IMAFA 2013 - Mod`eles Mathématiques Continus pour la Finance

IMAFA 2013 - Modèles Mathématiques Continus pour la Finance
TD8 - Risque de modèle pour les produits de taux
On s’intéresse au modèle d’évolution du taux instantané spot rt , pour la valorisation de zéro–coupon. On
rappelle qu’un zéro–coupon de maturité T est un titre versant 1 à la date T et ne donnant aucun flux entre
sa date d’émission et sa maturité T . On note B(t, T ) le prix à la date t du zéro–coupon de maturité T .
On se place dans le cadre standard de la modélisation des taux en avenir incertain. Soient (Ω, F, P),
un espace de probabilité et (Wt ), un mouvement brownien standard
dimension
1, de filtration naturelle
de
Z t
rs ds . On suppose que
(Ft , t ≤ T ∗ ). On choisit comme facteur d’actualisation β(t) = exp −
0
(H1) Le processus (rt , t ≤ T ∗ ) est Ft –adapté.
∗
(H2) Il existe une probabilité P∗ , équivalente
à P, sous laquelle
R pour toute échéance T
∈ [0, T ], les processus
t
e T ) = exp − rs ds B(t, T ), t ≤ T sont des martingales.
de prix actualisés des zéro–coupons B(t,
0
(-1-) Déduire des deux hypothèses précédentes que pour toutes maturités T , ∀t ≤ T ,
"
!, #
Z T
B(t, T ) = EP∗ exp −
rs ds
Ft .
(1)
t
On choisit de modéliser le taux instantané (rt ) à l’aide du modèle de Vasicek, c’est à dire comme l’unique
solution de l’EDS :
drt = (a − brt )dt + σdWt∗ ,
(2)
où a, b et σ sont des réels strictement positifs et (Wt∗ ) est un mouvement brownien sous la probabilité
risque neutre P∗ . On admettra que dans ce cas, le processus de prix du zéro–coupon (B(t, T ), t ≤ T ) résout
l’équation
dB(t, T ) = B(t, T ) [rt dt − σ ∗ (t, T )dWt∗ ] , t ≤ T,
(3)
B(T, T ) = 1,
(4)
avec
σ ∗ (t, T ) =
σ
(1 − exp(−b(T − t))).
b
A) Stratégies sur zéro–coupons autofinancées
On se donne deux maturités T O et T avec T O < T . A chaque date 0 ≤ t ≤ T O , on considère une stratégie
φ = (HtO , Ht ) qui consiste à acheter ou vendre une quantité HtO de zéro–coupons de maturité T O et une
quantité Ht de zéro–coupons de maturité T .
(H3) La stratégie φ = (HtO , Ht ) est autofinancée si
a) la valeur au temps t du portefeuille Vt (φ) = HtO B(t, T O ) + Ht B(t, T ) vérifie l’équation
Z t
Z t
O
O
(5)
Vt (φ) = V0 (φ) +
Hs dB(s, T ) +
Hs dB(s, T ).
0
0
1
b) Les processus (HtO ) et (Ht ) sont tels que les intégrales stochastiques qui apparaı̂trons dans les
calculs sont bien définies et sont des martingales.
(-2-) Pour toute date t ≤ T O , nous “actualisons” les prix des zéro–coupons de maturité T > T O à l’aide de
l’actif B(t, T O ) : nous appelons le prix Forward (au lieu de prix actualisé) la valeur notée B F (t, T ) (au
e T )) du zéro–coupon de maturité T et définie par
lieu de B(t,
B F (t, T ) =
B(t, T )
.
B(t, T O )
Partant de l’équation (3) et en appliquant la formule d’Itô (f (x) = 1/x), montrer
1
1
1
(6)
d
=−
rt dt − σ ∗ (t, T O )dWt∗ +
σ ∗ (t, T O )2 dt.
O
O
B(t, T )
B(t, T )
B(t, T O )
(-3) A l’aide par exemple de la formule d’intégration par parties, déduire de l’équation (6) que le prix
Forward du zéro–coupon de maturité T a pour équation
(7) dB F (t, T ) = B F (t, T ) σ ∗ (t, T O ) σ ∗ (t, T O ) − σ ∗ (t, T ) dt + σ ∗ (t, T O ) − σ ∗ (t, T ) dWt∗ .
(-4-) Soient φ une stratégie autofinancée (vérifiant (H3)) de zéro–coupons et Vt (φ) = HtO B(t, T O ) +
