Exposé

Mesure Harmonique des Domaines Fractals
Créteil, 19 janvier 2006
Athanasios BATAKIS
Département de Mathématiques
Université d’Orléans
45067 Orléans cedex 2
Tél : 02.38.41.73.15
e-mail : [email protected]
Table des matières
1
Introduction
2
2 Notions fondamentales
2
2.1
La méthode de Perron-Wiener-Brelot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Mesure Harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Outils classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Lien avec les fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Dimension et Analyse Fine de la Mesure Harmonique
11
3.1
Résultats généraux - Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Formalisme Thermodynamique et “Démonstration” du Théorème 3.4 . . . . .
13
4 Etude de la dimension de la mesure harmonique du complémentaire d’un
ensemble de Cantor
17
4.1
Enconcés et Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2
Lemmes Préparatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.3
Démonstration du théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.4
Un ensemble parfait sur lequel le théorème est non-valid . . . . . . . . . . . .
24
4.5
Remarques-Généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1
1
Introduction
Le problème de Dirichlet est habituellement posé de la façon suivante : “Etant donné un
ensemble ouvert Ω ⊂ Rn ∪ {∞} (n ≥ 2) et une fonction f ∈ C(∂Ω, R) trouver -si possibleune fonction h ∈ C 2 (Ω, R) telle que ∆h = 0 et lim h(x) = f (ξ) pour tout ξ ∈ ∂Ω.” Une telle
x→ξ
fonction est appellée solution du problème de Dirichlet classique et est nécessairement unique
par le principe de maximum (théorème 2.2).
Notre premier objectif étant d’introduire la mesure harmonique nous commençerons par
résoudre le problème de Dirichlet dans tous les cas où c’est possible (cela dépend, bien sûr, de
Ω et de la condition au bord f ). L’approche adoptée ici est celle de Perron-Wiener-Brelot qui
s’adapte naturellement à une très large gamme d’opérateurs (opérateurs elliptiques, opérateur
de la chaleur etc.) Elle peut être considérée comme une généralisation de la représentation
intégrale de Poisson à des ouverts autres que les boules de Rn . Ceci nous conduira à la
définition de la mesure harmonique dont on verra un grand nombre de propriétés. Par la
suite on s’intéressera au lien entre cette mesure (qui est portée par le bord de l’ouvert Ω)
et la mesure de Hausdorff dans la dimension de la frontière de Ω. A l’aide des propriétés
précédemment établies nous procéderons à une étude fine de cette mesure et discuterons les
problèmes naturellement posés. En particulier, on s’intéressera à des domaines au bord fractal,
même totalement disconnexe et on mènera jusqu’au terme l’étude pour des cas relativement
simples.
Le contenu est organisé en trois patries. Dans la première nous introduisons quelques outils
fondamentaux de la théorie du potentiel et nous construisons la mesure harmonique, dans la
deuxième partie nous exhibons quelques propriétés-phares de cette mesure pour des domaines
fractals (dimensions, analyse multifractale, application du formalisme thermodynamique) et
enfin dans la troisième nous étudions la mesure harmonique dans un type de domaines de bord
Cantor ; plus précisement, nous cherchons à préciser la taille du plus petit ensemble mesurable
qui porte entièrement cette mesure. A la fin nous proposons une bibliographie non-exhaustive
mais indicative du domaine.
Il est facile de voir que la solution du problème de Dirichlet peut être abordé séparément
pour chaque composante connexe de l’ouvert Ω. De ce fait nous supposons dorenavant que
notre ouvert Ω ⊂ Rn est un domaine.
2
Notions fondamentales
Nous commençons, pour fixer les idées, par la solution du problème de Dirichlet dans le
cadre d’une boule. Si B(x0 , r) est la boule centré en x0 ∈ Rn et de rayon r > 0 on note
K : B(x0 , r) × ∂B(x0 , r) → R le noyau de Poisson de B(x0 , r) donné par
K(y, ξ) =
r n−2 r 2 − ||y − x0 ||2
,
σn
||ξ − y||n
2
où σn est la surface de ∂B(0, 1). Si f est intégrable (ou positive) sur ∂B(x0 , r) pour la mesure
de surface normalisée σ alors on notera, pour x ∈ B(x0 , r)
IP(f )(x) =
Z
K(x, y)f (y)σ(dy).
∂B(x0 ,r)
Lemme-Confié au lecteur 2.1 Remarquons que si f ∈ L1 (∂B(x0 , r), σ) alors la fonction
IP(f )(x) est bien définie pour tout x ∈ B(x0 , r), elle est harmonique dans B(x0 , r) et, de plus,
si ξ ∈ ∂B(x0 , r) on a :
lim inf IP(f )(x) ≥ lim inf f (y).
x→ξ
y→ξ
Plus particulièrement, si f est continue alors IP(f ) sera la solution du problème
de Dirichlet dans B(x0 , r) pour la condition au bord f .
On peut en dégager une première remarque : si l’onR note ω(x, dy, B(x0 , r)) la mesure
K(x, y)σ(dy) alors la solution est donnée par IP(f )(x) = ∂B(x0 ,r) f (y)ω(x, dy, B(x0, r)).
Nous introduisons deux classes de fonctions qui jouent un rôle central dans cette théorie.
Il s’agit des fonction surharmoniques et sousharmoniques.
Définition 2.1
1. Une fonction u : Ω → (−∞, +∞] est dite surhamonique dans Ω si elle
est semi-continue inférieurement (sci) et satisfait l’inégalité de la moyenne :
u(x) ≥
Z
u(ζ)dσ(ζ),
∂B(x,r)
pour tout x ∈ Ω) et toute boule de centre x et de rayon r > 0 dont l’adhérence B(x, r)
est incluse dans Ω.
2. Une fonction s est dite sousharmonique dans Ω si −s est surharmonique.
On notera U (Ω) la classe des fonctions surharmoniques, S(Ω) celle des fonctions sousharmoniques et H(Ω) la classe des fonctions harmoniques dans Ω. Il n’est pas trop difficile de
prouver le suivant :
Lemme-Confié au lecteur 2.2
– Toute fonction h ∈ C 2 (Ω, R) est harmonique si et seulement si elle est surhamonique
et sousharmonique à la fois. [Indication : Utiliser la formule de Green puis différentier
sous le signe de l’intégral]
– Toute suite de fonctions harmoniques localement uniformément bornées admet comme
valeur d’adhérence une fonction harmonique.
– Si u est surharmonique dans Ω et admet son minimum en x ∈ Ω alors elle est constante
(principe de maximum pour les fonctions surharmoniques).
– Théorème 2.2 Si une fonction harmonique h atteint un extremum dans Ω alors elle
est constante.
Nous rappellons également le principe de Harnack pour les fonctions harmoniques.
3
Théorème 2.3 Soit K un compact de Ω. Alors il existe une constante C > 0 telle que pour
tout fonction h > 0 harmonique dans Ω on ait supK h ≤ C inf K h.
La démonstration de ce dernier théorème utilise la représentation de Poisson des fonctions
harmoniques positives d’une boule et sa preuve, comme les autres démonstrations ommises,se
trouve très facilement dans la bibliographie.
Nous supposons dorenavant que notre domaine Ω est Greenien, càd qu’il contient une
fonction surharmonique positive non constante. C’est le cas de tous les domaines de Rn , si
n ≥ 3 et de tout domaine de R2 dont le complémentaire est suffisamment “épais” (par exemple
de dimension de Hausdorff > 0). Cette hypothèse, indispensable pour la suite, implique que
la classe des fonctions surharmoniques (sousharmoniques) est “riche” (cf. ci-dessous).
2.1
La méthode de Perron-Wiener-Brelot.
Soit Ω un domaine Greenien et soit f une fonction de ∂Ω à valeurs dans R. On pose
ΦΩ
f
= u ∈ U (Ω) ; u minorée et lim inf u(x) ≥ f (ξ) pour tout ξ ∈ ∂Ω
x→ξ
et
ΨΩ
f
=
s ∈ S(Ω) ; s majorée et lim sup s(x) ≤ f (ξ) pour tout ξ ∈ ∂Ω .
x→ξ
Notons au passage que ces ensembles sont non vides car ils contiennent les fonctions +∞ et
−∞ respectivement.
