Chapitre 10 – Le produit scalaire

Cours de Mathématiques – Classe de Première STI2D – Chapitre 10 : Le produit scalaire
Chapitre 10 : Le Produit Scalaire
A) Définitions et cas particuliers
1) Rappels
a) Norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur est sa longueur. Par exemple, la norme du vecteur ⃗
AB est tout simplement
la longueur AB, ou encore la distance de A à B.
u∥ la longueur, ou norme du vecteur ⃗
u . Ainsi, nous avons ||⃗
On notera ∥⃗
AB ||=AB .
b) Longueur d'un segment, distance entre deux points
La formule pour la calculer la distance entre A et B, c'est à dire la longueur AB en fonction des
coordonnées de A et B (en repère orthonormé) est :
AB= √ (x B – x A )2 +( y B – y A )2
c) Longueur d'un vecteur
Par ailleurs, xB – xA et yB – yA sont les coordonnées du vecteur ⃗
AB , donc on peut aussi dire que la
u de coordonnées (x ; y) se calcule par :
norme du vecteur ⃗
|| ⃗
u ||=√ x2 + y 2
2) Produit scalaire de deux vecteurs
a) Nature et notation du produit scalaire
On notera 
u . v le produit scalaire des vecteurs ⃗u et ⃗v , qui est un nombre réel (et non un
autre vecteur). Il y a plusieurs façons équivalentes de définir le produit scalaire de deux vecteurs.
b) Définition graphique par la projection orthogonale
Soient deux vecteurs ⃗
AB et ⃗
AC :
Si on projette orthogonalement C sur la droite (AB) en un point D, le produit scalaire de ces deux
vecteurs, qu'on écrira ⃗
AB . ⃗
AC sera égal à :
AD ×AC si A est en dehors du segment [CD] ou à −AD× AC si A est entre C et D.
Exemple :
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c) Définition avec le cosinus
Si on regarde le schéma précédent on voit, puisque le triangle ABD est rectangle en D que :
AD
=cos (⃗
AD , ⃗
AB), donc AD= ABcos (⃗
AD , ⃗
AB)
AB
D'où pour deux vecteurs u⃗ et ⃗v une deuxième formule et définition du produit scalaire :
u . v =∥u∥×∥v∥×cos u ,v 
Autrement dit, le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs longueurs par le
cosinus de l'angle qu'ils font.
d) Définition avec les normes
Le produit scalaire de deux vecteurs
u et v est aussi le nombre réel noté ⃗u . ⃗v tel que :
1
u.⃗
v = [ ‖⃗
u + ⃗v ‖2 −‖ ⃗
u‖2 −‖ ⃗v ‖2 ]
⃗
2
On notera u
⃗ 2 le produit
2
u.