Ht B(t, T ) sa valeur au temps t ≤ T O . On note VtF (φ) la valeur Forward de φ définie par
Vt (φ)
.
B(t, T O )
VtF (φ) =
Montrer que
où encore que
dV F (φ) = Ht dB F (t, T ),
VtF (φ)
=
V0F (φ)
Z
+
t
Hs dB F (s, T ).
0
B) Changement de probabilité Forward
On veux associer l’équivalent de la probabilité risque neutre au prix Forward : sous la probabilité Risque
Neutre les prix actualisés sont des martingales. De la même façon, on appellera la probabilité Forward
Risque Neutre, la probabilité sous laquelle les prix Forward sont des martingales. L’objet de cette partie est
de préciser le changement de probabilité associé.
Z t
(-5-) Donner l’équation dont est solution le facteur d’actualisation β(t) = exp −
rs ds .
0
(-6-) Pour tout t ≤ T O , on pose
Z t
O
O
e
B(t, T ) = B(t, T ) exp −
rs ds .
0
A l’aide de la formule d’intégration par partie, de l’équation (3) et de l’équation de β(t), montrer que
e T O ), t ≤ T O ) résout
le processus (B(t,
(
e T O ) = −σ ∗ (t, T O )B(t,
e T O )dW ∗ ,
dB(t,
t
(8)
O
O
e T ) = B(0, T ).
B(0,
2
(-7) On pose maintenant WtF = Wt∗ +
(9)
Rt
0
σ ∗ (s, T O )ds, et, pour tout 0 ≤ t ≤ T O ,
Z
Z t
2
1 t ∗
σ (s, T O ) ds −
σ ∗ (s, T O )dWt∗ .
ZtF = exp −
2 0
0
i) A l’aide de (4) et du Critère de Novikov, montrer que (ZtF , 0 ≤ t ≤ T O ) est une martingale.
ii) A l’aide du Théorème de Girsanov, définir la probabilité PF sur (Ω, FT O ), telle que (WtF , 0 ≤ t ≤
T O ) soit un PF -mouvement brownien.
iii) Mettre l’équation (7) sous la forme
dB F (t, T ) = B F (t, T ) σ ∗ (t, T O ) − σ ∗ (t, T ) dWtF .
(-8) Notons que les processus (B F (t, T ), t ≤ T O ) et (VtF (φ), t ≤ T O ) sont, sous PF , des PF –martingales .
A l’aide de l’équation précédente, montrer que (VtF (φ), t ≤ T O ) vérifie l’équation
(10)
dVtF (φ) = Ht B F (t, T ) σ ∗ (t, T O ) − σ ∗ (t, T ) dWtF .
C) Stratégie de couverture d’option sur zéro–coupon
On considère une option européenne de maturité T O et de flux à l’échéance f (B(T O , T )), où f est une
fonction continue et bornée.
Le théorème de valorisation d’option sur zéro–coupon vu en cours, assure que si φ est une stratégie
simulant l’option, sa valeur à chaque instant est
"
!
, #
Z O
T
Vt (φ) = EP∗ exp −
rs ds f (B(T O , T ))
Ft .
t
On admettra que le changement de probabilité de la question (-6-) implique que le prix Forward de l’option
est
VtF (φ) = E F f (B F (T O , T )) Ft .
P
(-9-) On suppose qu’il existe


(11)

une solution régulière et bornée uσ (t, x) au problème de Cauchy
2 ∂ 2 uσ
1 ∗
∂uσ
+
σ (t, T ) − σ ∗ (t, T O ) x2
(t, x) = 0
∂t
2
∂x2
uσ (T O , x) = f (x).
Montrer que si φ simule l’option, alors VtF (φ) = uσ (t, B F (t, T )). (On explicitera notamment le générateur infinitésimal du processus (B F (t, T ), t ≤ T O )).
∂uσ
(t, B F (t, T )).
∂x
i) Appliquer la formule d’Itô à uσ (t, B F (t, T )) et comparer avec l’expression obtenue en (10). En
déduire que H̄tσ est bien la quantité de zéro–coupons de maturité T à détenir dans le portefeuille
de couverture de l’option.
(-10-) On s’intéresse à la stratégie φ̄ particulière suivante H̄tσ =
ii) En déduire que si φ̄ simule l’option alors nécessairement,
H̄tO = uσ (t, B F (t, T )) − H̄tσ B F (t, T ).
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