Ω
Définition 2.4 On définit les fonctions H f et H Ω
f (x) à valeurs dans R comme suit :
Ω
Ω
Ω
H f (x) = inf u(x) ; u ∈ ΦΩ
et
H
(x)
=
sup
s(x)
;
s
∈
Ψ
f
f
f .
Remarque 2.5 Par le principe de maximum pour les fonctions surharmoniques ci-dessus on
obtient :
Ω
Hf ≥ HΩ
f.
Ω
On voit facilement que H f = −H Ω
−f (x).
Le résultat suivant est un peu plus délicat.
Ω
Théorème 2.6 Les fonctions H f et H Ω
f sont identiquement +∞, −∞ ou bien harmoniques.
Nous donnons une idée de la démonstration du théorème et nous laissons la vérification des
détails au lecteur.
4
Démonstration Remarquons d’abord que si u, v ∈ ΦΩ
f alors la fonction u ∧ v appartient
Ω
aussi à ΦΩ
f . De plus, si u ∈ Φf et B(x, r) ⊂ Ω alors la fonction û qui vaut u sur Ω \ B(x, r) et
IP(u|∂B(x,r) ) dans B(x, r) fait également partie de ΦΩ
f . On en déduit que l’on peut se restreindre
au cas où les fonctions de ΦΩ
f sont harmoniques dans B(x, r) et minorées. Par un argument
diagonal on peut même trouver une suite de ces fonctions dont les valeurs sont décroissantes
sur un ensemble dénombrable dense. En utilisant la densité et le principe de Harnack on en
déduit que la limite de cette suite sera une fonction harmonique sur B(x, r), ce qui prouve
Ω
que H f est infinie ou bien harmonique. •
Ω
Si les deux fonctions coı̈ncident et sont finies (donc harmoniques) on note HfΩ = H f = H Ω
f
la solution généralisée du problème de Dirichlet dans Ω pour la fonction frontière f .
Ω
La classe des fonctions f : ∂Ω → R telles que H f = H Ω
f et sont harmoniques est notée R(Ω)
et sa sous-collection des fonctions bornées est notée R∞ (Ω).
Lemme-Confié au lecteur 2.3 L’espace R∞ (Ω) muni de la norme ||f || = sup∂Ω |f | est un
espace de Banach.
Le théorème suivant est une conséquence de ce qui précède.
Théorème 2.7 L’ensemble R∞ (Ω) est un sous-espace vectoriel complet de l’espace des fonctions bornées à valeurs dans R. De plus, pour x ∈ Ω, l’opérateur H : R ∞ (Ω) → R qui associe
à f la valeur HfΩ (x) est linéaire sur R∞ (Ω).
Le cas des fonctions continues est un peu délicat (sans être très difficile) et nécessite
l’utilisation de la fonction de Green. On retiendra l’inclusion suivante (qui sera admise) dont
la preuve utilise de façon incontournable que Ω est un domaine Greenien.
C(Ω, R) ⊂ R(Ω).
Lemme-Confié au lecteur 2.4 Soit x ∈ Ω. L’application H : C(Ω, R)∩R∞ (Ω) → R définie
ci-dessus est un opérateur linéaire positif et borné (de norme 1).
2.2
Mesure Harmonique
D’après le lemme 2.4, H est un fonctionnel linéaire positif et borné sur C(Ω, R) ∩ R∞ (Ω).
Par le théorème de représentation de Riesz il existe une mesure de probabilité ωx telle que
pour toute fonction f : ∂Ω → R, continue et bornée
Z
Ω
Hf (x) =
f (t)ωx (dt)
(1)
∂Ω
Définition 2.8 La mesure ωx est appelée la mesure harmonique de Ω évaluée en x. Nous
notons ωx (.) = ω(x, ., Ω), ou même ω(x, .) quand il n’y a pas d’ambiguité sur le domaine.
5
Lemme-Confié au lecteur 2.5 Si F est un sous-ensemble mesurable de ∂Ω alors la fonction
u(x) = ω(x, F, Ω) est harmonique, 0 ≤ u ≤ 1.
Nous en déduisons, à l’aide du principe de maximum, que si F est un sous-ensemble de ∂Ω
mesurable alors ou bien ω(x, F, Ω) > 0 pour tout x ∈ Ω, ou bien ω(x, F, Ω) = 0 pour tout
x ∈ Ω. En réalité, par le principe de Harnack, la mesure harmonique d’un domaine Ω évaluée
en un point x ∈ Ω est fortement équivalente à la mesure harmonique de Ω évaluée en y, pour
tout y ∈ Ω, c.à.d. pour tout x, y ∈ Ω il existe ue constante C > 0 telle que pour tout F ⊂ ∂Ω
mesurable, ω(x, F, Ω) ≤ Cω(y, F, Ω).
Remarque 2.9 Si F ⊂ ∂Ω est un ensemble mesurable tel que ω(x, F, Ω) = 1 pour un x ∈ Ω,
il en est de même pour tout x ∈ Ω.
Il est facile de voir que les fonctions harmoniques est un invariant conforme. En utilisant le
théorème suivant (cf. [Pom92]) on peut également décrire la mesure harmonique d’un domaine
simplement connexe du plan Ω en termes de l’application conforme qui envoie B(0, 1) sur Ω.
Théorème 2.10 Si Φ est une application conforme qui envoie B(0, 1) sur un domaine simplement connexe Ω de bord localement connexe, alors Φ est continuement prolongeable sur le
bord S(0, 1) du disque unité (et sa restriction sur S(0, 1) est un homéomorphisme des deux
frontières).
Le cas des domaines simplement connexes du plan prend une place particulière dans la
théorie que nous développons ici, puisqu’il est attaqué par des outils d’analyse complexe.
Remarque 2.11 Soit Ω un domaine de Jordan du plan et soit ω(x, ., Ω) sa mesure harmonique évaluée en x ∈ Ω. Soit φ une application conforme qui envoie le domaine Ω sur la boule
unité B(0, 1) que l’on sait continuement prolongeable jusqu’au bord de Ω. La mesure ω(x, ., Ω)
est alors la préimage par φ de la mesure harmonique de la boule évalué en φ(x). La mesure
harmonique de la boule ω(x, ., B(0, 1)) est équivalente à la mesure de Lebesgue σ pour tout
x ∈ B(0, 1).
Plus généralement, si Ω est simplement connexe (sans hypothèse supplémentaire) l’application conforme φ qui envoie B(0, 1) sur Ω est dσ-presque partout prolongeable nontangentielement sur la frontière de B d’après le théorème de Fatou et la définition de la mesure
harmonique peut être donnée de la même façon (l’image par φ de la mesure de Lebesgue du
cercle).
Remarque 2.12 Il existe une inteprétation probabiliste, due à Doob (cf. [Doo84]) et dont
la justification ne peut pas tenir en quelques lignes, de la mesure harmonique : C’est la
distribution de sortie de Ω du mouvement Brownien partant du point de référence x, fig. 1.
Ce point de vue nous permet une plus grande intuition même s’il est généralement peu utilisé
pour les démonstrations.
6
Touché !
Ω
• x
Touché !
Fig. 1 – La distribution de sortie du mouvement Brownien partant de x est la mesure harmonique ω(x, d., Ω)
2.3
Outils classiques
Nous proposons une liste non-exhaustive (loin s’en faut) des propriétés connues de la
mesure harmonique et quelques résultats concernant les fonctions harmoniques positives dont
nous aurons besoin dans la suite. La proposition suivante est due a M. Brelot. Elle permet de
comparer les mesures harmoniques de deux domaines dont l’un est inclus dans l’autre avec
une partie de bord commune.
Proposition 2.13 Soit Ω0 ⊂ Ω et F ⊂ ∂Ω ∩ ∂Ω0 . Alors si f est une fonction de R(Ω),
positive et nulle en déhors de F , on a
0
0
Ω
HfΩ·χ∂Ω0 = HfΩ − HH
Ω ·χ
f
∂Ω0
.
0
Ceci montre, en particulier, que HfΩχ∂Ω0 ≤ HfΩ . Le corollaire immédiat, en termes de mesures
harmoniques, est que si Ω0 ⊂ Ω et F ⊂ ∂Ω ∩ ∂Ω0 alors
ω(x, F, Ω0 ) ≤ ω(x, F, Ω).
Cette propriété sera appellée “monotonie de la mesure harmonique”.
