Représentation de Majorana - Groupe de Physique Statistique

Fermions de Dirac, Weyl, Majorana
Antiparticule et Interprétation des états d’énergie négative
Jeudi 18 octobre 2012
PLAN
1) Le groupe de Lorentz et l’équation de Dirac
- Représentation chirale du groupe de Lorentz
- Chiralité et hélicité
2) Représentations de Dirac, Weyl, Majorana
- La représentation de Dirac
- La conjugaison de charge
- La représentation de Majorana
- Les fermions de Majorana
3) Interprétation des états d’énergie négative
- Interprétation de Dirac et de Stückelberg-Feynman
- L’antiparticule classique : une solution ignorée en
relativité restreinte
1) Le groupe de Lorentz et l’équation de Dirac
Transformation d’espace-temps
Galilée : transf. linéaires qui conservent l’intervalle de temps entre
2 évènements et la distance entre 2 évènements instantanés
Poincaré : transf. linéaires qui conservent l’intervalle d’univers :
4-transl.
3+3 rot. dans l’esp. de Minkowski
Groupe de transformations continues
10 générateurs
(Poincaré)
Rotations dans l’espace de Minkowski
Groupe de Lorentz (isochrone propre)
Espace de Minkowski dim4=3+1
Groupe de Lorentz = rotation dans l’espace de Minkowski
SO(3,1)
métrique
- rotation spatiale (2 dim spatiales)
- rotation hyperbol. (1 dim spat+1 dim tempo.)
(transf. de Lorentz)
Algèbre de Lie du groupe de Lorentz
(générateurs
)
boost
moment
cinétique
Opérateur de transformation :
rapidité
Boost (transf. de Lorentz)
rot. spatiale
Représentations du groupe de Lorentz
Définissons :
permet de découpler les relations de commutation :
SU(2)×SU(2)
(j entier ou demi-entier)
Les représentations irréductibles de SO(3,1) sont donc
caractérisées par (j1, j2) associés à M2 et N2
Remarque : n’est pas unitaire à cause de l’angle imaginaire
des boosts (groupe non-compact)
Matrices de transformation des champs (scalaires, spinoriels, tensoriels)
Matrice de rot. angle complexe
Moment cinétique :
On appelle spin de la représentation
et
la quantité
sont couplés par parité P :
axial
polaire
Si la parité est une symétrie de l’interaction, alors
n’est pas
une représentation du groupe de Lorentz, on doit considérer :
Equation de Dirac (particule de spin ½)
Représentation irréductible
matrices
de Pauli
Pour rotations pures :
matrices de SU(2) : transformation des spineurs à 2 composantes
Les matrices de D(1/2,0) et D(0,1/2) forment des représentations de SO(3,1)
On peut donc définir 2 types de spineurs à 2 composantes :
-spineur de chiralité gauche ψL se transformant suivant D (1/2,0)
-spineur de chiralité droite ψR se transformant suivant D(0,1/2)
un spineur droit se transforme par inversion en gauche et vice versa,
Si parité est une symétrie du pb, on doit donc considérer les spineurs
à 4 composantes (gr. de Lorentz complet)
Équation de Dirac
particule libre de masse M
Boost pur
Au repos :
Parité renverse la chiralité et l’impulsion
d’où pour p=0, l’état invariant par parité :
boost :
d’où le système d’équations pour
et
Posons :
On trouve l’équation de Dirac :
en explicitant les constantes fondamentales :
Remarques
i) la masse couple les spineurs de chiralités droite et gauche
Une particule massive n’a pas de chiralité définie.
Si
découplage
Fermion de Weyl (les états propres sont chiraux)
ii) particule dans un champ électromagnétique
Chiralité et Hélicité
La chiralité est invariante de Lorentz mais pour particule
massive, elle n’est pas une constante du mouvement
L’hélicité est la projection du spin sur la direction de
Valeurs propres :
hélicité droite/gauche
L’hélicité est une constante du mouvement
Mais n’est pas invariant par un boost pour une particule massive
Pour une particule de masse nulle, hélicité ~ chiralité
hélicité positive = chirale droite (l’inverse pour
)
2) Les représentations de Dirac et de Majora
Algèbre de Clifford
Changement de représentation
par un opérateur unitaire :
Représentation de Dirac
Pour passer de « Weyl » à « Dirac »
bien adaptée pour la description des états de basse énergie :
découplage pour p=0
spin
spin
grandes
composantes
Boost suivant 0z
petites
composantes
États d’énergie négative tous occupés : un trou=un positron (Dirac)
Conjugaison de charge
Opérateur permettant de passer d’un état d’énergie positive
à un état d’énergie négative :
Particule dans un champ
Solution d’énergie E
il existe une solution d’énergie négative -E, dont l’absence
peut être interprétée comme une particule d’énergie positive
et de charge +q
On montre que :
Exemple : particule au repos (spin 1/2)
Le bispineur s’écrit :
Conjugaison de charge : KCΨ
décrit une particule de spin -1/2 et d’énergie
(mais de même charge!)
