GROUPES DE LIE ET LEURS REPRÉSENTATIONS Les groupes

GROUPES DE LIE ET LEURS REPRÉSENTATIONS
MASTER 2 RECHERCHE - SEPTEMBRE 2007 - REIMS
Résumé. Le but de cette courte note est de donner un aperçu du
sujet du Master 2 Recherche de l’année 2007-08 et d’en discuter
les principales motivations.
Les groupes de Lie et leurs représentations occupent une place importante dans l’édifice des Mathématiques modernes, leurs applications
sont nombreuses et variées. Les liens de ce sujet avec la mécanique classique, les équations différentielles ou encore la géométrie différentielle
sont de longue date. Plus récemment, la topologie globale des groupes
de Lie a permis d’établir une connexion profonde avec la théorie des
nombres. Les groupes de Lie, en tant que groupes de symétries1, jouent
un rôle fondamental en mécanique quantique ; les derniers développements de la théorie des champs quantique et de la théorie des cordes
en font un outil indispensable de la physique mathématique. Enfin,
la théorie des représentations des groupes de Lie peut être interprétée
comme une analyse harmonique non-commutative et à ce titre elle peut
être considérée comme une branche de l’analyse linéaire.
Tout vraisemblablement, la notion des groupes continus (contrairement aux groupes discrets tels que les groupes de permutations)
est apparue pour la première fois dans les travaux du mathématicien
norvégien Sophus Lie vers 1873-74. En simplifiant, on pourrait dire
que l’une des motivations de S. Lie était de développer une théorie
de symétries des équations différentielles qui permettrait, à l’instar de
la théorie de Galois pour les équations algébriques, de les classifier en
termes de la théorie des groupes.
Évidemment S. Lie n’était pas isolé, sa théorie a été considérablement
influencée par les travaux de Carl Gustav Jacobi sur la géométrie des
équations aux dérivées partielles de la mécanique classique ou encore
par ceux de Bernhard Riemann sur la géométrie différentielle. Notons
1
Par ”symétrie” on entend généralement une transformation d’un ensemble
qui le laisse globalement invariant. À ne pas confondre avec les transformations
isométriques σ vérifiant σ −1 = σ pour lesquelles nous avons réservé le terme
”symétries” dans le cours de géométrie affine.
1
2
MASTER 2 RECHERCHE - SEPTEMBRE 2007 - REIMS
enfin que les premières idées de S. Lie ont été développées en étroite
collaboration avec Felix Klein - auteur, entre autres, du fameux programme d’Erlangen qui suggère de concevoir la géométrie d’un espace
en termes des représentations de groupes et leurs invariants2.
1. Groupes de Lie.
Un groupe de Lie (réel) est une variété réelle lisse (C ∞ ) de dimension
finie qui est munie d’une structure de groupe de telle sorte que les
opérations de multiplication et d’inversion soient des applications de
classe C ∞ .
On pourrait penser les groupes de Lie comme des familles de symétries
qui varient d’une façon lisse. Par exemple, le groupe des rotations
planes
- SO(2,¶R) - est une famille de ”symétries” du plan de la forme
µ
cos t − sin t
qui dépend d’une façon lisse d’un paramètre réel t.
sin t cos t
Puisqu’un groupe de Lie est une variété, il est donc localement
homéomorphe à un espace vectoriel, ainsi l’espace des vecteurs tangents
au groupe en un point donné (par exemple l’élément neutre) possède
une structure algébrique supplémentaire, celle d’algèbre de Lie.
Avant de donner des définitions précises et de discuter les propriétés
de ces objets illustrons tout cela par un exemple.
Une transformation linéaire X d’un espace vectoriel E (réel ou complexe) de dimension n peut être vue comme un champ de vecteurs.
En effet, à chaque p ∈ E l’application X associe le vecteur X(p). On
peut imaginer alors un fluide en mouvement dont les particules ont la
vitesse X(p) au point de l’espace p. Un tel champ de vecteurs est alors
le courant du flot et les chemins parcourus par les particules du fluide
sont ce que l’on appelle les trajectoires. Bien-sûr, un tel flot est très
particulier : il ne dépend pas de temps (flot stationnaire) et dépend
linéairement de p. Dans le cas n = 2 on montre que dans des coordonnées linéaires appropriées de tels flots sont de la forme représentée
dans la figure 1.