Les fonctions intégrables pour la mesure ω sont précisément les fonctions de R(Ω) (cf.
[Bre69]) comme le montre le résultat suivant.
7
Théorème 2.14 Soit f : ∂Ω → R une fonction intégrable par rapport à ω x pour un x ∈ Ω
(et donc pour tout x ∈ Ω). Alors, la solution généralisée H fΩ du problème de Dirichlet dans
Ω pour f existe et est donnée par
Z
Ω
Hf (x) =
f (t)ωx (dt)
(2)
∂Ω
pour tout x ∈ Ω.
Toute fonction harmonique bornée de Ω ne provient pas nécessairement d’une fonction
bornée au bord. Les domaines pour les quels les fonctions harmoniques bornées sont en 1-1
correspondance avec L∞ (∂(Ω)) (comme c’est le cas par exemple pour B(0, 1)), sont appellés
domaines de Poisson.
De même, il n’est pas vrai que si f ∈ C(∂Ω) alors HfΩ se prolonge continuement au bord
par f sauf si la frontière de Ω est régulière (par ex. de classe C 1+ ).
2.4
Lien avec les fractals
Le résultat suivant sera très utile dans la suite. Il nous permettra de comparer la mesure
harmonique de deux ensembles voisins bien “cachés” dans la frontière d’un domaine. Il a été
démontré et utilisé par Carleson dans [Car85], puis amélioré par Makarov et Volberg dans
[MV86]. C’est ce résultat qui met en valeur la particularité des ensembles fractals par rapport
aux domaines à bord lisse. Nous proposons une preuve en suivant l’approche de [MV86].
Théorème 2.15 (Carleson [Car85], Makarov-Volberg [MV86]) Soit Ω un domaine contenant
∞, et soient A1 ⊂ B1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ Bn des disques conformes tels que Bi \ Ai ⊂ Ω,
i = 1, ..., n. Si les modules des anneaux Bi \ Ai sont minorés par une constante c > 0 et si
∞ ∈ Ω \ Bn , alors il existe deux constantes C, q avec q < 1, ne dépendant que de c, telles que
pour toute paire de fonctions harmoniques positives u, v s’annulant sur ∂Ω \ A 1 et pour tout
x ∈ Ω \ Bn nous ayons :
u(x) u(∞)
n
(3)
v(x) : v(∞) − 1 < Cq
Démonstration Soient B1 \ A1 , ..., Bn \ An les anneaux introduits dans le théorème et soient
u, v deux fonctions harmoniques positives s’annulant sur ∂Ω\A1 . Considérons les applications
conformes qui envoient les anneaux Bi \Ai sur les anneaux Di = {z ∈ R2 ; 1 < |z| < 1+ci }. Par
hypothèse, ci ≥ c pour tout i = 1, ..., n. Soient γi1 les images inverses de {z ∈ R2 ; |z| = 1 + 3c }
}, pour i = 1, ..., n. Notons
et γi2 celles de {z ∈ R2 ; |z| < 1 + 2c
3
Mij = max{
u(z)
u(z)
; z ∈ γij } , mji = min{
; z ∈ γij }
v(z)
v(z)
Qji =
Mij
mji
j = 1, 2 , i = 1, ..., n
et
(4)
Par les inégalités de Harnack, pour tout 1 ≤ i ≤ n et j = 1, 2, Qji ≤ c1 , où c1 est une constante
qui ne dépend que de c.
8
Montrons, d’abord, qu’il existe un δ > 0 tel que
Q2i ≤ Q1i 1 − δ(Q1i − 1)
(5)
Fixons i ∈ {1, ..., n} et considérons la composante connexe U de Ω \ γi1 contenant ∞. Soit µ
la mesure harmonique de U . Les fonctions u et v vérifient alors,
Z
Z
v(x)µ(z, dx) ,
u(x)µ(z, dx)
v(z) =
u(z) =
γi1
γi1
pour z ∈ U par le principe de maximum pour les fonctions harmoniques. Or, sur γi1 par (4),
nous avons m1i v(x) ≤ u(x) ≤ Mi1 v(x).
Soient F = {x ∈ γi1 ; u(x) ≥
Alors, pour z ∈ γi2 , nous avons
u(z) =
Z
u(x)µ(z, dx) +
F
≤
Mi1
Z
Z
m1i + Mi1
m1 + Mi1
v(x)} et E = {x ∈ γi1 ; u(x) < i
v(x)}.
2
2
u(x)µ(z, dx) ≤
E
v(x)µ(z, dx) +
γi1
Z
F
Mi1 v(x)µ(z, dx)
m1i + Mi1
− Mi1
2
Z
+
Z
E
m1i + Mi1
v(x)µ(z, dx)
2
v(x)µ(z, dx)
(6)
E
Or, par le principe de Harnack appliqué au domaine Di , il existe une constante c2 > 0 telle
1
que
sup v(ζ) ≤ v(x) ≤ sup v(ζ), pour tout x ∈ γi1 . De cette remarque et de (6) nous
c2 ζ∈γi2
ζ∈γi2
déduisons
u(z) ≤ v(z)
Mi1
m1 − Mi1
+ c2 µ(z, E) i
2
(7)
M 1 − m1i
µ(z, F )
+ c2 i
2
(8)
De la même façon nous obtenons
u(z) ≥ v(z)
m1i
Par ailleurs µ(F ) + µ(E) = µ(γi1 ) et µ(γi1 ) est minorée par la mesure harmonique de γi1 dans
Di , c’est-à-dire minorée par une constante c3 qui ne dépend que de la constante c. Donc,
c3
c3
ou µ(z, E) ≥
. Or, encore par le principe de Harnack appliqué
ou bien µ(z, F ) ≥
2
2
au domaine Ω \ γi1 , il existe une constante c4 telle que pour tout ensemble S ⊂ γi1 nous
ayons c−1
inf 2 µ(z 0 , S) ≤ µ(z, S) ≤ c4 sup µ(z 0 , S). Donc la mesure harmonique d’un de deux
4
z 0 ∈γi
z 0 ∈γi2
ensembles E et F est uniformément minorée. Par les relations (7) et (8) nous obtenons qu’alors
il existe > 0 tel que : ou bien Mi2 < M1i (1 − ) ou bien m2i > mi1 (1 + ). Or, par le principe
de maximum, Mi1 ≥ Mi2 et m1i ≤ m2i . La relation (5) s’en déduit.
Montrons maintenant le théorème. Pour z ∈ Ω \ Bn nous avons
u(x) u(∞)
1
≤
:
≤ Q2n
2
Qn
v(x) v(∞)
9
(9)
Remarquons que par le principe de maximum, Q11 ≥ Q21 ≥ Q12 ≥ ... ≥ Q1n ≥ Q2n . En utilisant
ceci et l’equation (5) nous obtenons que pour tout i = 1, ..., n
Q2n −1 ≤ (1−δ)(Q1n −1) ≤ (1−δ)(Q2n−1 −1) ≤ (1−δ)2 (Q1n−1 −1) ≤ ... ≤ (1−δ)n (Q11 −1) (10)
La constante K sera donc Q11 ≤ c1 et q = max{1 − δ,
1
}. •
1−δ
Le théorème précédent est destiné aux domaines dont le bord est un ensemble de Cantor
(compact, autosimilaire et totalement disconnexe). Cependant, une version adapté aux domaines fractals à bord connexe existe. Sa preuve utilise le principe de Harnack à la frontière
de domaines lipschitziens (cf. [Anc78]).
• x
B3
A3
B2
∂Ω
A2
B1
A1
∂Ω
Fig. 2 – Illustration des hypothèses des lemmes 2.15, 2.16 et 2.17.
On peut en déduire le lemme suivant qui est le noyau de toute la théorie développée ici.
