On R(f(r)) = – r² – 4r – 3 et I(f(r)) = r3 + 2r² – r + 6. r² + 4r + 3 = 0 Le complexe f(r) est nul si, et seulement si, 3 . r + 2r² – r + 6 = 0 Il en résulte l’équivalence suivante : [r IR et f(r) ] = 0 [r = – 3]. Le polynôme f(z) se factorise donc sous la forme : f(z) = (z + 3)[iz² – (i + 1)z + 2i – 1]. L’équation (2) iz² – (i + 1)z + 2i – 1 = 0 a pour discriminant = (i + 1)² – 4i (2i – 1) = 8 + 6i Déterminons une racine de En plus des résultats généraux, on peut déterminer les racines carrées d’un nombre complexe par la méthode algébrique. Soit z = x + iy et u = a + ib deux nombres complexes (a, b, x, y sont réels). La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 18/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . On a l’équivalence u² = z a² – b² = x 2ab = y a² + b² = x² + y² Remarque _ on n’utilise pratiquement la méthode algébrique que pour la recherche des racines carrées. Application : z = 8 + 6i = (a + ib)² = a² + 2iab – b² a² – b² = 2ab = 6 a² + b² = 8 8² + 6² = 10 on a alors, 2a² = 18 a² = 9 soit a = ± 3, par suite, b² = 10 – 9 = 1, soit a = ± 1 Une racine de est 3 + i. On en déduit les racines de l’équation (2) z1 = 1 + i – (3 + i) 1+ i + 3 + i = i et z2 = = 1 – 2i 2i 2i Les racines de l’équation f(z) = 0 sont donc – 3, i et 1 – 2i. 2 _ f(z) = z3 – 4iz² – 6 + 12i. Soit r un réel. On a R(f(r)) = r3 – 7r – 6 et I(f(r)) = – 4r² – 2r + 12 ; La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 19/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . Le nombre complexe imaginaire sont nulles. f(r) est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie L’équation – 4r² – 2r + 12 = 0 admet pour solutions les réels – 2 et 3 . 2 3 De R(f(– 2)) = 0 et R f 0, il résulte [f(r) = 0, r IR] (r = – 2). 2 On en déduit la factorisation f(z) = (z + 2)(z² – (4i + 2)z + 6i – 3). L’équation du second degré (2) z² – (4i + 2)z + 6i – 3 = 0 a pour discriminant réduit ’ = (2i + 1)² – (6i – 3) = – 2i ; a² – b² = 0 2ab = – 2 a² + b² = 2 2a² = 2 soit a = ± 1 b = ± 1, mais ab < 0. Une racine de ’ est 1 – i. les racines de (2) sont donc z1 = 2i + 1 – (1 – i) = 3i . z2 = 2i + 1 + (1 – i) = 2 + i Par conséquent, les racines de l’équation f(z) = 0 sont les nombres – 2, 3i , 2 + i. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 20/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . 3 _ f(z) = 2z3 – (1 + 2i)z² + (25i – 1)z + 13i. Soit r un réel. On a R(f(r)) = 2r3 – r² – r et I(f(r)) = – 2r² + 25r + 13. L’unique solution commune aux équations R(f(r)) = 0 et I(f(r)) = 1 . 2 0 est r = – On en déduit la factorisation f(z) = (2z + 1)(z² – (1 + i)z + 13i). L’équation du second degré (2) z² – (1 + i)z + 13i = 0 a pour discriminant a² – b² = 0 = (1 + i)² – 52i = – 50i = [5(1 – i)]² ; en effet, 2ab = – 50 a² + b² = 50 Les racines (2) sont donc z1 = 1 + i – 5(1 – i) 1 + i + 5(1 – i) = – 2 + 3i et z2 = = 3 – 2i ; 2 2 L’ensemble des solutions de l’équation (1) est, par conséquent, S = {– 1 , – 2 + 3i, 3 – 2i}. 