Représentation de Majorana
représentations réelles
du groupe de Lorentz :
Imaginaires purs
Équation de Dirac en représentation de Majorana
En plus des solutions complexes comme pour la représentation de
Dirac, il existe des solutions réelles :
(condition invariante de Lorentz)
spineur de Majorana
Comment s’écrit un spineur de Majorana dans une
représentation quelconque :
Le spineur s’identifie à son conjugué de charge!
une particule de Majorana s’identifie à sa propre antiparticule
en 1937, seul fermion neutre connu : neutron (fermion de Dirac)
Majorana propose que le neutrino (alors particule hypothétique) et
observée seulement en 1956 pouvait être une particule de Majorana!
mais considéré comme particule sans masse : fermion de Weyl
mais depuis l’évidence d’une petite masse pour le neutrino,
il redevient un candidat sérieux comme fermion de Majorana
Passage entre les différentes représentations :
Électron au repos de spin up
Dans la représentation de Weyl :
Dans la représentation de Majorana :
de façon générale :
fermion
de Dirac
fermions
de Majorana
Résumé : intérêts des différentes représentations
Représentation de Dirac : bispineur qui se réduit à un spineur
à 2 composantes dans la limite non-relativiste
4 fonct complexes = 8 degrés de liberté
Représentation de Weyl : spineurs de chiralité droite et gauche
découplés pour une particule de masse nulle (fermion de Weyl)
Pour une masse non-nulle, un spineur chiral domine l’autre
dans la limite ultra-relativiste !
2 fonct complexes = 4 degrés de liberté
Représentation de Majorana : solution particulière réelle
un fermion qui s’identifie à son antiparticule
4 fonctions réelles =4 degrés de liberté
Même dimension pour Weyl et Majorana
Fermion de Majorana dans la représentation de Weyl
Dans repr. Weyl
Considérons un spineur gauche
Spineur droit
D’où
Fermion de Majorana
construit à partir d’un
spineur gauche
Idem pour spineur droit :
injecté dans l’équation de Dirac :
D’où l’équation de Majorana
masse
de Majorana
Intérêt actuel des fermions de Majorana
- Les neutrinos et la théorie de la « grande unification »
La masse de Majorana conduit à une non-conservation du nombre
leptonique prédite dans les théories de grande unification
Question : les neutrinos sont-ils des particules de Dirac
(conservation du nombre leptonique) ou des particules de Majorana?
- Les théories supersymétriques
transf. infinitésimale d’un champ
transf supersymétrique d’un champ bosonique
en un champ fermionique :
- Les fermions de Majorana en matière condensée
Pourraient décrire les excitations de basse énergie de certaines
systèmes électroniques exotiques
1) Interprétation des états d’énergie négatives.
L’interprétation historique de Dirac
Suspicion des physiciens sur les états d’énergie négative :
(énergies non bornées inférieurement, transitions possibles entre
un état d’énergie positive et les états d’énergie négative…)
Proposition de Dirac 1930 : le vide correspond à tous les états
occupés et donc interdiction de transition (fermions)
Un trou est une particule d’énergie positive et de charge inversée
Création de paires électron-trou si
Découverte du positron par Anderson 1932
valide la prédiction de Dirac
MAIS
- Fortes critiques de Pauli et Heisenberg : vide aux prop. singulières
(charge infinie…)
- Uniquement valable pour fermions (Klein-Gordon??)
- modèle de Pauli et Weisskopf sur champ scalaire quantifié
qui conduit à deux types de particules de même masse,
d’énergiepositive et de charges opposées !
Mais l’interprétation de Dirac survit!!
-Schwinger : l’image d’une mer d’électrons d’énergie négative
est une curiosité historique et doit être oubliée
S. Weinberg : The quantum
Theory of fields
L’interprétation de Stückelberg-Feynman
Helv. Phys. Acta (1941)
« C’est moi qui suis couvert de toute la gloire alors que ce devrait être la sienne » Feynman sur Stückelberg
-consiste à interpréter les antiparticules comme des particules
d’énergie négative qui remonte le temps!
évolution d’une
particule d’énergie
négative dans
le sens - de t
évolution d’une
antiparticule
d’énergie positive
dans le sens + de t
un positron d'énergie positive se
propageant dans le sens croissant
du temps représente un électron
d'énergie négative qui remonte le temps!
l'émission d'une positron
l'absorption d'un électron
l'émission d'une antiparticule caractérisée par
est équivalent à l'absorption d'une particule
Charge dans l’espace-temps
Annihilation
d’une paire
Création
d’une paire
Feynman
(1949)
Particule relativiste
Classique dans
un potentiel
Solution si
Description dans l’espace-temps
Solution « normale »
action stationnaire
Feynman (1948)
Description dans l’espace-temps
La particule
« remonte le temps »
dans le potentiel
Création d’une paire
électron-positron en B
annihilation en A
Feynman (1948)
action stationnaire
Version classique du paradoxe de Klein!
