Chapitre 6 : Le Produit Scalaire

Chapitre 6 : Le Produit Scalaire
A) Définitions et cas particuliers
1) Définitions
Il est possible de définir le produit scalaire de deux vecteurs de plusieurs façons différentes.
a) Définition principale
Le produit scalaire de deux vecteurs
u et v est le nombre réel noté u . v tel que :
1
2
2
2
u . v = [∥u v∥ −∥u∥ −∥v∥ ]
2
2
u2 le produit u . u , qui est égal à ∥u∥ .
Remarque : si 
u ou v est nul, le produit scalaire u . v sera nul aussi.
On notera
b) Définition avec le cosinus
u . v =∥u∥×∥v∥×cos u ,v 
Autrement dit, le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs longueurs par le
cosinus de l'angle qu'ils font.
c) Définition analytique dans un repère orthonormal
Soit deux vecteurs
u  x ; y et v  x ' ; y '  , on aura :
u . v = x x ' y y '
Démonstrations :
. a) <=> c)
2
2
2
2
2
on a ∥u
 ∥ =x² y² , ∥v∥ = x ' ² y ' ²et∥u v∥ = x x '  y y '  ,
1
2
2
1
2
2
u . v = [ x x '  y y '  −x²− y²− x ' ²− y ' ²]= [2 xx'2 yy' ]= xx' yy '
d'où 
. b) <=> c)
i colinéaire àu
Soit un repère orthonormé (Oi ;; j ) et deux points A et B tels que

et de même sens , A tel que
OA=u , et B tel que
OB=
v.
On a alors, en gardant les notations
u  x ; y et v  x ' ; y '  ,
 . v =0 x ' y y '= y y ' , où x =∥
u
u∥ (puisque u =∥
u∥i ) et y' est l'abscisse dev ,
soit y '=∥v∥cosu ,v  , ce qui nous donne bienu . v =∥u∥∥v∥cos u ,v 
d) Vecteurs colinéaires
Si deux vecteurs sont colinéaires et de même sens, leur angle sera de 0°, donc le cosinus sera 1, et
on aura :
u . v =∥u∥∥v∥
S'ils sont colinéaires et de sens contraires, leur angle sera 180° et le cosinus vaudra -1, on aura donc
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u . v =−∥u∥∥v∥
e) Vecteurs orthogonaux
Si deux vecteurs sont orthogonaux, leur angle sera de 90° ou -90°, et le cosinus vaudra 0, leur
produit scalaire sera donc nul ! 
u . v =0 .
Inversement, si deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire nul, les cosinus de leur angle vaut
obligatoirement zéro, donc leur angle est de 90° ou -90° : ils sont donc orthogonaux. D'où :
Les deux vecteurs 
u et v sont orthogonaux <=> 
u . v =0
B) Règles de calcul
1) Projection orthogonale
Supposons que l'on connaisse un vecteur
vecteur 
u , que l'on appellera w
 .
Alors,
v et sa projection orthogonale sur la direction du
u . v =u . w
 =±∥u∥∥
w∥ (+ ou - selon le sens de ces deux vecteurs).
Ceci peut permettre de calculer ce produit sans connaître l'angle des deux vecteurs, à condition de
connaître la projection orthogonale de l'un sur l'autre.
2) Commutativité
Pour tous 
u et v , on aura 
u . v =v . 
u
En effet, cela se voit facilement au fait que l'expression x x' + y y' est symétrique en (x ; y) et (x' ;
y') (autrement dit, on peut inverser x et x' et y et y' sans changer sa valeur).
2) Associativité
Pour tous vecteurs 
u, 
v et w
 , on aura u . v  w
 =
u . v 
u.w

En effet, x(x' + x'') + y(y' + y'') = xx' + yy' + xx'' + yy''.
3) Linéarité
Pour tous a et b réels, et pour tous vecteurs 
u et 
v , a u . b v =a b 
u.
v
En effet, (ax) (bx') + (ay) ((by') = abxx' + abyy' = ab(xx' + yy').
C) Distance et orthogonalité
1) Produit scalaire et distance
 . Par ailleurs, ce vecteur étant bien entendu colinéaire à
Nous avons vu que l'on notait 
u . u =u²
lui-même et de même sens, on aura :
u . u=u ²=∥u∥²
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Si on considère le vecteur d'origine A et d'extrémité B, on aura :

AB²=
AB. 
AB= AB²
De même, on aura les « identités remarquables » suivantes :
u v . uv =∥u v∥²=∥u∥²2 u . v ∥v∥²
u −v . u−v =∥u −v∥²=∥u∥²−2 u . v ∥v∥²
u v . u−v =∥u∥²−∥v∥²
Exemple :
Calculer 
A B
A C . 
C B...=
A B
A C .
A B−
A C= A B ²−A C ²
2) Produit scalaire et orthogonalité des droites
Soit deux droites de vecteurs directeurs 
u et v : dire qu'elles sont perpendiculaires dans le plan
(ou orthogonales dans l'espace) est équivalent à dire que ces deux vecteurs sont orthogonaux, càd
que leur produit scalaire est nul.
Exemples :
Soit les droites (D1) et (D2) du plan, d'équations (y= 3x – 7) et (y = 5 – x/3) dans un repère
orthonormé.
Démontrer que ces deux droites sont perpendiculaires.
En déduire une relation entre les coefficients directeurs a et b de deux droites (D) et (D') pour
qu'elles soient perpendiculaires.
3) Une propriété du parallélépipède
Soit un parallélépipède ABCD. On a alors :

A C=
A B
BC=
AB
A D et 
B D=
B A
AD=
AD−
A B , d'où :

AC²= AB²2 
AB. 
AD AB²


BD²= AD²−2 AB. 
ADAD²
d ' où AC² BD²=2  AB² AD² = AB²BC²CD² AD² , soit :
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales
est égale à la somme des carrés des quatre côtés.
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