Lemme 2.16 Soit Ω ⊂ Ω̃ deux domaines contenant ∞, et soient A1 ⊂ B1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂
Bn des disques conformes tels que Bi \ Ai ⊂ Ω, i = 1, ..., n. Si les modules des anneaux Bi \ Ai
sont minorés par une constante c > 0 et si ∞ ∈ Ω \ Bn , alors il existe deux constantes C, q
avec q < 1, ne dépendant que de c, telles que pour tous E ⊂ ∂Ω ∩ ∂ Ω̃ ∩ A1 et tout x ∈ Ω \ Bn
nous ayons :
ω(x, E, Ω) ω(∞, E, Ω)
< Cq n
:
−
1
(11)
ω(x, E, Ω̃) ω(∞, E, Ω̃)
10
Un autre corollaire du lemme 2.15 est le suivant :
Lemme 2.17 Soit Ω ⊂ Ω̃ deux domaines contenant ∞, et soient A1 ⊂ B1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂
An ⊂ Bn des disques conformes tels que Bi \ Ai ⊂ Ω, i = 1, ..., n. Si les modules des anneaux
Bi \ Ai sont minorés par une constante c > 0 et si ∞ ∈ Ω \ Bn , alors il existe deux constantes
C, q avec q < 1, ne dépendant que de c, telles que pour tous E, F ⊂ ∂Ω ∩ ∂ Ω̃ ∩ A1 et tout
x ∈ Ω \ Bn nous ayons :
ω(x, E, Ω) ω(∞, E, Ω)
n
(12)
ω(x, F, Ω̃) : ω(∞, F, Ω̃) − 1 < Cq ,
sous l’hypothèse évidente de positivité de la mesure harmonique de F dans Ω̃.
3
Dimension et Analyse Fine de la Mesure Harmonique
Nous exposons les résultats établis depuis 1980 et les problèmes ouverts. Le cas des domaines du plan étant particulier et plus développé dans la littérature nous y consacrerons la
première partie de cette section.
3.1
Résultats généraux - Problématique
Le lien entre la mesure harmonique et la mesure de Hausdorff pour les domaines simplement connexes du plan est résolue par Makarov dans [Mak85] modulo l’amélioration suivante
due à Pommerenke ([Pom86]) :
Théorème 3.1 ([Pom86], corollaire 2) Soit Ω ⊂ R2 un domaine simplement connexe et soit
ω sa mesure harmonique. Il existe une partition de ∂Ω, ∂Ω = E0 ∪ E1 ∪ E2 avec les propriétés
suivantes :
1) H1 (E0 ) = 0
2) la mesure ω est équivalente à H1 sur E1
3) E1 est de mesure H1 σ-finie, et ∂Ω a une tangente en tout point de E1
4) ω(E2 ) = 0
Rappelons-nous qu’un ensemble compact irrégulier au sens de Besicovitch n’a pas de tangentes H1 -presque surement ; on en déduit le résultat suivant.
Corollaire 3.2 Soient E un ensemble compact irrégulier au sens de Besicovitch, Ω un domaine simplement connexe tel que E ⊂ ∂Ω et soit ω la mesure harmonique de Ω. Alors, ω
est singulière à H1 sur E.
Une généralisation de ses résultats est due à Peter Jones sous la condition -portant sur la
frontière de Ω- d’une “épaisseur” uniforme.
Le célèbre travail de Makarov [Mak85] est d’une remarquable précision. Il trouve deux
p
p
fonctions φ1 (t) = t exp{c1 log t−1 log log log t−1 } et φ2 (t) = t exp{c2 log t−1 log log log t−1 }
(où c1 et c2 sont deux constantes positives) vérifiant :
11
i) la mesure harmonique de tout domaine simplement connexe est absolument continue
par rapport à la mesure de Hausdorff généralisée Hφ1 sur ∂Ω, et
ii) la mesure de Hausdorff généralisée Hφ2 est absolument continue par rapport à la mesure
harmonique sur ∂Ω de tout domaine Ω simplement connexe.
On peut, en particulier, en extraire le corollaire suivant :
Théorème 3.3 Si Ω 6= R2 est un domaine simplement connexe dans le plan et ω sa mesure
harmonique alors il existe un sous-ensemble F ⊂ ∂Ω tel que dimH F = 1 et ω(x, F, Ω) = 1,
pour tout x ∈ Ω. De plus tout ensemble E ⊂ ∂Ω de dimension strictement inférieure à 1 n’est
pas chargé par ω.
Rappellons que si Ω est un domaine de Rn , la classe des sous-ensembles mesurables F ⊂ ∂Ω
tels que ω(x, F, Ω) = 1 ne dépend pas de x ∈ Ω, d’après la remarque 2.9. Si l’on définit
dim∗ (ω) = inf {dimH E ω(x, E, Ω) > 0} et dim∗ (ω) = inf {dimH E ω(x, E, Ω) = 1} il est
clair que dim∗ (ω) et dim∗ (ω) ne dépendent pas de x ∈ Ω. Si ces deux quantités coı̈ncident,
on écrit simplement dim ω. Maintenant, on peut on peut reécrire le théorème 3.3 : “Si Ω est
un domaine simplement connexe dans le plan et ω sa mesure harmonique alors
dim ω = 1”.
Cette affirmation répondait partiellement à une conjecture de Øksendal [Øks81] : La mesure harmonique de tout domaine de R2 est portée par un ensemble de dimension inférieur
ou égale à 1.
Nous pouvons re-écrire la conjecture d’ Øksendal sous la forme suivante : “la dimension
dim∗ de la mesure harmonique des domaines de R2 est toujours inférieure ou égale à 1”. Le
premier résultat lié à la conjecture a été celui de Carleson [Car85]. Il a montré que pour certains
ensembles de Cantor de R2 la dimension de la mesure harmonique de leur complémentaire est
strictement inférieure à 1 et que pour des ensmebls simplement connxes dont le bord est une
courbe de Van-Koch (“snowflake”) généralisée la dimension de la mesure harmonique vaut
1. Sa méthode fait appel aux outils de la théorie ergodique, et implique une estimation de
l’entropie de la mesure harmonique.
P. Jones et T. Wolff [JW88] ont montré que la dimension de la mesure harmonique de
tout domaine de R2 est inférieure ou égale à 1. T. Wolff [Wol93] a ensuite montré que dans le
plan la mesure harmonique est toujours portée par un ensemble de mesure H1 σ-finie.
En dimension supérieure la situation est différente. J. Bourgain [Bou87] a montré que la
dimension de la mesure harmonique dans les domaines de Rd , d > 2 est inférieure à d − (d),
où (d) est une constante qui ne dépend que de la dimension de l’espace, d. En même temps,
T. Wolff [Wol95] a donné l’exemple d’un domaine de R3 dont la mesure harmonique est de
dimension strictement supérieur à 2. La meileure constante (d) du théorème de Bourgain
reste à préciser.
Cependant et malgré ces avancées, les résultats de L. Carleson ont leur propre intérêt,
surtout à cause de la astucieuse technique utilisée. N. Makarov et A. Volberg dans un preprint
joint [MV86] ont exploité la méthode de Carleson et ont obtenu que la dimension de la mesure
harmonique du complémentaire de certains ensembles de Cantor est strictement inférieure à
la dimension de Hausdorff de l’ensemble de Cantor, dans le cadre bidimensionnel. Ensuite A.
Volberg [Vol92], [Vol93] étendra ces résultats pour la mesure harmonique d’ensembles limites
de systèmes de fonctions itérées (conformes, affines).
12
D’autres comparaisons de la mesure harmonique avec la mesure d’entropie maximale dans
le cadre de fractals issus d’itération de fonctions conformes peuvent être trouvés dans [BPV97],
[LV95]. Urbanski et Zdunik [UZ00] ont, plus récemment, considérablement étendu la classe
des ensembles fractals traités par Volberg.
La validité du formalisme multifractal pour la mesure harmonique du complémentaire d’ensembles autosimilaires peut être déduite d’un résultat de Y. Heurteaux. En effet, cf. [Heu98],
toute mesure quasi-Bernoulli satisfait ce formalisme. Or, d’après 2.15, la mesure harmonique
du complémentaire d’ensembles de Cantor autosimilaires est quasi-Bernoulli et donc satisfait
au formalisme multifractal. Par ailleurs, une étude multifractale de la mesure harmonique
d’ensembles simplement connexes et d’ensembles de Julia de fonctions polynomiales est proposée dans [Mak99], [BMS03]. Pour les ensembles limites de repulseurs conformes on peut
citer le théorème suivant dont la preuve est essentiellement due à N. Makarov et A. Volberg
(cf. [MV86]).
Théorème 3.4 La mesure harmonique ω du complémentaire d’un ensemble de Cantor K
conforme ou autosimilaire satisfait
1. Les spectres de Hausdorff, de packing et de boı̂te de la mesure ω coı̈ncident. Il s’agit
d’une fonction concave f dont le support est un intervalle compact S ⊂ (0, +∞). De
plus, pour α ∈ S,
ω(B(z, δ))
f (α) = dimH z ∈ K ; lim
=α .