Considérons la trajectoire d’une particule d’un tel fluide passant par
un certain point po au moment de temps τ = τo . Si l’on note p(τ )
sa position au moment τ , alors sa vitesse en ce moment est p0 (τ ) =
dp(τ )/dτ . Or on a supposé que le courant au point p(τ ) est donné par
2
Cette approche révolutionnaire a permis d’unifier des ”différentes” géométries
connues à la fin de XIX-ème siècle : la géométrie euclidienne, projective, hyperbolique, sphérique etc. On parlera de cette vision algébrique de la géométrie lors que
l’on aura introduit la notion d’espace homogène.
GROUPES DE LIE ET LEURS REPRÉSENTATIONS
3
X(p(τ )). Ainsi la fonction p(τ ) vérifie l’équation différentielle
p0 (τ ) = X(p(τ ))
avec la condition initiale p(0) = po . La solution de ce problème de
Cauchy peut être obtenue de la façon suivante. Supposons que p(τ )
admet un développement en série entière en τ :
∞
X
τ k pk ,
p(τ ) =
k=0
avec des coefficients pk ∈ E qui restent à être déterminés. Si l’on ne se
soucie pas de la convergence, l’équation différentielle devient
∞
∞
X
X
τ k X(pk ),
kτ k−1 pk =
k=0
k=1
1
X(pk )
k+1
ce qui donne pk+1 =
et finalement : pk =
donc écrire la solution sous la forme
p(τ ) = exp(τ X)(po ),
1
X k (po ).
k!
On peut
P
1
k
où l’exponentielle d’une matrice est définie par exp X := ∞
k=0 k! X .
Cette fonction exponentielle est un concept fondamental de la théorie
qui permet de relier les transformations ”infinitésimales” (vitesse) et
les transformations ”continues” (flot).
Parmi des différentes propriétés de l’exponentielle qui seront traitées
en cours retenons pour l’instant la suivante. Pour toute matrice X et
toute matrice invertible a on a
!
̰
∞
X
X Xk
(aXa−1 )k
−1
−1
a =
= exp(aXa−1 ).
a(exp X)a = a
k!
k!
k=0
k=0
4
MASTER 2 RECHERCHE - SEPTEMBRE 2007 - REIMS
Dans le cas des matrices 2 × 2 on montre alors, en utilisant l’analyse
qualitative des systèmes d’équations différentielles linéaires d’ordre 1
(Figure 1), que toute matrice X ∈ M at(2, R) est conjuguée à exactement une des matrices des types suivants (ici α, β ∈ R, β 6= 0) :
µ
¶
µ
¶
1 0
0 −1
(1) Elliptique de la forme : α
+β
.
0 1
1 0
µ
¶
µ
¶
1 0
0 1
(2) Hyperbolique de la forme : α
+β
.
0 1
1 0
µ
¶
µ
¶
1 0
0 0
(3) Parabolique de la forme : α
+β
.
0 1
1 0
µ
¶
1 0
(4) Scalaire de la forme : α
.
0 1
Les matrices X données dans (1)-(4) engendrent les groupes à un paramètre exp(τ X) suivants :
µ
¶
cos(βτ ) − sin(βτ )
ατ
(1) Elliptique : e
.
sin(βτ ) cos(βτ )
µ
¶
cosh(βτ ) sinh(βτ )
ατ
.
(2) Hyperbolique : e
sinh(βτ ) cosh(βτ )
µ
¶
1 0
ατ
(3) Parabolique : e
.
βτ 1
µ
¶
1
0
.
(4) Scalaire : eατ
0 1
2. Analyse harmonique et représentations des groupes de
Lie
De nouveau, en évitant au maximum les définitions, nous expliquerons, à partir d’exemples, les idées fondamentales de la théorie des
représentations des groupes de Lie.
Nous allons nous contenter pour l’instant du rappel suivant. Une
représentation d’un groupe G dans un espace vectoriel E est un homomorphisme de groupe π : G → GL(E). 3 On dit alors que le groupe G
agit dans E. Par exemple,
– le groupe SL(2, R) des matrices 2 × 2 de déterminant 1 agit dans
l’espace vectoriel R2 par des transformations linéaires :
−
→
→
−
x →g·−
x , ∀→
x ∈ R2 , g ∈ SL(2, R).
3Dans
le cas des groupes de Lie non-compacts il faudra imposer des conditions
supplémentaires qui tiennent compte de la topologie de l’espace E qui sera souvent
de dimension infinie (voir exemples).