En M.Q., l’équation de Dirac admet des solutions d’énergie E>0 et E<0
fermions de
Dirac libres
Ondes planes
Solutions d’énergie
Solutions d’énergie
L'interprétation de Stückelberg-Feynman ; un état d'énergie négative
correspond à un état d'antiparticule en renversant
avec
La phase correspond bien à une énergie canonique ‘fréquence’ négative
Mais comme le temps propre des antiparticules s'écoule dans le sens
inverse du temps, l'énergie physique des antiparticules est
Solutions d’énergie
Solutions d’énergie phys
Solutions d’énergie
Solutions d’énergie phys
Solutions d’énergie
Solutions d’énergie phys
Solutions d’énergie
Solutions d’énergie phys
Solutions de l’équation de Dirac :
- bispineurs de particules d'énergie positive et négative :
- bispineurs d'antiparticules d'énergie négative et positive :
- bispineurs de particule ou d'antiparticule d'énergie physique positive
Symétrie de jauge U(1)
L’équation de Dirac
est invariante sous les transformations combinées :
Les spineurs de Majorana ne peuvent pas se transformer suivant
cette transformation puisque :
Am. J. Phys. 65 (835) 1997
Comment introduire la notion d’antiparticule en relativité :
temps propre de la particule
Dans le repère qui tangente la trajectoire de la particule
Quel sens donner à la solution
?
Généralisation à un référentiel galiléen quelconque :
Cette solution qui correspond à un temps propre qui s’écoule
dans le sens inverse du temps du référentiel peut être gardée.
On va montrer qu’on peut l’interpréter physiquement comme
le temps propre d’une antiparticule!
Deux solutions :
particule
antiparticule
de même deux possibilités pour le 4-vecteur vitesse :
Groupe de Lorentz complet : symétries discrètes
On introduit une nouvelle symétrie :
Une particule est caractérisée par
et
le renversement
du temps propre
et (invariants de Lorentz)
n’affecte pas la 3-position ni la 3-vitesse mais renverse
Lorsqu’on renverse le temps d’une particule de charge q
elle se comporte comme si elle avait une charge opposée!
(la charge apparente change de signe)
Quid de la masse?
Considérons la force de Lorentz
Le renversement du temps propre inverse le rapport
et donc ne change pas la masse apparente
Il faut distinguer masse de la particule et énergie au repos :
La masse apparente est la même alors que l’énergie est inversée
L’énergie d’une paire particule-antiparticule au repos
est elle 0 ou
?
Force de Lorentz : masse (part.)=masse (antipart.)
Principe d’équivalence : masse gravitationnelle d’une paire : 2m
Énergie-impulsion canonique :
Que peut-on mesurer? (cinématiquement ou dynamiquement)
Énergie-impulsion physique :
Comme dans le cadre quantique, on peut définir
deux énergies différentes pour l’antiparticule :
-l’énergie et l’impulsion canoniques :
-L’énergie et l’impulsion physiques (mesurable)
Donc, la masse, l’énergie physique et l’impulsion physique
ne dépendent pas du sens du temps propre !
L’énergie physique d’une paire au repos est
Conclusion
-Interprétation de Stückelberg-Feynman des antiparticules comme
une particule dont le temps propre évolue en sens inverse apparaît
en relativité restreinte
-Le problème des énergies négatives peut être évité en distinguant
l’énergie-impulsion canonique et l’énergie-impulsion physique
Pour finir quelques mots sur Ettore Majorana (1906-??)
D’après un exposé de S. Esposito
- S. Esposito, E. Majorana jr, A. van der Merwe,
E. Recami(eds.), EttoreMajorana: Notes on
Theoretical Physics (Springer, New York, 2003)
- S. Esposito, E. Recami, A. van der Merwe,
R. Battiston(eds.), EttoreMajorana:
Unpublished Research Notes on Theoretical
Physics (Springer, Heidelberg, 2008)
-A 21 ans, rencontre E. Fermi et travaille sur
le modèle de Thomas-Fermi puis le rejoint en 27
-En 1928, il publie son 1er papier sur le calcul
des termes spectroscopiques du Gd, U et Cs en
utilisant l’équation de Dirac puis …
soutient son master en 1929!
1932, une année magique!
1932, une année magique!
Il établit une équation qui porte désormais
son nom sur des particules avec un spin
arbitraire!
-arrive trop tôt, mais travaux poursuivis dans les années 40 par
Pauli et Babbha!
Fermion de Majorana : contrairement au fermion de Dirac, particule
qui est sa propre antiparticule.
Oublié puis redécouvert dans les années 60 puis 80 !
Nommé en 1937 Professeur de
physique théorique à Naples,
il disparaît mystérieusement
en mars 38!!!