δ→0
log δ
2. La fonction τ une fonction réelle analytique dont la transformée de Legendre vaut f :
déf
f (α) = L(τ )(α) = inf [tα − τ (t)] .
t∈R
3. Soit −π la fonction inverse de τ . Ou bien π 00 (t) > 0 pour tout t ∈ R, ou bien π est une
fonction linéaire. Dans le premier cas dim ω < dimH K et dans le deuxième (conjecturé
impossible) ω est équivalente à Ht∗ , où t∗ est le premier zéro de π.
Nous allons donner les idées de la preuve du théorème ci-dessus, voir aussi [Mak99]. Pour
cela nous aurons besoin de quelques éléments du formalisme thermodynamique que nous
rappelons sans preuve.
3.2
Formalisme Thermodynamique et “Démonstration” du Théorème 3.4
Nous nous plaçons sur l’espace symbolique Σ = {0, 1}N muni de l’opérateur de décalage
T . Dans cette section les mesures µ seront des mesures boréliennes satisfaisant µ(A) = 0 ⇒
µ(T A) = 0, pour tout A ⊂ Σ mesurable (on dit que la mesure est invariante par T si
µ(A) = µ(T −1 A)). Pour une fonction Φ définie sur Σ on note Sn (Φ) = Φ + Φ ◦ T + ... + Φ ◦ T n .
dµ ◦ T
Si µ ◦ T << µ on note Jµ (x = x1 ...xn ...) la densité
, définie µ-presque partout et
dµ
appelée la matrice jacobienne de µ :
Jµ (x1 ...xn ....) = lim
n→∞
13
µ(x2 ....xn )
.
µ(x1 ...xn )
Remarque 3.5 Si la mesure µ satisfait :
µ(XY Z) µ(Y Z)
≤ Cq |Y |
:
−
1
µ(XY )
µ(Y )
(13)
pour tous cylindres X, Y, Z, alors on obtient immédiatement que − log Jµ est bien définie et
X
S
−
log
J
)(x
n
µ
est Hölderienne. De plus, µ(X) est équivalent à e
, xX ∈ X étant un point
arbitraire de X.
La condition (13) est, en particulier, satisfaite par la mesure harmonique du complémentaire de tout ensemble de Cantor conforme (pour montrer cette affirmation il suffit d’appliquer le lemme 2.17).
On considère l’opérateur positif linéaire (Perron-Frobenius-Ruelle) LΦ : C(Σ) → C(Σ)
donné par
X
LΦ f (x) =
f (y)eΦ(y)
T y=x
En supposant que Φ est α-Hölderienne, cet opérateur est un endomorphisme continu sur
l’espace de Banach Hα des fonctions α-Hölderiennes (on muni Hα de sa norme habituelle,
|f (x) − f (y)|
). De plus, son rayon spectral λΦ est atteint par une valeur
||f ||α = ||f ||∞ + sup
d(x, y)α
x,y
propre simple et isolée λ = ePΦ , où
Φ
X
1
X
log
eSn (Φ)(x )
n→∞ n
PΦ = lim
|X|=n
et xX ∈ X est un point arbitraire de X. On notera hΦ tout vecteur propre associé
On considère aussi l’opérateur adjoint L∗Φ : M → M qui agit sur les mesures finies. Par
le théorème de Schauder il possède au moins une valeur propre λ et un vecteur propre ν qui
satisfait -nécessairement- ν ◦ T << ν. Par conséquent la matrice jacobienne de cette mesure
est bien définie et on voit aisément qu’elle vérifiera Jν = λe−Φ . On en déduit que
X
ν(X) ≈ λn eSn (−Φ) (x ) ,
xX ∈ X étant un point arbitraire de X, n = |X| et donc λ = λΦ . On notera νΦ tout vecteur
propre associé.
IlR existe un vecteur propre νΦ mesure de probabilités et on peut choisir hΦ > 0 de sorte
que hΦ dνΦ = 1 (cf. [Zin97]). La mesure µ = µΦ = hΦ νΦ (mesure de Gibbs pour le potentiel
Φ) est alors l’unique mesure T -invariante, ergodique et satisfait
X
µ(X) ≈ e−nP (Φ) eSn (−Φ) (x ) ,
(14)
quelque soit n = |X|, X et xX ∈ X. La dimension de Hausdorff de µ coı̈ncide avec son
− log µ(x1 ...xn )
= hµ pour µ-presque tout x = x1 ...xn ... ∈ Σ. On montre
entropie hµ : lim
n→∞
n
facilement de ce qui précède
log Jµ = P (Φ) − Φ + log h ◦ T − log h, µ-presque partout
14
(15)
et donc
P (Φ) = hµ +
Z
Φdµ
(16)
Revenons aux ensembles de Cantor conformes et aux courbes autosimilaires : chacun
de ses ensembles est naturellement associé à un alphabet et on peut parler de ”cylindres”
pour les composantes de la n-ème génération de la construction de l’ensemble. Nous allons
considérer la mesure harmonique ω et nous remplacerons dans ce qui précède Φ par sΘ + tΨ,
où Θ = − log Jω et Ψ = − log |F 0 |, F étant l’application ”expansive” du Cantor qui envoie
chacun des ”cylindres” de la première génération sur l’ouvert du départ (par exemple, pour
le Cantor triadique standard F 0 = 3) ; La fonction Ψ tient compte de la géométrie de notre
ensemble tandis que Θ est essentiellement définie sur l’ensemble limite d’un arbre. Observons
au passage que la mesure harmonique vérifie ω ◦ T << ω par la relation (13).
Remarque 3.6 Le lemme 2.17 et son corollaire, la relation (13), sont fondamentaux dans
la preuve qui suit. En effet, il existe des domaines de Fatou de fonctions polynômiales
(non-uniformément hyperboliques mais sous-hyperboliques) pour lesquels la fonction τ n’est
pas réelle analytique et même pas partout dérivable (e.g. [BMS03], [MS96], [MS03] et leurs
réferences).
Démonstration heuristique du théorème 3.4
X
X
Remarquons d’abord que ω(X) ≈ eSn Θ(x ) et que eSn Ψ(x ) ≈ diam(X), quelque soit
n = |X|, X et xX ∈ X (la preuve est assez classique même si elle ne tient pas en deux
lignes).
On définit la pression de sΘ+tΨ, p(s, t) = P (sΘ+tΨ). Il est immédiat que p est convexe et
décroissante, par rapport à chacune de ses variables, de +∞ à −∞ et on peut vérifier qu’elle
est réelle analytique. Il s’en suit que p(s, t) = 0 définit une fonction s : t 7→ s(t) convexe,
réelle analytique.
Nous montrons que s est égale à la fonction π = −τ −1 (associée au spectre de la dimension
de Hausdorff de la mesure harmonique) ce qui prouvera la deux premières affirmations du
théorème 3.4.
X
Il est facile de vérifier si p(s, t) = 0 alors
ω(X)s(t) diam(X)t ≈ 1 et par conséquent
|X|=n
−1
π(t) ≤ s(t). On notera Ľ(s) = L(−s ) la transformée de Legendre inverse. Pour l’inégalité
réciproque nous montrons d’abord que
f (α) ≥ Ľ(s)(α).
(17)
On en déduit alors, par convexité de s, que Ľ(cc(f ))(α) ≥ s(α) (cc= enveloppe concave) et
donc π(α) ≥ s(α).
Notons µ(s, t) la mesure de Gibbs associée au potentiel sΘ + tΨ et µ(t) = µ(s(t), t)
1
(correspondant au cas p(s, t) = 0). Fixons t et posons α = − 0 . On utilise ensuite la
s (t)
relation (33) pour montrer
Z
hµ(t) = −(sΘ + tΨ)dµ(t),
15
puis en dérivant P par rapport à s et à t on obtient
R
hµ(t)
s(t) Θdµ(t)
t + αs(t) = t + R
=R 0
= dimH µ(t).
Ψdµ(t)
|F |dµ(t)
Remarquons que dans ce qui précède on a utilisé la formule de Maning (dim H µ =
hµ
, χµ
χµ
étant l’exposant de Lyapounov de µ) et la théorie des perturbations pour dériver P .