2 La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 21/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . Résoudre dans C, I pour n IN*, les équations (E) suivantes : 1 _ zn = – 1 ; On a – 1 = cos + i sin ; Les solutions de l’équation (E) sont donc 2k 2k zk = cos + + i sin + , avec k ,0, 1, < , n – 1}. n n n n En effet, pour tout complexe z = a + ib (avec a et b réels), on a les équivalences suivantes : Considérons l’ensemble U des nombres complexes de module 1. (z U) [a² + b² = 1] [ ! IR/2ZZ, z = cos + i sin ] = + 2k = + 2k cos = cos et sin = 0 = sin = – + 2k = – + 2k 2 _ zn = 1 – i 1 – i 1 – i 3; ² 3 = 1² + ( 3)² = 4, d’où 1 3 = 3 = 2 – i 2 2 cos = 1 – i 3 = 2, puis r(cos + i sin ) 1 = cos , d’où 2 3 = 3 + 2k = – 3 + 2k et La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 22/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . sin = – 3 = sin – d’où 2 3 On en déduit 1 – i = – 3 + 2k = + 3 + 2k 3 = 2 cos – + i sin – . 3 3 Les solutions de l’équation (E) sont donc 2k 2k zk = 21/n cos – + + + i sin – , avec k ,0, 1, <, n – 1}. n n 3n 3n The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 23/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . Soit P un plan (affine euclidien ! disent les puristes) orienté rapporté à un repère orthonormal direct. Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble des points M d’affixe z du plan P vérifiant : 1 _ (1 – i)z + 2i = 2 La relation effet, z z = z (1 – i)z + 2i = 2 est équivalente à [(1 – i)z + 2i][ ( 1 – i)z + 2i ] = 4, en ² , d’où *(1 – i)z + 2i][(1 + i) z – 2i] – 4 = 0, en développant, on obtient : 2z z – 2i(1 – i)z + 2i(1 + i) z + 4 – 4 = 0 2z z + 2i( z – z) – 2(z + z ) = 0 ou encore z z + i( z – z) – (z + z ) = 0. (1) Posons z = x + iy, avec x et y réels. L’égalité (1) s’écrit (x + iy)( x – iy) + i(x – iy – x – iy) – (x + iy + x – iy) = 0 soit x² + y² + 2y – 2x = 0 (x – 1)² + (y + 1)² = 2 est donc le cercle de centre de (1, – 1) et de rayon 2. ² 2 _ z² – (1 + i)² = z – (1 – i)² ² L’égalité z² – (1 + i)² = z – (1 – i)² est équivalente à z² – z ² = (1 + i)² – (1 – i)², soit (z – z )(z + z ) = 4i. posons z = x + iy , avec x et y réels. M est donc élément de si, et seulement si, 2x 2iy = 4i. La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 24/25 The gate of conviction now begins to swing. An equation is an exercise in symmetry and balance; two things exist in a precarious state of equipoise whenever an equation is affirmed. . Il en résulte que est l’hyperbole d’équation y = 3_ z – 1 = z – (1 + 1 . x 3) + i Posons z = x + iy , avec x et y réels. 3) + i z – 1 = z – (1 + (x – 1)² + y² = [x – (1 + ² 3)] + (y + 1)² en élevant les deux membres au carré, et en égalant à zéro, (x – 1)² + y² – [x 3)] – (1 + ² – (y + 1)² = 0 en développant, x² – 2x + 1 + y² – [x² – 2(1 + – 2x(1 – 1 – 3)x + 1 + 2 3) – 2y – 4 – 2 3=0 3 + 3] – y² – 2y – 1 = 0 3x – y –(2 + 3 )= 0. . Car la pente 3 d’une droite correspond à la tangente de l’angle que fait la droite en question, avec l’axe des abscisses. tg = 3 tg = tg = + k 3 3 On en déduit que est la droite passant par A(1, – 2) et de pente La porte de la conviction commence à s’ouvrir. Une équation est un exercice de symétrie et d’équilibre dans lequel deux choses existent dans un état de stabilité précaire. 25/25