train Thomas

LGL
Cours de Mathématiques
2008
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Le train Thomas
Exercice:
Le train Thomas roule vers C en direction de A, lorsqu'il constate que quelqu'un a saboté les rails
entre les points C et B. Sachant que sur la première partie du trajet, il a roulé sur un arc de parabole
passant par C ( −4;2 ) de sommet
A ( −3;1) , il sort rapidement sa V200
et projette en un quart d'heure le
nouveau trajet à construire entre C et
B pour qu'il puisse continuer sans
heurt.
Sachant qu'il s'est servi
polynôme, peux-tu refaire
raisonnement ?
d'un
son
Résolution:
Les deux fonctions existantes sont données par:
1ere partie de trajet
2me partie de trajet
1
1
x+
2
2
1
1
g '( x ) =
g ' (1) =
2
2
f ( x ) = − ( x + 3) + 1
f '( x ) =
f '' ( x ) =
−1
2 −x − 3
−1
4 ( − x − 3)
g ( x) =
1
2
1
f '' ( −4 ) = −
4
f ' ( −4 ) = −
3
2
g '' ( x ) = 0
g '' (1) = 0
Soit p le polynôme de degré minimal recherché
Conditions de raccords sans heurt:
(S )
Raccord en C


Même direction en C


 Sans heurt en C


Raccord en B

 Même direction en B


 Sans heurt en B
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
p ( −4 ) = 2
1
p ' ( −4 ) = −
2
1
p '' ( −4 ) = −
4
p (1) = 1
1
p ' (1) =
2
p '' (1) = 0
6 conditions, donc p est un polynôme de degré 5.
D'où:
p ( x ) = a ⋅ x5 + b ⋅ x 4 + c ⋅ x3 + d ⋅ x 2 + e ⋅ x + f
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Applications des dérivées
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En résolvant le système (S) avec le polynôme p évoqué ci-dessus, on trouve:
a=
−23
25000
b=−
67
5000
c=−
161
5000
d=
931
5000
e=
353
1250
f =
1806
3125
ce qui nous fait le polynôme de raccord:
p ( x) = −
23 5
67 4 161 3 931 2 353
1806
x −
x −
x +
x +
x+
25000
5000
5000
5000
1250
3125
Le raccord Geogebra:
Copies
d'écrans de la V200
Contrôle:
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