GROUPES DE LIE ET LEURS REPRÉSENTATIONS
5
– D’autre part, soit k un entier supérieur à 1, alors le même groupe
SL(2, R) admet une représentation πk dans l’espace hilbertien Hk2 (Π)
des fonctions holomorphes f dans le demi-plan supérieur Π vérifiant
la condition
Z
kf kk :=
|f (x + iy)|y k−2 dxdy < ∞
Π
définie pour toute matrice
µ
µ
πk
a b
c d
µ
a b
d c
¶
telle que ad − bc = 1 par
¶
¶ ¶
µ
dz − b
−k
.
f (z) = (−cz + a) f
−cz + a
Observons que la première représentation est de dimension finie, or la
deuxième est déjà de dimension infinie.
Une représentation est dite unitaire si l’espace E est muni d’un produit scalaire ( , ) par rapport auquel tous les opérateurs π(g) sont unitaires, i.e. préservent le produit scalaire : (π(g)x, π(g)y) = (x, y), ∀x, y ∈
E, g ∈ G. Remarquez que la représentation définie dans le premier
example n’est pas unitaire tandis que la deuxième l’est.
Un sous-espace F ⊂ E est invariant ou encore stable sous l’action
du groupe si π(g)F ⊂ F, ∀g ∈ G (donc π(g)F = F ). Dans ce cas la
restriction de π(g) à F définit une autre représentation de G dans F
que l’on appelle sous-représentation de π. Si l’espace E admet un tel
sous-espace invariant non trivial F (i.e. F 6= E et F 6= {0}), on dit
alors que la représentation π de G dans E est réductible, sinon on
parle d’une représentation irréductible4.
Si l’espace E = E1 ⊕ E2 ⊕ . . . ⊕ Ek est une somme directe de sousespaces invariants on dira que la représentation π de G dans V se
décompose en somme directe des sous-représentations de G.5
On dit que deux représentations π1 et π2 de G dans E1 et E2 respectivement, sont équivalentes si, après avoir correctement identifié les
objets, elles ”agissent de la même façon”, i.e. s’il existe un isomorphisme A : E1 → E2 tel que π2 (g) ◦ A = A ◦ π1 (g), ∀g ∈ G, i.e. si le
4Sauf
le cas de E = {0} que l’on considère par convention réductible. Notons
par ailleurs que si E est le corps de base et π(g) = 1, ∀g ∈ G on parle alors de la
représentation triviale qui est irréductible.
5Il se peut que la somme soit infinie et même que le paramètre de sommation
soit continu, auquel cas on parlera de décomposition en une intégrale directe de
sous-représentations.
6
MASTER 2 RECHERCHE - SEPTEMBRE 2007 - REIMS
diagramme suivant est commutatif :
E1
π1 (g)
²
E1
A
A
/ E2
²
π2 (g)
/ E2
On dit alors que A entrelace π1 et π2 .
Les représentations unitaires et irréductibles constituent des objets
”élémentaires” de la théorie dans le sens ou (sous certaines conditions
techniques sur les groupes de Lie en question) toute représentation unitaire admet une décomposition en somme (discrète et/ou continue) de
tels ”blocs”. C’est une démarche naturelle : on classifie d’abord des
objets ”simples” et on décrit les règles qui permettent de reconstruire
des objets plus complexes à partir de ceux-là. En musique (ou plutôt
en acoustique) on répertorie des sons ”purs” que l’on appelle harmoniques, et on décrit tout autre son comme superpositions des harmoniques. Notons également qu’en physique il existe un formalisme qui
permet d’identifier les représentations irréductibles d’un certain groupe
de symétrie (i.e. groupe de transformations laissant invariant les lois
physiques) avec les particules élémentaires.
Ainsi deux questions fondamentales se posent :
b de toutes les représentations unitaires et
(1) Décrire l’ensemble G
irréductibles d’un groupe de Lie G donné. Cet ensemble est
appelé le dual unitaire du groupe G. Cette terminologie est due
au fait que dans le cas où G est un groupe abélien, l’ensemble
b (i.e. l’ensemble des caractères unitaires de G) forme aussi un
G
d
b s’identifie canoniquement
groupe (groupe dual) dont le dual (G)
avec le groupe initial G. Cette correspondance porte le nom de
la dualité de Pontryagine.6
Notons que pour des groupes non-abéliens la structure du
dual unitaire est extrêmement compliquée ( en général ce n’est
même pas un espace de Hausdorff) et elle est toujours inconnue
même pour certains groupes classiques.7
d
b est donné par g → (χ → (χ(g)), où
l’isomorphisme G → (G)
l’application d’évaluation d’un caractère χ au point g est vue comme un caractère
b
du groupe G.
