devoir allemagne

ANALOGIES ENTRE LES EVOLUTIONS TEMPORELLES D'UN SYSTEME RADIOACTIF
ET D'UN SYSTEME ELECTRIQUE
exercice construit à partir de l'énoncé du bac blanc 2006
LA CALCULETTE N'EST PAS AUTORISEE
L’exercice est composé de 3 parties. La partie 1 concerne l’étude radioactive du phosphore, la partie 2 l’étude d’un
circuit RC pendant la charge d’un condensateur. L’objectif de la dernière partie est de faire un parallèle entre le
phénomène de radioactivité et la charge d’un condensateur afin de mettre en évidence certaines analogies.
Les parties 1 et 2 sont totalement indépendantes.
1. Etude radioactive du phosphore
Données :
Le phosphore
8
-1
- Célérité de la lumière : c = 3,00.10 m.s
26
- Masse du noyau de phosphore 32 : m(P) = 5,35631.10− kg.
−26
- Masse du soufre : m(S) = 5,35608.10 kg.
-31
- Masse d’un électron : m(e ) = 9.10 kg
32
15
P
est radioactif. Il se désintègre en émettant un électron. Sa demi-vie est t1/2=14,3 jours.
1.1. La désintégration forme du soufre. Etablir l’équation de désintégration.
22
A l’instant t=0, un échantillon de phosphore possède N0=1,00.10 noyaux. La loi de décroissance radioactive
- .t
donnant le nombre de noyaux de phosphore restant au cours du temps est du type N(t) = N0.e λ où λ est une
constante strictement positive.
1.2. Vérifier que le nombre de noyaux N est une fonction du temps solution de l’équation différentielle :
où
dN
dt
dN
+ λ.N = 0
dt
représente la dérivée de N(t).
1.3. Définir la demi-vie t1/2 puis établir la relation t1/2=
Ln 2
λ
1.4. Donner l’expression de Ln(N) en fonction du temps t.
1.5. Afin de tracer le graphe ln N en fonction du temps, on mesure les valeurs N à différentes dates puis on calcule
Ln(N). On obtient ainsi le graphe ci-dessous :
Ln N
50,50
0
50,00
49,50
49,00
48,50
Dates t (en jours)
48,00
0
5
10 15
20
25
30 35
40 45
Justifier l’allure du graphe obtenu. A partir du graphe, montrer que la valeur de λ est voisine de 5.10 jours .
-2
22
-1
1.6. Si à l’instant t=0, l'échantillon de phosphore possède N0=1,00.10 noyaux, quel est le nombre N1 de noyaux
radioactifs P restant à la date t = 2xt1/2 ? En déduire le nombre N2 de noyaux S qu’il s’est formé à la même date ?
1.7. Exprimer puis calculer la perte de masse ∆m au cours de la désintégration d’un noyau de phosphore.
Montrer que la perte de masse ∆m' de l'échantillon pendant ∆t = 2xt1/2 est de l'ordre de 10µg.
1.8. Exprimer puis donner un ordre de grandeur de l’énergie libérée par l'échantillon pendant cette durée
∆t = 2xt1/2.
2. Etude d’un circuit RC.
Un dispositif d’acquisition de données relié à un ordinateur permet de
suivre l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction
du temps.
i
K
Un générateur de tension constante E=5V alimente un conducteur
3
ohmique de résistance R=10 Ω et un condensateur de capacité C
associés en série.
B
R
E
Système
d’acquisition
A
C
A la date t = 0s, le condensateur est initialement déchargé, on ferme
l’interrupteur K et l’ordinateur enregistre la tension dont l’évolution est
donnée sur le graphe ci-dessous.
M
figure 1
figure 2:
2.1. Flécher, sur le schéma du montage, les tensions aux bornes du condensateur et de la résistance:uc et uR
(figure 1 ci-dessus à compléter).
2.2. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur au cours de sa charge.
2.3. a) Montrer que la solution de cette équation différentielle est du type uC (t ) = E (1 − e
−
t
RC
).
b) Déterminer, à partir du document de la figure 2 ci-dessus, la constante de temps τ = RC caractéristique du
circuit. Expliquer la méthode utilisée.
2.4. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
2.5. A partir de l’expression de uc(t), montrer que le courant i(t) durant la charge du condensateur peut se mettre
sous la forme i(t)=
A.e − kt . On donnera les expressions de A et k en fonction des paramètres du circuit: E, R et C.
2.6. Que vaut le courant à l’instant t = 0 ? Que vaut-il en régime permanent ?
3. Analogies entre les deux phénomènes
3.1. Dessiner à main levée le graphe donnant les variations de l’intensité du courant i(t) en fonction du temps
durant la charge du condensateur et le graphe donnant les variations du nombre de noyaux radioactifs N en
fonction du temps. Comparer les graphes obtenus.
3.2. En déduire l’équivalent de la constante radioactive λ pour le circuit RC.