La formule quadratique.

La formule quadratique.
Les polynômes de degré deux à une seule variable, f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 , sont appelées
des fonctions quadratiques. Tandis que l’expression
a2 x2 + a1 x + a0 = 0
est appelée une équations quadratique.
• Par exemple, x2 − 1 = 0, −x2 + x + 1 = 0 et y 2 + y = 0 sont toutes des équations
quadratiques.
• Pour trouver les racines d’une fonction quadratique f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 nous
écrivons l’équation quadratique a2 x2 +a1 x+a0 = 0 associée à f (x) et nous solutionnons
l’équation pour x. Les valeurs de x qui satisfont l’équation a2 x2 + a1 x + a0 = 0 sont
appelées les racines de f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 .
• Il existe des méthodes claires et précises, et relativement simples, pour trouver les
racines d’un fonction quadratique, peu importe la fonction que nous avons. Ceci n’est
malheureusement pas le cas pour les polynômes de degré 3 ou plus.
– Pouvoir trouver les racines d’une fonction quadratique est d’une importance telle
que on s’attend à ce que tout étudiant diplômé du niveau secondaire (8ème à 12ème
année de scolarité ) maı̂trise ses techniques de résolution.
• Les deux techniques de résolution d’équations quadratiques les plus utilisées sont la
factorisation et l’utilisation de la formule quadratique.
– Normalement, pour commencer, on tente toujours de factoriser la fonction quadratique comme dans l’exemple qui suit.
∗ Pour résoudre l’équation quadratique x2 + 9x + 14 = 0 on factorise d’abord
la fonction x2 + 9x + 14:
x2 + 9x + 14 = x2 + (2 + 7)x + 2 · 7
= (x + 2)(x + 7)
∗ Donc x2 + 9x + 14 = (x + 2)(x + 7) = 0.
∗ À partir de l’équation (x + 2)(x + 7) = 0 on deduit que soit x + 2 = 0 ou
x + 7 = 0.
∗ Donc soit x = −2 ou x = −7. Les racines de x2 +9x+14 sont donc {−2, −7}.
– Mais il n’est pas toujours facile de factoriser une fonction quadratique. Lorsque
nos tentatives de factorisation échouent nous utilisons ce qu’on appelle la formule
quadratique
1
Développement de la formule quadratique.
• Soit l’équation quadratique ax2 + bx + c = 0
• Nous commençons par la factorisation du coéfficient a:
b
c
ax2 + bx + c = 0 ⇔ a x2 + x +
=0
a
a
b
c
⇔ x2 + x + = 0
a
a
• Ensuite nous éffectuons la complétion du carré . (Voir si nécessaire le fichier Polynômes:
la factorisation de polynômes de degrée 2, pour un exemple de la technique appelée
“complétion du carré .)
b
c
b
c
2
2
x + x+
= x +2
x+
a
a
2a
a
2 2
b
b
b
c
x+
−
+
= x2 + 2
2a
2a
2a
a
"
2 #
2 b
b
4ac
b
= x2 + 2
x+
+ 2−
2a
2a
4a
4a2
b 2 4ac − b2
= x+
+
2a
4a2
• Donc on peut écrire
b
c
ax2 + bx + c = 0 ⇔ x2 + x + = 0
a
a
2
b
4ac − b2
⇔ x+
+
=0
2a
4a2
b 2
4ac − b2
⇔ x+
=−
2a
4a2
2
b
b2 − 4ac
⇔ x+
=
2a
4a2
r
b
b2 − 4ac
⇔ x+
=±
2
2a
√ 4a
2
b
b − 4ac
⇔ x=− ±
2a √
2a
−b ± b2 − 4ac
⇔ x=
2a
2
• On en déduit que
2
ax + bx + c = 0
si et seulement si x =
−b ±
√
b2 − 4ac
.
2a
où le symbol ± signifie “plus ou moins”.
• L’expression
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
s’appelle la formule quadratique.
• La partie de l’expression
b2 − 4ac
s’appelle le discriminant de la fonction ax2 + bx + c.
– Si le discriminant b2 − 4ac est négatif la valeur de x n’est pas un nombre réel
(puisque la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans les nombres
réels.)
– Donc
1. si le discriminant b2 − 4ac < 0, la fonction quadratique n’a pas de racines
réelles.
2. si le discriminant b2 −4ac > 0, la fonction quadratique aura exactement deux
racines réelles.
√
0
= −b
3. si le discriminant b2 − 4ac = 0, les racines sont −b±
2a
2a et donc il y a
de fait une seule racine. (Parfois on peut dire qu’il y a deux racines mais
qu’elles sont identiques.)
Exemple de l’utilisation de la formule quadratique pour trouver les racines d’une fonction
quadratique.
• Trouver les racines de la fonction quadratique f (x) = x2 + 7x + 12 .
– On constate d’abord que a = 1, b = 7 et c = 21 .
– On substitue ces valeurs dans la formule quadratique x =
mémoriser!)
3
√
−b± b2 −4ac
2a
(qu’il faut
– On obtient
x =
=
=
−7 ±
−7 ±
q
√
72 − 4(1)( 12 )
2(1)
49 − 2
2
√
−7 ± 47
2
√
√
– Donc, le discriminant est 47 et x = −7+2 47 ou x = −7−2
n
√
√ o
• Les racines de f (x) = x2 + 7x + 12 sont −7+2 47 , −7−2 47
47
.
n
√
√ o
• À noter que, ayant les racines −7+2 47 , −7−2 47 de la fonction f (x) = x2 + 7x + 21 ,
nous avons en même temps obtenu les facteurs de f (x)
√ !
√ !
1
−7 + 47
−7 − 47
2
f (x) = x + 7x + = x −
x−
2
2
2
puisque si q et r sont des racines de f (x) = (x − q)(x − r),
f (x) = (x − q)(x − r) = 0 si et seulement si x = q ou x = r
.
c Club Pythagore, 2008
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