7
Le dual unitaire du groupe linéaire général GL(n, R) a été déterminé seulement
au milieu des années 1980 par le mathématicien américain David Vogan.
6Concrètement
GROUPES DE LIE ET LEURS REPRÉSENTATIONS
7
(2) Étant donnée une représentation unitaire donner la description aussi précise que possible de sa décomposition en composantes irréductibles. Par cela on entend la détermination de
la nature de la décomposition (discrète ou continue ou bien
les deux) le calcul des multiplicités des sous-représentations
(i.e. le nombre de fois que la même sous-représentation apparaı̂t dans la décomposition), la réalisation explicite des sousreprésentations etc.
Ces deux questions étant très générales et la variété des groupes
de Lie, même de dimension finie, étant foisonnante il serait illusoire
d’espérer une réponse simple ou même une réponse tout court. A un
certain moment il faudra faire des choix : on ne traitera que les groupes
de Lie compacts dont la théorie des représentations est décrite par le
théorème de Peter-Weyl (cours de P. Levy-Bruhl) et on abordera les
groupes de Lie réductifs et concentrera nos efforts sur le cas particulier
du groupe SL(2, R) (cours de M. Pevzner).
Illustrons enfin, par des exemples classiques d’analyse et de la théorie
des nombres, cette philosophie de décomposition d’une représentation
donnée en composantes irréductibles.
1. La théorie des représentations des groupes a pris son essor avec
les travaux de Georg Frobenius qui, aux alentours de 1896, a ainsi
généralisé la théorie des caractères des groupes abéliens finis de Heinrich Weber. Mais revenons un siècle en arrière. Au début des années
1770, Joseph Louis Lagrange a écrit un mémoire consacré à l’étude
systématique de l’équation8 de la forme
Ax2 + Bxy + Cy 2 = n,
(∗)
avec A, B, C, n, x, y ∈ Z. De nombreux cas particuliers de cette équation
ont été étudiés par Pierre de Fermat au XVII-ème et plus tard par
Leonhard Euler mais une méthode générale faisait à l’époque défaut.
Lagrange a remarqué que le changement de variables x̃ = ax+by, ỹ =
cx + dy avec a, b, c, d entiers tels que ad − bc = 1 transforme l’équation
(∗) en une autre ( dite équivalente) qui a la même valeur du discriminant B 2 −4AC. Il a prouvé également qu’il n’existait qu’un nombre fini
d’équations non équivalentes correspondantes à une valeur donnée du
discriminant D = B 2 −4AC. Ce nombre, appelé nombre des classes, est
primordial dans cette théorie. Carl Friedrich Gauss a défini une notion
de ”composition” pour les classes d’equivalence d’équations de même
8que
de nos jours on appellerait diophantienne.
8
MASTER 2 RECHERCHE - SEPTEMBRE 2007 - REIMS
discriminant et a montré qu’elles formaient un groupe9. En développant
la théorie des équations diophantiennes dont le nombre des classes est
supérieur à 1, Gauss a été amené à introduire les caractères du groupe
des classes d’équivalence. Or les caractères d’un tel groupe abélien fini,
notons le A, forment eux aussi un groupe (c’est le groupe dual que nous
avons évoqué précédemment). De plus on peut facilement se convaincre
que toute fonction scalaire sur un tel groupe A peut-être représentée
de façon unique comme une combinaisons linéaire de caractères :
X
X
Cχ χ, où Cχ = o(A)−1
f=
f (g)χ(g),
g∈A
b
χ∈A
avec o(A) désignant l’ordre du groupe A.
10
2. Considérons le groupe des rotations du plan G = R/Z et notons V = L2 (R/Z) l’espace des (classes d’équivalence de) fonctions de
carré intégrable au sens de Lebesgue sur le cercle R/Z. Considérons la
représentation R (que l’on appelle régulière) de G dans V définie par :
(R(y)f ) (x) = f (x + y),
∀y ∈ G, f ∈ V.
Cette représentation réductible (montrez-le) ”détermine” l’analyse de
Fourier classique.
b est paramétré par les entiers n ∈ Z de la façon
En effet, l’ensemble G
b on pose E = Eπ = C et
suivante : pour chaque π = πn ∈ G
π(y)v = πn (y)v = e−2πny v,
∀y ∈ G, v ∈ Vπ , n ∈ Z.11
b dans l’espace
D’autre part, le groupe G admet une représentation R
des suites de carré sommable
X
Vb = L2 (Z) = {c = (cn )n∈Z :
|cn |2 < ∞}
n∈Z
9Bien
entendu, Gauss a formulé son résultat différemment, puisque la notion de
groupe n’existait pas encore à son époque, mais lui et Lagrange, tels M. Jourdain
de Molière, utilisaient la notion de groupe sans s’en rendre compte.