R
Θdµ(t)
log ω(B(z, r))
= α, pour µ(t)-presque tout point,
=R
Or, par la formule (14), lim
r→0
log r
Ψdµ(t)
ce qui termine la preuve. •
Le résultat suivant donne une autre estimation pour la fonction π = −τ −1 , dans le cadre
de domaines fractales simplement connexes (cf. [JM95]). Pour cela on définira π de façon plus
général (les deux définitions coı̈ncident dans le cas des mesures “gentilles”, par exemple des
quasi-Bernoulli). Si µ est une mesure de probabilités on pose
(
)
X
π(t) = sup q t.q. ∀δ > 0 ∃ δ-packing B ;
diam(B)t µ(B)q ≥ 1
B∈B
et t∗ sera la première racine de π.
Théorème 3.7 Si Ω est un domaine simplement connexe et si t ≤ t∗ on a :
β(t) = π(t) + t − 1,
où β est le spectre de la fonction conforme φ : B(0, 1) → Ω :
R
log ∂B(0,1) |φ0 (rζ)|t dζ
.
β(t) = lim sup
− log(1 − r)
r→1
Un intérêt particulier est récemment porté sur les spectres ”universels”. Il s’agit de spectres
maximaux pour la mesure harmonique quand on parcourt tous les domaines d’une classe
donnée (domaines simplement connexes ou domaines fractals ou dont le bord est un ensemble
de Cantor).
En particulier, les relations des théorèmes précédents sont encore vérifiées par les spectres
universels des domaines simplement connexes à bord compact.
Théorème 3.8 Soit F (α) : R → R est le spectre universel pour la dimension de Hausdorff
de tous les domaines de plan et Fsc le spectre universel de la classe des domaines simplement
connexes, i.e.
Fsc (α) = sup {fΩ (α) ; Ω ⊂ C domaine simplement connexe à bord compact} .
[JM95] : 2 − Fsc (α) 1
2 − F (α), quand α → +∞ et
α
1
[CM94] : Fsc ( + ) ∼ K, quand → 0, où K est une constante universelle, K ≥ 4.
2
16
D’autres majorations et estimations peuvent être trouvées dans [BMS03] et [Mak99].
Cependant il n’est toujours pas établi si les spectres universels F et Fsc coı̈ncident sur
[1, +∞] ou s’ils sont des fonctions dérivables, voir même réelles analytiques.
Théorème 3.9 Le spectre universel F est égal au spectre universel F cc de la classe des domaines dont le bord est un ensemble de Cantor conforme. De même, Fsc est égale au spectre
universel des domaines simplement connexes dont le bord est une courbe de Von Koch.
Ce théorème, établi dans les articles [CJ92] et [Mak99], est fortement lié à [JW88] par les
techniques et par l’objectif (voir ci-dessous). Dans [BMS03] il est prouvé que si l’on considère
le spectre universel FJP de la classe des domaines dont le bord est un ensemble de Julia
disconnexe polynômial, alors FJP ≤ Fsc sur [1, +∞). Il est conjecturé que FJP = Fcc = F =
Fsc pour les valeurs α ≥ 1.
On peut montrer que Fsc (α) ≤ α − c(α − 1)2 , si 0 < α ≤ 2. Il est bien entendu conjecturé
que pour α ∈ [1, 2] on a F (α) ≤ α − c(α − 1)2 ce qui impliquerait et préciserait le résultat de
[JW88].
4
Etude de la dimension de la mesure harmonique du
complémentaire d’un ensemble de Cantor
1
Introduisons les ensembles de Cantor étudiés : Soit a ∈ (0, ]. Nous construisons un
4
ensemble de Cantor de la manière suivante (voir fig. 3) :
Soit I = [0, 1]2 . Dans la première étape de la construction nous remplaçons I par quatre
carrés de longueur a situés aux quatre coins de I. Ensuite, dans une deuxième étape, nous
replaçons chacun de ces carrés par quatre carrés de longueur a2 situés au quatre coins du
carré remplacé. Dans une n-ième étape nous remplaçons chaque carré existant J par quatre
carrés de longueur an situés au quatre coins de J.
Dorénavant les “étapes” seront appelées “générations” et nous noterons les carrés de la
n-ième génération I˜i1 ...in , avec ij ∈ {1, 2, 3, 4}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Les carrés I˜i1 ...in sont contenus
dans le carré I˜i1 ...in−1 , pour tout in = 1, 2, 3, 4, et la numérotation des carrés se fait de la façon
illustrée dans la figure 3. L’ensemble de Cantor K est alors défini par
K=
\
[
I˜i1 ...in .
n∈N i1 ,...in ∈{1,2,3,4}
On notera Iin1 ...in = Ii1 ...in = I˜i1 ...in ∩ K. Si n ∈ N on notera En la collection de cylindres
o
n
Iin1 ...in ; ij = 1, ..., 4, j = 1, ..., n , et si I ∈ En , alors En+s (I) représentera les cylindres J ∈ En+s
contenus dans I. Remarquons que si ω est la mesure harmonique en un point x ∈
/ K du
˜
˜
complémentaire de K, alors ω(x, Ii1 ...in ) = ω(x, Ii1 ...in ), puisque Ii1 ...in \ Ii1 ...in n’intersecte pas
K qui porte ω.
17
1
1
2
2
2
1
3
4
3
4
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
Fig. 3 – Un ensemble de Cantor et le codage de ses carrés-cylindres
Remarquons également qu’il existe c0 > 1 tel que
c0 · I˜i1 ...in ∩ K = Ii1 ...in
(18)
pour tout choix des i1 , ..., in et tout n ∈ N.
Lemme-Confié au lecteur 4.1 En fait, tout 1 < c0 < 2 satisfait (18).
4.1
Enconcés et Compléments
Remarquons que tout ensemble de Cantor défini de cette façon est compact et totalement
discontinu. Enonçons toute de suite le théorème principal de cette section :
1
Théorème 4.1 Soient a ∈ (0, ] et K l’ensemble de Cantor associé, construit ci-dessus. Si
4
Ω = R2 \ K, alors la dimension de la mesure harmonique de Ω est strictement inférieure à la
dimension de l’ensemble K.
Remarquons que si a > 1/4 le théorème de Jones et Wolff [JW88] implique trivialement
la conclusion du théorème.
Notation 4.2 Pour un carré Q, nous notons sa longueur l(Q) et la mesure harmonique du
domaine Ω évaluée à l’infini sera notée simplement ω. Nous écrirons encore a ∼ b s’il existe
deux constantes c, C > 0 indépendentes des paramètres a et b telles que ca ≤ b ≤ Ca.
Nous allons également utiliser le corollaire d’un théorème général de Beardon [Bea65]
suivant, qui affirme que pour estimer la dimension Hausdorff d’un ensemble de Cantor, il
suffit de considérer des recouvrements avec les carrés de la construction du Cantor.
18
Corollaire 4.3 Pour les ensembles de Cantor définis ci-dessus les familles de carrés (F n )n∈N
où
Fn = {Ii1 ...in , (i1 , ..., in ) ∈ {1, ..., 4}n }
pour n ∈ N
sont suffisantes pour le calcul des dimensions de Hausdorff de leurs sous-ensembles.
Finalement nous rappelons un résultat dû à Carleson [Car85] qui procure une formule
utile pour calculer la dimension de la mesure harmonique du complémentaire d’ensembles de
Cantor autosimilaires (dont on ne fera pas usage).
Théorème 4.4 Soit K un ensemble de Cantor comme ci-dessus, défini à partir d’une suite
constante égale à α ∈]0, 41 [. Soit ω la mesure harmonique de son complémentaire évaluée à
l’infini. Alors
X
1
dim ω = 1 − lim
gn (c) ,
n→∞ n| log α|
c∈Cn
S
où gn est la fonction de Green du domaine R2 \ {Ii1 ,...,in , (i1 , ..., in ) ∈ {1, ..., 4}n } et Cn est
l’ensemble des points critiques de gn , n ∈ N.
Nous utiliserons sans démonstration le lemme suivant. Sa preuve est simple mais fait appel
à la notion de capacité que nous n’avons pas voulu aborder.
Lemme 4.5 Il existe δ > 0 indépendent de n et du choix des i1 ...in tel que
ω(x, Ii1 ...in , R2 \ K) ≥ ω(x, Ii1 ...in , c0 I˜i1 ...in \ Ii1 ...in ) > δ,
pour tout x ∈
4.2
(19)
1 + c0 ˜
Ii1 ...in .