u , qui est égal à ∥
u∥ .
En effet, en remplaçant v par u dans cette définition, on trouve :
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
u . u⃗ = [‖ ⃗
u +⃗
u ‖ −‖u⃗ ‖ −‖u⃗ ‖ ]= [ ‖2 ⃗
u ‖ −2‖⃗
u ‖ ]= [ 4 ‖⃗
u ‖ −2 ‖⃗
u ‖ ]= [ 2‖ ⃗
u ‖ ]=‖⃗
u‖
⃗
2
2
2
2
u ou ⃗
v est le vecteur nul, le produit scalaire
Remarque : si ⃗
u . v sera égal à zéro.
e) Définition analytique dans un repère orthonormé
Soit deux vecteurs
u  x ; y et v  x ' ; y '  , on aura :
u . v = x x ' y y '
Toutes ces définitions sont équivalentes car :
. d) <=> e)
on a ∥
u∥2 =x²  y² , ∥v∥2= x ' ² y ' ²et∥u v∥2= x x '2  y y ' 2 ,
1
2
2
1
2
2
u . v = [ x x '  y y '  −x² − y²− x ' ²− y ' ²]= [2 xx '2 yy' ]= xx ' yy '
d'où 
. d) <=> c)
Soit un repère orthonormé (O ; i ; j ) et deux points A et B tels que i colinéaire à u
et de même sens , A tel que 
OA=u , et B tel que 
OB=
v.
On a alors, en gardant les notations
u  x ; y et v  x ' ; y '  ,
 . v =0 x ' y y '= y y ' , où x =∥
u
u∥ (puisque u =∥
u∥i ) et y' est l'abscisse de v ,
soit y '=∥v∥cos u ,v  , ce qui nous donne bien u . v =∥u∥∥v∥cos u ,v 
3) Cas particuliers
a) Vecteurs colinéaires
Si deux vecteurs sont colinéaires et de même sens, leur angle sera de 0°, donc le cosinus sera 1, et
on aura :
u.⃗
⃗
v =‖⃗
u ‖×‖⃗v ‖
S'ils sont colinéaires et de sens contraires, leur angle sera 180° et le cosinus vaudra -1, on aura donc
u.⃗
⃗
v =−‖⃗
u ‖×‖⃗v ‖
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b) Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs sont dits orthogonaux quand leur angle est de 90° ou -90°. Le cosinus vaudra alors 0
u . ⃗v =0 .
et leur produit scalaire sera donc nul, soit ⃗
Inversement, si deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire nul, les cosinus de leur angle vaut
obligatoirement zéro, donc leur angle est de 90° ou -90° : ils sont donc orthogonaux. D'où :
Les deux vecteurs ⃗
u et ⃗v sont orthogonaux <=> ⃗
u . ⃗v =0
B) Propriétés
1)) Commutativité
Pour tous ⃗
u et ⃗
v , on aura ⃗
u.⃗
v =⃗v . ⃗
u
En effet, cela se voit facilement au fait que l'expression x x' + y y' est symétrique en (x ; y) et (x' ;
y') (autrement dit, on peut inverser x avec x' et y avec y' sans changer sa valeur).
2) Distributivité
Pour tous vecteurs ⃗
u, ⃗
v et w
⃗ , on aura ⃗
u .(⃗v + w
⃗ )=⃗
u . ⃗v +⃗
u.w
⃗
En effet, x(x' + x'') + y(y' + y'') = x x' + y y' + x x'' + y y''.
3) Linéarité
Pour tous a et b réels, et pour tous vecteurs ⃗
u et ⃗
v , ( a u⃗ ).(b ⃗v )=a b (⃗
u . ⃗v )
En effet, (a x) (b x') + (a y) ((b y') = a b x x' + a b y y' = a b(x x' + y y').
4) Identités remarquables
(⃗u +⃗v ).(⃗u +⃗v )=∥⃗u +⃗v∥²=∥⃗u∥²+2 u⃗ . ⃗v +∥⃗v∥²
(⃗u −⃗v ). (⃗u −⃗v )=∥⃗u−⃗v ∥²=∥⃗u∥²−2 ⃗u . ⃗v +∥⃗v∥²
(⃗u +⃗v ).(⃗u−⃗v )=∥⃗u∥²−∥⃗v∥²
Exemple :
Calculer (⃗
AB+ ⃗
AC ). ⃗
CB
(Solution : (( ⃗
AB+⃗
AC ). ⃗
CB=( ⃗
AB+⃗
AC ).(⃗
AB−⃗
AC )= AB ²− AC ² ) )
C) Distance et orthogonalité
1) Produit scalaire et distance
⃗ . Par ailleurs, ce vecteur étant bien entendu colinéaire à
Nous avons vu que l'on notait u
⃗ . u⃗ =u²
lui-même et de même sens, on aura :
⃗u . u⃗ =⃗u ²=∥⃗u∥²
Si on considère le vecteur d'origine A et d'extrémité B, on aura :
2
⃗
AB ²=⃗
AB . ⃗
AB=‖⃗
AB‖ = AB ²
2) Produit scalaire et orthogonalité
Soit deux vecteurs 
u et v : dire que ces deux vecteurs sont orthogonaux c'est dire que leurs
directions sont perpendiculaires dans le plan (ou orthogonales dans l'espace).
u ┴ ⃗v pour dire que ces vecteurs sont orthogonaux.
On note ⃗
u
On a donc ⃗
┴
⃗v <=> ⃗
u . ⃗v =0 .
Ceci permet souvent de prouver que deux droites ou deux segments sont perpendiculaires.
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Exemple :
Soit les points A(3 ; 3), B(8 ; 8) et C(5 ; 1).
Prouver que le triangle ABC est rectangle en A.
3) Une propriété du parallélogramme
Soit un parallélogramme ABCD. On a alors :
⃗
AC=⃗
AB+ ⃗
BC=⃗
AB+⃗
AD et ⃗
BD=⃗
BA+⃗
AD=⃗
AD−⃗
AB , d'où :
⃗
AC² = AB² + 2 ⃗
AB .⃗
AD + AB²
⃗
⃗
BD ²= AD² −2 AB . ⃗
AD + AD²
d ' où AC² + BD² =2( AB² + AD² )= AB² + BC² + CD² + AD² , soit :
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales
est égale à la somme des carrés des quatre côtés.
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Fiche de révision : Le Produit Scalaire
Définitions : (avec ⃗u ( x ; y) et ⃗v ( x ' ; y ' ))
⃗u . ⃗v =∥⃗u∥×∥⃗v∥×cos(⃗u , ⃗v )
1
u .⃗v = [‖⃗
⃗
u+ ⃗
v ‖2−‖⃗
u‖2−‖⃗v ‖2 ]
2
u . ⃗v = x x ' + y y '
⃗
Projection orthogonale :
u .
w
 la projection orthogonale de v sur la direction du vecteur 
Alors, 
u . v =u . w
 =±∥u∥∥
w∥ (+ ou - selon le sens de ces deux vecteurs).
Soit
Vecteurs colinéaires :
u.⃗
⃗
v =∥⃗
u∥×∥⃗v∥ (même sens)
ou
u.⃗
⃗
v =−∥⃗
u∥×∥⃗
v ∥ (sens contraire)
Vecteurs orthogonaux (directions perpendiculaires) :
u et ⃗
v sont orthogonaux <=> ⃗
u . ⃗v =0
⃗
Commutativité, distributivité et linéarité :
Pour tous 
u et v , on aura 
u . v =v . 
u
Pour tous vecteurs 
u, 
v et w
 , on aura u . v  w
 =
u . v 
u.w

Pour tous a et b réels, et pour tous vecteurs 
u et 
v , a u . b v =a b 
u.
v
Identités remarquables :
u v . uv =∥u v∥²=∥u∥²2 u . v ∥v∥²
u −v . u−v =∥u −v∥²=∥u∥²−2 u . v ∥v∥²
u v . u−v =∥u∥²−∥v∥²
Produit scalaire et distance :
u .⃗
u =u
⃗
⃗²
u . u=u ²=∥u∥²
⃗
AB ²=⃗
AB . ⃗
AB=‖⃗
AB‖2= AB ²
Une propriété du parallélogramme ABCD :
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²
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