10Analogie avec les développements en série de Fourier est évidente et beaucoup
de résultats de la théorie des nombres du XIX-ème siècle peuvent être interprétés
en termes de l’analyse de Fourier sur les groupes abéliens finis. On reviendra aux
séries de Fourier dans l’exemple suivant.
11Vous remarquerez une incohérence des notations : le symbole π apparaı̂t deux
fois, à gauche il désigne une représentation (c’est une tradition due aux nombreux
mathématiciens russes qui ont travaillé dans ce domaine - le mot ”représentation”
en russe commence par la lettre π) et à droite, dans l’exposant de l’exponentielle,
π désigne, bien-sûr, la longueur du cercle de diamètre 1.
GROUPES DE LIE ET LEURS REPRÉSENTATIONS
définie par
³
b
R(y)c
´
n
9
= e2πiny cn .
Cette dernière représentation est somme directe (discrète) de toutes les
représentations unitaires et irréductibles de G :
M
b=
R
πn ,
n∈Z
chacune des πn n’apparaissant qu’une seule fois (décomposition sans
multiplicités).
Mais l’application qui à une fonction f ∈ L2 (G) (i.e. une fonction de
carré intégrable sur R/Z ' [0, 1] est périodique sur R) associe la suite
des ses coefficients de Fourier :
Z
ˆ
f → fn =
f (x)e−2πinx dx,
R/Z
fournit alors un isomorphisme entre V et Vb qui rend les représentations
b équivalentes. De plus cette isomorphisme vérifie la formule de
R et R
Plancherel
Z
X
|f (x)|2 dx =
|fˆn |2 .
R/Z
n∈Z
On a donc décomposé la représentation régulière en composantes
irréductibles ou, en utilisant un langage plus physique et poétique, on a
décomposé une onde (le son produit par une corde vibrante) en somme
des harmoniques.
Dans l’exemple précédent, le groupe en question était à la fois compact est abélien ce qui rendait les choses relativement simples. Regardons ce que se passe si l’on enlève une de ces conditions.
Soit G = R, V = L2 (R) et R la représentation régulière définie par
(R(y)f ) (x) = f (x + y),
∀y ∈ G, f ∈ V.
La formule est la même que dans l’exemple précédent mais la représentation est différente car les objets ont changé.
b = R. Si π =
Dans ce cas le dual unitaire est paramétré par R : R
b alors son espace de représentation Vπ s’identifie avec C et12
πλ ∈ G,
πλ (y)v = e−iλy v,
12On
∀y ∈ G, λ ∈ R, v ∈ Vπ .
l’a déjà mentionné indirectement plusieurs fois, mais rappelons que les
seules représentations irréductibles d’un groupe abélien sont des caractères, i.e. des
représentations dans C. C’est le lemme de Schur qui nous garantie ce résulat !
10
MASTER 2 RECHERCHE - SEPTEMBRE 2007 - REIMS
Soit désormais Vb = L2 (R) muni de la représentation de G définie
par
³
´
b
R(y)φ
(λ) = eiλy φ(λ),
φ ∈ Vb , λ ∈ R.
Dans ce cas là, l’espace Vb est une ”somme directe continue” ou une
intégrale directe de sous-espaces invariants.
Puisque la transformation de Fourier
Z
ˆ
f → f (λ) =
f (x)e−iλx dx, f ∈ Cc∞ (R),
R
se prolonge en un isomorphisme de V sur Vb en vérifiant en même temps
la formule de Plancherel
Z
Z
1
2
|f (x)| dx =
|fˆ(λ)|2 dλ,
2π
R
R
on en déduit que la représentation régulière R de G dans V se décompose,
sans multiplicités, en une intégrale directe de sous-représentations unitaires et irréductibles du groupe R.
Pour comprendre ce qui se passe si l’on abandonne la condition de
commutativité du groupe il faut nécessairement sortir du cadre de
l’analyse de Fourier classique et développer la théorie des représentations des groupes de Lie non-commutatifs, théorie que l’on appelle,
par analogie avec le cas classique, analyse harmonique non-commutative.