2
Lemmes Préparatoires
Nous allons donner une démonstration succincte du théorème 4.1. Dans ce but nous proposons une suite de lemmes (avec leurs preuves). La dimension de la mesure harmonique ne
dépendant pas du point de référence nous pouvons le fixer : dorenavant si le point de référence
n’est pas mentionné il sera supposé comme étant l’infini.
Lemme 4.6 Il existe δ > 0 indépendent de n, tel que pour les cylindres de la nème génération
n
n
I1...11
et I1...14
on ait
n
n
ω(I1...11
) > (1 + δ)ω(I1...14
).
(20)
Nous utiliserons à repétition l’affirmation suivante :
Lemme-Confié au lecteur 4.2 Soient Ω ⊂ Ω̃ deux domaines, ω, ω̃ leurs mesures harmoniques respectives et F ⊂ ∂Ω ∩ ∂ Ω̃. Alors, pour x ∈ Ω ∩ Ω̃,
Z
ω(x, F ) = ω̃(x, F ) −
ω̃(y)ω(x, dy).
(21)
∂Ω∩Ω̃
[Indication : Utiliser la Proposition 2.13]
19
Démonstration Par symétrie
n
n−1
n
n−1
ω(I1...11
, R2 \ I1...1
) = ω(I1...14
, R2 \ I1...1
).
(22)
n−1
n
n
Pour la même raison, si x se trouve sur la diagonale du carré I˜1...1
qui sépare I1...11
et I1...14
il
vient
n
n−1
n
n−1
ω(x, I1...11
, R2 \ I1...1
) = ω(x, I1...14
, R2 \ I1...1
).
(23)
Notons H− le demiplan limité par la droite engendrée par cette diagonale et qui contient
n
I1...14
. Par (19) , la monotonie de la mesure harmonique et les inégalités de Harnack, il existe
c4 > 0 such that
n
n−1
n−1
ω(x, I1...14
, H− \ I1...1
) ≥ c4 , quelque soit x ∈ I1...4
.
(24)
Par le principe de maximum et (23) on obtient
n
n−1
n
n−1
n
n−1
ω(x, I1...14
, H− \ I1...1
) = ω(x, I1...14
, R2 \ I1...1
) − ω(x, I1...11
, R2 \ I1...1
) , for all x ∈ H− .
En combinant avec (24)
n
n−1
n
n−1
n−1
ω(x, I1...14
, R2 \ I1...1
) − ω(x, I1...11
, R2 \ I1...1
) ≥ c4 , pour tout x ∈ I1...4
.
(25)
Les équations (21), (22) et (25) impliquent que
n
n
ω(I1...11
, R2 \ K) − ω(I1...14
, R2 \ K) =
Z
n
2
n−1
n
2
n−1
ω(y, I1...14, R \ I1...1 ) − ω(y, I1...11, R \ I1...1 ) ω(dy, R2 \ K) ≥
n−1
K\I1...1
n−1
c4 ω(I1...4
, R2 \ K).
(26)
(27)
(28)
En utilisant de nouveau le principe de Harnack et (24), on trouve une constante c5 > 0
indépendante de n, vérifiant
n−1
n
ω(I1...4
) ≥ c5 ω(I1...14
).
Ainsi, (26) devient
n
n
n
ω(I1...11
) − ω(I1...14
) ≥ c4 c5 ω(I1...14
)
ce qui termine la preuve du lemme. •
Notation 4.7 On note a ∼ b s’il existe
constante c > 1 indépendente de a et b telle que
a une
b ≤ ca ≤ c2 b. Nous notons a ∼d b si − 1 ∼ d.
b
Lemme 4.8 Si N0 = N0 (δ, A, A) est suffisament grand alors pour tout n ∈ N et tout cylindre
Iin1 ...in ,
δ
0
0
),
(29)
ω(Iin+N
) > (1 + )ω(Iin+N
1 ...in 11...4
1 ...in 11...1
2
où δ est la constante définie dans le lemme 4.6.
20
Démonstration Montrons d’abord que si x ∈
1 + c0 ˜n
Ii1 ...in alors
2
0
0
ω(x, Iin+N
, c0 I˜in1 ...in \ Iin1 ...in ) ∼ ω(x, Iin+N
, R2 \ K).
1 ...in 11...1
1 ...in 11...1
(30)
Soit N ∈ N. On choisit x de sorte que
n
o
1 + c0 ˜n
2
n+N
2
ω(x, Iin+N
,
R
\
K)
=
sup
ω(y,
I
,
R
\
K)
;
y
∈
∂{
I
}
.
i1 ...in
i1 ...in 11...1
1 ...in 11...1
2
Alors,
ω(x, Iin+N
, R2 \ K) ≥ ω(x, Iin+N
c I˜n
\ Iin1 ...in )
1 ...in 11...1
1 ...in 11...1 0 i1 ...in
Z
n+N
2
≥ ω(x, Ii1 ...in 11...1 , R \ K) −
ω(y, Iin+N
, R2 \ K) ω(x, dy, ec0I˜in1 ...in \ Iin1 ...in )
1 ...in 11...1
n
˜
∂{c0 Ii1 ...in }
n
n
2
n
˜
)
ω(x, Iin+N
, R2 \ K)
\
I
,
c
I
≥ ω(x, Iin+N
,
R
\
K)
−
1
−
ω(x,
I
0
i1 ...in
i1 ...in
i1 ...in
1 ...in 11...1
1 ...in 11...1
≥ c1 ω(x, Iin+N
, R2 \ K)
1 ...in 11...1
d’après (21). La relation (30) s’en déduit alors de l’inégalité de Harnack.
0
Bien entendu nous avons la même estimation pour Iin+N
:
1 ...in 11...4
0
0
, c0 I˜in1 ...in \ Iin1 ...in ) ∼ ω(x, Iin+N
ω(x, Iin+N
, R2 \ K).
1 ...in 11...4
1 ...in 11...4
(31)
Pour simplifier la notation on écrira ω1 (x) ω̃1 (x) et ω4 (x) ω̃4 (x) à la place de
n+N0
n
2
n
0
˜
)
\
I
ω(x, Iin+N
,
R
\
K)
ω(x,
I
,
c
I
i1 ...in
i1 ...in 11...1 0 i1 ...in
1 ...in 11...1
et
respectivement.
n+N0
n
n
2
0
˜
)
\
I
,
c
I
,
R
\
K)
ω(x,
I
ω(x, Iin+N
i1 ...in
i1 ...in 11...4 0 i1 ...in
1 ...in 11...4
Par l’équation (3) in lemma 2.15 si z ∈ ∂{
1 + c0 ˜n
Ii1 ...in } on a
2
ω1 (∞)
ω1 (z)
ω1 (y)
∼ q N0
∼ q N0
,
ω4 (∞)
ω4 (z)
ω4 (y)
pour tout y ∈
/ K ∪ c0 I˜in1 ...in .
(32)
L’équation (32) implique alors
ω̃1 (z) ω1 (z)
ω4 (z) ω̃1 (z) ω̃4 (z) ω̃1 (z) ω1 (∞)
ω̃4 (z) : ω4 (∞) − 1 ∼ ω̃4 (z) : ω4 (z) − 1 = ω̃4 (z) ω1 (z) − ω4 (z) =
Z
ω (y) ω (y) ω4 (z)
4
1
−
ω(z, dy, c0 I˜in1 ...in \ Iin1 ...in ) ≤
ω̃4 (z) ∂{c0 I˜in ...i } ω4 (z) ω1 (z)
n
1
Z
1
ω4 (y) ω1 (y) ω4 (y)
ω(z, dy, c0 I˜in ...i \ Iin ...i ) ≤ Cq N0 .
:
−
1
n
n
1
1
c1 ∂{c0 I˜in ...i } ω4 (z) ω1 (z) ω4 (z)
1
n
21
(33)
ω1 (∞)
> 1 + δ. Alors, par (33) il existe N0
ω4 (∞)
3
ω̃1 (z)
ω̃1 (z)
> 1 + δ. D’autre part,
ne dépend pas du choix des
(suffisament grand) tel que
ω̃4 (z)
4
ω̃4 (z)
ω1 (∞)
δ
i1 , ..., in . Il s’en suit
> 1 + pour toute combinaison des i1 , ..., in . •
ω4 (∞)
2
Si i1 = ... = in = 1, le lemme 4.6 implique
Lemme 4.9 Il existe N1 ∈ N ne dépendant pas de n et des i1 ...in tel que tout cylindre Iin1 ...in
1
admette un sous-cylindre Jm = Iin+N
⊂ Iin1 ...in de la (n + N1 )ème génération tel que
1 ...in ...in+N
1
ω(Jm ) <
1 ω(Iin1 ...in )
.
4 4 N1
Démonstration Soit Iin1 ...in un cylidre de K. D’après le lemme 4.9, il existe α < 1 indépendent
0
du choix des i1 , ..., in et il existe J1 = Iin+N
tels que
1 ...in ...in+N
0
ω(Iin1 ...in )
.
ω(J1 ) < α
4 N0
0
De façon similaire, il existe J2 = Iin+2N
⊂ J1 tel que
1 ...in ...in+2N
0
n
ω(J1 )
2 ω(Ii1 ...in )e
ω(J2 ) < α N0 < α
4
42N0
et en itérant k fois, on obtient un carré Jk vérifiant
ω(Jk ) < eαk
ω(Iin1 ...in )
.
4kN0
Pour terminer la démonstration, on prend k = m de sorte que α k < 1/4 et N1 = kN0 . •
Lemme-Confié au lecteur 4.3 On peut remplacer
0...
1
par n’importe quelle constante >
4
Soit ρ a dimension de Hausdorff de l’ensemble de Cantor K dont le rapport de construction
est a.
On a
ρ = sup{s > 0; lim inf 4n ans = ∞} = inf{s > 0; lim inf 4n ans = 0} =
n→∞
n→∞
log 4
.
| log(a)|
On en déduit que si {nj }∞
j=1 est une suite d’entiers positives strictement croissante alors
nj+1
nj ρnj
4 a
=4
nj+1
Y
i=1
On fixe la suite nj = jN1 .
22
aρnj+1 = 1.
(34)
Lemme 4.10 Il existe β < 1 tel que l’inégalité suivante soit valid pour tout I ∈ E nj :
1
X
ω(J) 2 l(J)
ρ
2
ρ
1
≤ β N1 ω(I) 2 l(I) 2 .
(35)
J∈E nj+1 (I)
où nj est la suite fixée ci-dessus.
Démonstration Il suffit de montrer qu’il existe β tel que, si I ∈ En alors
X
J∈E n+N1 (I)
1 1 n
1 1 n+N1
ω(J) 2 ( ) 2 ≤ β̃ω(I) 2 ( ) 2 .
4
4
(36)
Soit Jm ∈ E n+N1 (I) le carrée donné par le lemme 4.9, càd, un carré vérifiant ω(Jm ) <
On en déduit
1 ω(I)
.
4 4 N1
1
1 1 n+N1
1 1 1 n2
2
(
)
ω(I)
ω(Jm ) 2 ( ) 2 ≤
N
4
24 1 4
X
1
1 1 n+N1
1 1 n+N1
ω(J) 2 ( ) 2 ≤ ω(I) 2 (4N1 − 1) 2 ( ) 2
4
4
J∈E n+N1 (I),J6=Jm
par les inégalités de Cauchy-Schwarz. On somme pour obtenir,
X
4N1 − 1 21 1 1 n
1
1 n+N
1 1
2
2
2
≤ ω(I) ( )
ω(J) ( )
+
4
4
2 4 N1
4 N1
1
2
J∈E n+N1 (I)
(37)
4N1 − 1 12
1 1
et il suffit de prendre β =
< 1. •
+
2 4 N1
4 N1
4.3
Démonstration du théorème.
On procède maintenant à la preuve du théorème 4.1. L’approche proposée est inspirée
de celle de [Bou87] mais on aurait pu aborder le problème avec des outils de la théorie des
n
o
grandes déviations. Soient Lj = J ∈ Enj | ω(J) > l(J)ρ− et L0 j = Enj \ Lj , > 0 étant à
choisir ultérieurement et soit {nj } la suite définie plus haut. Il est clair que
X
l(J)ρ− <
J∈Lj
X
ω(J) ≤ 1.
(38)
J∈Lj
D’autre part,
X
J∈
/ Lj
ω(J) =
X
1
1
ω(J) 2 ω(J) 2 ≤
J∈
/ Lj
≤ a−nj β N1
X
1
ω(J) 2 l(J)
J∈E nj
X
J∈E nj−1
23
1
ω(J) 2 l(J)
ρ+
2
ρ+
−
2
d’après la relation (35). En itérant l’argument on obtient
X
ω(J) ≤ β nj a−nj .
J∈
/ Lj
On prend > 0 de sorte que β < a . Il vient immédiatement que
lim
j→∞
X
ω(J) = 0.
(39)
J∈
/ Lj
Il est facile d’utiliser les relations, (38) et (39) pour construire un sous-ensemble mesurable
de K dont la dimension de Hausdorff sera < ρ mais de mesure harmonique égale à 1, ce qui
termine la preuve.
4.4
Un ensemble parfait sur lequel le théorème est non-valid
Nous allons construire un ensemble disconnexe, compact K tel que la mesure harmonique
de son complémentaire ne charge que les ensembles qui ont la même dimension que K. Il
existe une conjecture (dont personne ne reclame la paternité...) qui affirme que la mesure
harmonique du complémentaire de tout ensemble totalement disconnexe et compact K serait
étrangère à la mesure de Hausdorff de K dans sa dimension. Cette conjecture est encore
ouverte. Remarquons au passage qu’elle est conforté par le résultat de Jones qui affirme que,
sous une condition d’épaisseur uniforme de la frontière du domaine, la dimension de la mesure
harmonique est strictement inférieure à 1 (càd non-inclus dans une réunion de courbes lisses).
Pour cela nous montrons d’abord l’affirmation suivante :
Lemme-Confié au lecteur 4.4 On peut montrer que la mesure harmonique ω de l’ensemble
de Cantor K -associé au rapport de dissection a ∈ (0, 12 )- est une mesure quasi Bernoulli.
[Indication : Adapter la relation (32)]
On peut rapidement en déduire que la mesure ω est exacte. Donc tout ensemble mesurable
de dimension < dim∗ ω est de mesure harmonique nulle.
Soit D la dimension de la mesure harmonique de Ω = R2 \ K ; Si F est un sous-ensemble
compact de K tel que ω(F ) > 1/2, sa dimension de Hausdorff est supérieure ou égale à D.
On peut facilement choisir F de sorte que sa dimension soit exactement D.
On peut construire un ensemble parfait de la manière suivante : On part des quatres carrés
de la première étape de la construction de K et à chaque étape de la construction on remplace
chaque carré J qui n’intersect pas F par des carrés de longueur a−M fois la longueur de J,
où M est un entier fixe, M > 1/D et l’on remplace chaque carré J 0 intersectant F par ses
quatres sous-carrés d’origine de longueur a fois celle de J 0 . Soit K0 l’ensemble (évidemment
parfait) construit de cette façon. Observons que K0 ⊂ K by construction and that dim K0 ≤ D
because of the choice of M . Par la monotonie de la mesure harmonique la dimension de la
mesure harmonique de K0 est encore D, ce qui termine la construction.
24
Fig. 4 – D’autres ensembles de type Cantor vérifiant dim K > dim ω
4.5
Remarques-Généralisations
Le comportement précis de la mesure harmonique de K en fonction du rapport de dissection a qui caractérise la construction n’est pas connu. On peut montrer que si f est la fonction
qui associe à a la dimension de la mesure harmonique de K alors cette fonction est continue
sur ]0, 12 [ (voir par. ex. [Bat05] pour une preuve dans un cadre plus général), et même réelle
analytique (mais les outils nécessaires pour ce résultat sont ceux du formalisme thermodyf (a)
= 1 et A. Ancona a montré que
namique). Dans [MV86] les auteurs prouvent que lim
a→0 a
lim f (a) = 1. Cependant on ne sait toujours pas si f est monotone.
a→1/2
La technique que nous avons illustrée est adaptable en dimension supérieure, où presque
tout reste à faire. De même nous pouvons traiter des ensembles issus de systèmes de fonctions
itérées affines (type ensemble de Sierpinski) avec un axe de symétrie (Fig4).
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